Съдържание

BelPhO 2017, Областен етап, 9,10,11 — Задача 10-3. 10 класс — 3. «Мягкая» пружина

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2017

III этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Получены 18 страниц условий и 26 страниц архивного ключа. Сохранены девять отдельных целых заданий — по три для 9,10,11 класса, со всеми 66 печатными группами запросов, а не каталожными 75 частями. Общие утверждение и инструкции повторены в оригинале отдельно для каждого класса. Обложка утверждений для 2017 года датирована декабрем 2016 года. Баллы, время и отдельные критерии оценивания не напечатаны.

Решение звуковых волн 11-2 отсутствует. Ключ на стр. 20 ошибочно назван «Задача 11-2. Звуковые волны, эффект Доплера», но все его содержание на стр. 20–23 — полный ключ сфер 11-1. Оно связано именно со сферами, исходный ошибочный заголовок виден в примечании. Отдельные выданные бланки графиков 9-2 и построений 10-2 отсутствуют в полученных оригиналах; графики условий и расширенные построения ключа сохранены. График 9-2 напечатан до самой нижней границы исходной стр. 4, без добавления данных за границей оригинала.

У велокомпьютера часть отображаемых формул и промежуточных численных результатов отсутствует в самом PDF, что проверено по двум исходным рендерам. Такие места помечены в ключе, новые формулы не сочинены. У пружины отсутствуют результат после «Откуда» на стр. 16 и формула равномерной внешней силы на стр. 17; некоторые порядковые обозначения также не напечатаны. В условии Доплера пропущено обозначение скорости звука, а в условии автоколебаний — формула после «относительно небольшой скоростью».

Сохранены буквальные исходные несогласованности: номера 1.4–1.7 и 4.1/4.2, ошибочные ссылки в сосуде и номера 2.1/2.2 ключа; повтор 3.2 в автоколебаниях при последнем 3.3 ключа; повтор 2.4 и(5), C 0=108 Дж/К и Q 0=2,2·10³Дж при исходном c 0=1 кДж/(кг·К), c 0 вместо стоимости s 0, площадка 2 aH и 660 Вт при прежних 4 aH и 7200 Вт, подстановка 1·10⁹Дж вместо 11,6·10⁸Дж в доме; увеличение времени падения в√2 раза в тексте рядом сτ 1=τ/√2; незавершенное равенство(7) иρ 2 вместоρ 1 в сосуде; повторΔx 1 в сумме пружины и формуле(19), исходные номера и ссылка(25); τ вместоΔτ в рассуждениях, φ 2=−4° иφmax в формуле равновесия автоколебаний. Напечатанные значения и знаки не исправлены.

9 класс — 2. Велокомпьютер — примечания к оригиналу:

Формула(1) отсутствует в полученном оригинале: напечатаны только точка и номер.

Формула(4) отсутствует в оригинале.

Формула(5) отсутствует в оригинале.

Формула(7) отсутствует в оригинале.

Численная формула(8) отсутствует в оригинале.

На стр. 3 ключа после слов «достигая максимального значения» отсутствует обозначение этого значения.

Формула(10) отсутствует в оригинале.

Формула(11) отсутствует в оригинале.

На стр. 3 ключа не напечатано условие после фразы «График полученной зависимости (11) для».

Формула(12) отсутствует в оригинале.

На стр. 4 ключа в фразе «пересекает график функции … сверху вниз» отсутствует название второй функции.

После последнего знака равенства формулы(13) в оригинале нет выражения.

Формула(16) отсутствует в оригинале.

В формуле(17) сохранилась только буква $S$ и точка; остальное выражение отсутствует.

Формула(18) отсутствует в оригинале.

Левая часть формулы(20) отсутствует.

Формула(21) отсутствует в оригинале.

Формула(25) отсутствует в оригинале.

10 класс — 2. Утечка … центра масс — примечания к оригиналу:

После последнего знака равенства в формуле(7) нет выражения.

