BelPhO 2017, Областен етап, 9,10,11 — Задача 10-2. 10 класс — 2. Утечка … центра масс

Задача 10-2. Утечка…центра масс

Часть 1. «Сложный» график

1.4 Удобно решать задачу в «обратном» порядке, рассматривая медленный подъём жидкости в сосуде от нуля до некоторого уровня $x$. При таком подходе сразу понятно, что начальная точка ($x=0$) Графика 1 — это есть искомая высота $h_1$ центра масс пустого сосуда, поскольку воды в сосуде ещё пока нет

Далее заметим, что при максимальной высоте уровня $x=20\text{ см}$ воды в сосуде центр масс системы вновь находится на высоте $h_1$ от дна. Это вполне возможно, поскольку центр масс воды лежит на половине высоты. Следовательно, искомая начальная высота

1.5 Если уровень воды в сосуде находится на высоте $x$ от дна, то масса воды, находящейся в сосуде, равна

а её центр масс, соответственно, находится на высоте $x/2$ от дна. Если центр масс сосуда (без воды) массой $m_1$ находится на известной высоте $h_1$ от дна, то, согласно подсказке, в данный момент времени центр масс системы будет находиться между центрами масс воды и сосуда на высоте

Выберем несколько «удобных» точек на Графике 1, когда функция «на глаз» проходит через узлы координатной сетки, минимум и т.д. Это, например, точки с координатами $(0{,}3;0{,}6),(0{,}55;0{,}55),(0{,}9;0{,}6),(1{,}5;0{,}8)$ и т.д. Из(4)выразим искомую массу $m_1$ пустого сосуда через координаты $(x;h)$ выбранной точки на Графике 1

Используя(5), несложно вычислить массу $m_1$ сосуда без воды для каждой из выбранных нами на Графике 1 точек. Результаты вычислений (до трёх значащих цифр, с учётом запасной цифры) занесём в таблицу

Как следует из таблицы, последняя точка значительно «вываливается» из численного диапазона первых трёх точек. Такие точки называются «промахами» и могут быть опущены при дальнейших расчётах. Если уж совсем внимательно присмотреться, то можно заметить, что эта «проблемная» точка $(1{,}5;0{,}8)$ действительно лежит несколько ниже узла координатной сетки. Усредняя первые три результата, и округляя вычисление до двух значащих цифр (как в условии), получаем окончательный ответ

Для удобства анализа полученной функции и вычислений $m_1$ введём безразмерные переменные для высоты центра масс системы $h^*=h/h_1$ и высоты жидкости в сосуде $x^*=x/h_1$ (т.е. будем измерять их в величинах «$h_1$»). Тогда зависимость(4)можно переписать в виде

где остался единственный безразмерный параметр зависимости

По данным таблицы в нашем случае значение параметра

Интересно, что если подставить в(4)значения $x=0$ и $h(x)=h_1$, то мы придём к значениям(1)и(2).

1.6 Для нахождения минимума функции(4)(или(7))заметим, что при повышении уровня воды в сосуде на начальном этапе ($x<h(x)$) каждый следующий небольшой слой воды массой $\Delta m_i$ (Рис.1,а) немного понижает положение центра масс системы, поскольку он находится ниже его.

Так будет продолжаться до тех пор, пока уровень жидкости $x$ не достигнет высоты $x=h(x)$ центра масс системы (Рис.1,б). Далее ($x>h(x)$) уже каждый следующий слой воды будет приподнимать положение центра масс системы (Рис.1,в). Следовательно, при прохождении минимума функции $h(x)$ на Графике 1 уровень воды $x_1$ должен совпадать с центром масс системы (ордината графика равна его абсциссе).

Для подтверждения справедливости этого вывода удобно построить (от школьников не требуется!) на одной координатной сетке (Рис.2)графики зависимостей уровня $y=x$ воды в сосуде и высоты центра масс системы $h(x)$ от дна сосуда. Как следует из построения, график зависимости $y=x$ действительно пересекает график зависимости $h(x)$ «снизу вверх» в точке минимума.

Согласно(4)при этом можем записать

откуда получаем квадратное уравнение относительно $x_1$

Отбрасывая отрицательный корень, как не имеющий физического смысла, получаем искомое значение

Подчеркнём, что для нахождения минимума функции(4)(или(7))можно также использовать и традиционный подход: вычислить производную и приравнять её к нулю. Убедитесь самостоятельно, что при этом Вы получите уравнение(11)и в итоге — такой же результат(12). Интересно, что согласно полученным данным устойчивость сосуда с водой, которая определяется высотой центра масс, по мере вытекания воды сначала увеличивается, а потом уменьшается. Данный эффект можно наблюдать на тубах с зубной пастой, которые по мере расхода пасты, бывает сложно поставить вертикально.

1.7 Находя из Графика 1 абсциссу минимума функции $x_1=0{,}55\text{ дм}$, выразим из(12)массу $m_1$ сосуда вторым способом

Для сравнения этого метода определения массы с методом из предыдущего пункта, находим относительную погрешность определения массы сосуда

что является отличным результатом для обработки графика «народным» методом «на глаз». После завершения всех расчётов данной части задачи можно признаться (☺), что построение Графика 1 проводилось при значении безразмерного параметра

Приятно, что мы с хорошей точностью смогли вычислить этот параметр (см.(9)), обрабатывая представленный в условии график.

Часть 2. «Простой» сосуд

2.1 Поскольку стенки и дно сосуда имеют одинаковую толщину $d$ ($d\ll R$), то массу $m_3$ дна сосуда выразим как

где $S_3=\pi R^2$ — площадь дна сосуда. Соответственно, массу стенок найдём как

где $H$ — искомая высота сосуда. Так как центр масс сосуда без воды (Рис.3)находится на высоте $h_1$ от дна (см.(1)), то справедливо равенство (толщиной дна здесь пренебрегаем)

Из(18)находим

Откуда

2.2 Для определения толщины стенок сосуда воспользуемся тем, что мы уже вычислили его массу (см.(13)), тогда

откуда находим

Часть 3. Наливаем обратно…

3.1 Для решения данного пункта достаточно заметить, что при больших $x$ ($x\to\infty$) масса $m_2=\rho V=\rho\pi R^2x$ воды в сосуде будет значительно превышать массу самого сосуда. Это значит, что положение центра масс системы практически будет совпадать с положением центра масс столба воды, т.е. находиться на половине его высоты.

Иными словами, в данном интервале функция будет стремиться к зависимости

оставаясь немного ниже ее, т.к. масса сосуда всё же отлична от нуля. На всякий случай, используя((4)или(7))можно просчитать несколько точек, чтобы убедиться в справедливости приближения(23)

Как следует из таблицы, эти графики на указанном интервале с приемлемой точностью «совпадают» друг с другом. На Графике 2 (на всякий случай!)приведено точное построение (от школьников не требуется), из которого видно, что в данной части задачи действительно вполне достаточно догадаться пренебречь массой сосуда и записать (и построить!)функцию $h(x)\approx x/2$ (можно несколько «ниже» точного значения).