Съдържание

BelPhO 2017, Заключителен етап, 9,10,11 — Задача 9-1.2. 9 класс — 1.2. «Разминка»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2017

Заключительный этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Получены все 17 страниц условий и 31 страница соответствующего теоретического ключа. Сохранены 12 целых задач: по четыре для 9, 10 и 11 классов, под девятью напечатанными родительскими заданиями, 60 явно обозначенных групп запросов вместо каталожных 66 частей. В двух «Разминках» первый составной запрос напечатан без внутренних номеров и сохранен целиком; две прямо названные несвязанными задачи каждой «Разминки» сохранены отдельно; части внутри каждой задачи остаются вместе. Группа 2.1–2.4 «Конденсатора» напечатана как один общий запрос и не разбита искусственно. Все полные ключи девяти напечатанных родительских заданий, альтернативные выводы, числовые таблицы, пояснения, исходные формулы и графики получены. Один исходный пустой бланк к «Векторной кинематике» напечатан на странице 4 условий: сноска говорит, что оба выданных бланка одинаковы. Сохранены этот полный бланк и оба заполненных бланка ключа. График давления насыщенного пара к циклу Ренкина сохранен полностью. Отдельные выданные бланки построений к «Кольцевой» и «Пилообразному и импульсному току» не получены. Время, баллы и шкала оценивания не напечатаны. Экспериментальные оригиналы принадлежат отдельному опубликованному туру и здесь не использованы; изображение обложки сохранено в исходном PDF.

Печатные научные и редакционные несогласованности сохранены без исправления: диапазон 20–70°C терморезистора при напечатанных постоянных дает отрицательное сопротивление выше 65°C; инструкция указывает пункты 3–6, хотя имеется пункт 7; пример координат отличается от последующих исходных координат, а выражение для построенного вектора S₂ имеет размерность скорости. В разминке 10 класса сохранены исходная формула Пуазейля, полное слагаемое μmgl в работе при начальной точке l/4 и напечатанные множители π³/r⁴ в силе и работе. У «Конденсатора» сохранены отсутствующее равенство в первой формуле и первая часть выражения ΔC. График p–T цикла Ренкина показывает прямой участок 3–4, тогда как текст ключа называет его непрямым. В разминке 11 класса сохранены название потенциальной энергии кинетической, исходные ссылки, d=2h при обозначении b в условии и напечатанное γ≈11°. У «Кольцевой» сохранены E_z/E_z, коэффициент силы диполя, двойное равенство, смена знака в цепочке магнитной силы и повтор пункта 3.3; второй пункт 3.3 помечен † только для различения ссылок, а ключ называет его 3.4. В последнем ключе сохранены пропуск номера формулы 7, утверждение о независимости тока от времени, разные масштабные значения графиков при напечатанном I₃=U/5, исходные номера рисунков и ссылка на формулу 45 вместо 46. Грамматические ошибки и остальные исходные обозначения сохранены.

Оригинальная общая обложка

Группа секретных физиков. Республиканская физическая олимпиада 2017 года (Заключительный этап). Теоретический тур. Гродно. 2017.

Условие

Данное задание состоит из 2 не связанных между собой задач.

Задача 1.2

Для измерения плотности жидкости используется простой прибор, который называется ареометром.

В данной задаче рассматривается ареометр, состоящий из сферического баллона, объем которого равен $V_0$ . К нижней части баллона прикреплена тонкостенная металлическая трубка, внутренний диаметр которой равен $D$ , длина $l$ , с открытым нижним концом и закрытым верхним. К верхней части баллона прикреплен легкий стержень диаметра $d$ .

Оригинальный научный рисунок с полными стрелками, границами, осями, числовыми данными и подписями.

1.2.1 Ареометр аккуратно вертикально помещают в горячую воду. Ареометр приходит в состояние равновесия, при этом баллон оказывается полностью погруженным в воду, а над поверхностью воды стержень выступает на высоту $h$ . Вода начинает медленно остывать. Что будет происходить с ареометром (всплывать, или погружаться) при остывании воды? Найдите изменение высоты стержня над уровнем воды $\Delta h/\Delta t^\circ$ при изменении температуры на малую величину $\Delta t^\circ$ .