10 класс — 3. «Мягкая» пружина — примечания к оригиналу:

На стр. 16 ключа после «Откуда» в решении 1.2 отсутствует итоговый результат.

На стр. 17 ключа после фразы о равномерном движении внешняя сила не напечатана.

На стр. 17–18 ключа оставлены пропуски порядковых обозначений частей пружины.

11 класс — 1. Проводящие и диэлектрические сферы — примечания к оригиналу:

В полученном ключе на стр.20 напечатан заголовок «Задача 11-2. Звуковые волны, эффект Доплера». Ниже, однако, находится решение проводящих и диэлектрических сфер из задания 11-1: все шесть запросов,41 формула и шесть схем сфер. Этот исходный ошибочный заголовок сохранен в примечании; к задаче Доплера данное решение не относится.

11 класс — 2. Звуковые волны, эффект Доплера — примечания к оригиналу:

На стр. 15 условий после «скорость звука в среде» не напечатано обозначение.

11 класс — 3. Автоколебания — примечания к оригиналу:

На стр. 18 условий после «с относительно небольшой скоростью» не напечатана формула.

Продолжение той же части 3 отдельно сохраняет второй исходный запрос 3.2; он не перенумерован.

Оригинальная общая обложка

Республиканская физическая олимпиада 2017 года. (III этап). Теоретический тур. =2017=

Оригинальные утверждение и общие инструкции — 9 класс

УТВЕРЖДАЮ. Заместитель председателя оргкомитета заключительного этапа Республиканской олимпиады Заместитель Министра образования. _________________Р.С.Сидоренко. «» декабря 2016 г.

Республиканская физическая олимпиада 2017 год. (IIIэтап). Теоретический тур.

Полный комплект состоит из трех заданий.
При оформлении работы каждое задание начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая — для черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Постарайтесь внимательно прочитать условия задач! Может вам покажется, что условия задач слишком длинные. Но мы сочинили их такими, чтобы Вам было легче решать. Поверьте, иногда решения короче таких условий! Не теряйте присутствия духа, смело беритесь за решение каждой задачи. Помните, оцениваются не только полные решения, но и их отдельные части и даже отдельные здравые мысли.

9 класс.

Оригинальные утверждение и общие инструкции — 10 класс

Республиканская физическая олимпиада 2017 год. (IIIэтап). Теоретический тур.

Полный комплект состоит из трех заданий.
При оформлении работы каждое задание начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая — для черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

10 класс.

Оригинальные утверждение и общие инструкции — 11 класс

Республиканская физическая олимпиада 2017 год. (IIIэтап). Теоретический тур.

Полный комплект состоит из трех заданий.
При оформлении работы каждое задание начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая — для черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

11 класс.

Условие

1.

Десять пружин $n=10$ длиной $l_1=5{,}00\text{ см}$ , массой $m_1=10{,}0\text{ г}$ каждая и с коэффициентом жёсткости $k_1=100\text{ Н/м}$ каждая, спаяны последовательно в цепочку. Растяжением каждой из пружин под действием собственного веса можно пренебречь.

1.1 Определите длину $l'$ такой цепочки, если цепочку подвесить вертикально, закрепив за один из её концов.

1.2 Сколько таких пружин нужно последовательно спаять в цепочку, чтобы длина цепочки под действием собственного веса увеличилась в два раза?

2.

Пружина, которая может растягиваться под действием собственного веса, имеет массу $m$ , длину $l$ , коэффициент жёсткости $k$ .

2.1 Определите деформацию пружины $\Delta x$ , если её подвесить вертикально за один из концов.

2.2 При каком коэффициенте жёсткости пружины $k$ её деформация под действием собственного веса $\Delta x$ будет равно её длине в недеформированном состоянии?

3.

Пружина, которая может растягиваться под действием собственного веса, массой $m$ , длиной $l$ , и коэффициентом жёсткости $k$ , лежит на горизонтальной поверхности. Коэффициент трения между пружиной и поверхностью $\mu$ . К одному из краёв пружины прикладывают силу $F$ .