1.2.2 Ареометр достают из воды, плотно закрывают нижний конец трубки и опять погружают в горячую воду. Что будет происходить с ареометром (всплывать, или погружаться) при остывании воды в этом случае? Найдите изменение высоты стержня над уровнем воды $\Delta h/\Delta t^\circ$ при изменении температуры на малую величину $\Delta t^\circ$ при закрытой трубке.

Подсказка. При изменении температуры изменение объемов тел подчиняется формуле

\Delta V=V_0\alpha\Delta t^\circ.\qquad(2)

Где $V_0$ — начальный объем тела, $\Delta V$ — изменение объема при изменении температуры на величину $\Delta t^\circ$ , $\alpha$ — коэффициент теплового расширения вещества. Считайте, что коэффициенты теплового расширения воды $\alpha_1$ и воздуха $\alpha_2$ известны, причем $\alpha_2\gg\alpha_1$ . Изменением объема всех частей ареометра можно пренебречь. Также считайте, что объем баллона значительно больше объемов трубки и стержня.

Решение

Задача 1.2

1.2.1 В трубке останется воздух. При уменьшении температуры воздух начнет сжиматься, а вода частично заходить в трубку. При этом будет уменьшаться сила Архимеда, Следовательно, ареометр начнет опускаться.

Изменение объема воздуха описывается формулой (2), на основании которой можно записать

\Delta V=\frac{\pi D^2}{4}l\alpha_2\Delta t.\qquad(1)

Чтобы сила Архимеда осталось прежней, ареометр должен погрузиться на такую глубину, чтобы объем его погруженной части остался неизменным. Из этого условия следует

\Delta V=\frac{\pi d^2}{4}\Delta h.\qquad(2)

Приравнивая эти выражение, получим

\frac{\pi D^2}{4}l\alpha_2\Delta t=\frac{\pi d^2}{4}\Delta h\quad\Rightarrow\quad\frac{\Delta h}{\Delta t}=l\frac{D^2}{d^2}\alpha_2.\qquad(3)

Отметим, что в этом случае можно пренебречь тепловым расширением воды.

1.2.2 При закрытой трубке основной причиной изменения глубины погружения будет изменение плотности воды. Так как при остывании ее плотность будет увеличиваться, то ареометр начнет всплывать.

Изменение плотности воды можно выразить через коэффициент объемного расширения. Возьмем порцию воды некоторой постоянной массы. Так как масса при нагревании не изменяется, то можно записать

(\rho_0+\Delta\rho)(V_0+\Delta V)=\rho_0V_0.\qquad(4)

Здесь $V_0$ — объем выбранной порции, $\rho_0$ — ее плотность при некоторой начальной температуре, $\Delta V,\Delta\rho$ — их изменение при изменении температуры.

Раскрывая скобки и пренебрегая малой величиной $\Delta V\Delta\rho$ , получим

\rho_0\Delta V+\Delta\rho V_0=0\quad\Rightarrow\quad\frac{\Delta\rho}{\rho_0}=-\frac{\Delta V}{V_0}=-\alpha_1\Delta t.\qquad(5)

Знак минус указывает, что при увеличении объема плотность уменьшается и наоборот.

Так как масса ареометра не изменяется, то остается неизменной сила Архимеда, следовательно,

(\rho_0+\Delta\rho)(V_0+\Delta V)=\rho_0V_0.\qquad(6)

Уравнение совпадает уравнением (4), но смысл его другой: $V_0$ — объем погруженной части ареометра при начальной температуре, который можно считать равным объему баллона; $\rho_0$ — плотность при этой температуре, $\Delta\rho$ — изменение плотности воды;

\Delta V=-\frac{\pi d^2}{4}\Delta h\qquad(7)

— изменение объема погруженной части (знак минус указывает, что при увеличении $h$ объем погруженной части уменьшается).

Из уравнения (6) следует

\frac{\Delta V}{V_0}=-\frac{\Delta\rho}{\rho_0}.

Подставляя выражения 95) и (7) получим

-\frac{\pi d^2}{4V_0}\Delta h=\alpha_1\Delta t\quad\Rightarrow\quad\frac{\Delta h}{\Delta t}=-\alpha_1\frac{4V_0}{\pi d^2}.\qquad(8)

Оригинал в Архива: 2017_theoretical_problems.pdf · официални решения: 2017_theoretical_solutions.pdf