3.1 Определите установившуюся деформацию пружины $\Delta x$ , при её равномерном движении.

3.2 Определите деформацию пружины $\Delta x$ , если $F=2\mu mg$ .

3.3 При каком значении силы $F$ деформацию пружины $\Delta x=l$ ?

Решение

Задача 10-3. «Мягкая» пружина. Задача 10-3.

1.1 Длина всей цепочки, подвешенной вертикально

l'=nl_1+\Delta x.\qquad(1)

\Delta x=\Delta x_1+\Delta x_1+\ldots+\Delta x_{n-1},\qquad(2)

Оригинальный научный рисунок или таблица: все оси, подписи, стрелки, размеры, кривые, данные, пустые клетки и исходные границы.

где $\Delta x$ — удлинение всей цепочки. $\Delta x_1,\Delta x_2,\ldots,\Delta x_{n-1}$ — удлинения первого, второго…(n−1)-го звеньев, считая сверху. Верхнее первое звено будет деформироваться под действием веса нижних $(n-1)$ звеньев. Условие равновесия для них имеет вид:

k_1\Delta x_1=(n-1)m_1g.\qquad(3)

Условие равновесия для нижних $(n-2)$ звеньев —

k_1\Delta x_2=(n-2)m_1g,\qquad(4)

для $(n-i)$ звеньев —

k_1\Delta x_i=(n-i)m_1g,\qquad(5)

для нижнего n-го звена —

k_1\Delta x_{n-1}=m_1g.\qquad(6)

Нижнее n-ое звено не деформируется. Подставляя уравнения(3),(4),(5),(6), в(2)получим:

\Delta x=\frac{m_1g}{k_1}(1+2+\ldots+n-1).\qquad(7)

$(1+2+\ldots+n-1)$ — сумма $(n-1)$ первых членов арифметической прогрессии

1+2+\ldots+n-1=\frac{1+n-1}2(n-1)=\frac{n(n-1)}2.\qquad(8)

\Delta x=\frac{m_1gn(n-1)}{2k_1}.\qquad(9)

l'=10\cdot5{,}00\text{ см}+4{,}50\text{ см}=54{,}5\text{ см}.

1.2 Согласно условию

\Delta x=nl_1.\qquad(10)

Подставляя(10)в(9)получим:

nl_1=\frac{m_1gn(n-1)}{2k_1}.\qquad(11)

Откуда .

2.1 Выберем снизу пружины участок длиной $x$ растяжением под действием собственного веса, которого можно пренебречь. Тогда недеформированную пружину длиной $l$ можно рассматривать как $l/x=n$ пружин соединенных последовательно, жёсткость каждой из которых равна

k_1=nk.\qquad(13)

Деформацию первого сверху участка длиной $x$ можно найти из условия равновесия оставшейся нижней части пружины (рис.3).

(m-m_1)g=k_1\Delta x_1.\qquad(14)

$m_1=\frac xl m$ .(15) — масса участка пружины длиной $x$ .

Учитывая(13)и(15), уравнение(14)примет вид:

\left(m-\frac xl m\right)g=nk\Delta x_1.\qquad(16)

Учитывая, что $l/x=n$ получим:

\left(m-\frac1n m\right)g=nk\Delta x_1.\qquad(17)

Откуда

\Delta x_1=\frac{(n-1)mg}{n^2k}.\qquad(18)

Деформация второго сверху участка находится аналогично:

(m-2m_1)g=k_1\Delta x_1,\qquad(19)

\left(m-\frac{2x}l m\right)g=nk\Delta x_2,\qquad(20)

\left(m-\frac2n m\right)g=nk\Delta x_2,\qquad(21)

\Delta x_2=\frac{(n-2)mg}{n^2k}.\qquad(22)

Для $i$ -го участка

\Delta x_i=\frac{(n-i)mg}{n^2k}.\qquad(23)

Учитывая, что $\Delta x=\Delta x_1+\Delta x_1+\ldots+\Delta x_{n-1}$ .(2), получим

\Delta x=\frac{mg}{n^2k}(1+2+\ldots+n-1)=\frac{mg(n-1)}{2nk}.\qquad(24)

При $n\to\infty$ , дробь $(n-1)/n=1$ , тогда

\Delta x=\frac{mg}{2k}.\qquad(25)

2.2 Так как по условию задачи $\Delta x=l$ , то из(25)получим:

l=\frac{mg}{2k}.\qquad(26)

Откуда

k=\frac{mg}{2l}.\qquad(27)

3.1 При равномерном движении пружины по горизонтальной поверхности внешняя сила $F$ равна силе трения действующей на пружину со стороны поверхности . Выберем возле свободного конца пружины участок длиной $x$ , деформацией которого можно пренебречь. Тогда недеформированную пружину длиной $l$ можно рассматривать как $l/x=n$ пружин соединённых последовательно, жёсткость каждой из которых равна $k_1=nk$ .(13).

Для -ой части пружины длиной $x$ , находящейся слева, справедливо уравнение:

nk\Delta x_{n-1}=\mu\frac xl mg.\qquad(29)

Для -ой и $(n-1)$ -ой части пружины справедливо уравнение:

nk\Delta x_{n-2}=\mu\frac{2x}l mg.\qquad(30)

Для $i$ частей пружины, находящихся слева

nk\Delta x_{n-i}=\mu\frac{ix}l mg.\qquad(31)

Для $(n-2)$ частей пружины, находящихся слева

nk\Delta x_2=\mu\frac{(n-2)x}l mg.\qquad(32)

Для $(n-1)$ частей пружины, находящихся слева

nk\Delta x_1=\mu\frac{(n-1)x}l mg.\qquad(33)

Для деформаций получим:

\Delta x_{n-1}=\frac{\mu mg}{kn^2},\qquad(34)

\Delta x_{n-2}=\frac{2\mu mg}{kn^2},\qquad(35)

\Delta x_{n-i}=\frac{i\mu mg}{kn^2},\qquad(36)

\Delta x_2=\frac{(n-2)\mu mg}{kn^2},\qquad(38)

\Delta x_1=\frac{(n-1)\mu mg}{kn^2}.\qquad(39)

Просуммировав деформации получим:

\Delta x=\frac{\mu mg(n-1)}{2nk}.\qquad(40)

При $n\to\infty$ , дробь $(n-1)/n=1$ , тогда

\Delta x=\frac{\mu mg}{2k}.\qquad(41)

3.2 Рассуждая аналогично п.3.1, из второго закона Ньютона для -ой части пружины, $n$ -ой и $(n-1)$ -ой части, $i$ частей пружины, находящихся слева и т.д. для деформаций получим:

\Delta x_{n-1}=\frac{m(\mu g+a)}{kn^2},\qquad(42)

\Delta x_{n-2}=\frac{2m(\mu g+a)}{kn^2},\qquad(43)

\Delta x_{n-i}=\frac{im(\mu g+a)}{kn^2},\qquad(44)

\Delta x_2=\frac{(n-2)m(\mu g+a)}{kn^2},\qquad(45)

\Delta x_1=\frac{(n-1)m(\mu g+a)}{kn^2}.\qquad(46)

Просуммировав деформации получим:

\Delta x=\frac{m(\mu g+a)(n-1)}{2nk}.\qquad(47)

При $n\to\infty$ , дробь $(n-1)/n=1$ , тогда

\Delta x=\frac{m(\mu g+a)}{2k}.\qquad(48)

3.3 Так как по условию задачи $\Delta x=l$ , то из(25)получим:

l=\frac{m(\mu g+a)}{2k}.\qquad(49)

Откуда

a=\frac{2kl-\mu mg}m.\qquad(50)

Из второго закона Ньютона, записанного для всей пружины получим:

F=ma+\mu mg.\qquad(51)

Подставляя(50)в(51), получим:

F=2kl.\qquad(52)

Оригинал в Архива: 3_etap_2017_theoretical_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2017_theoretical_solutions.pdf