Съдържание

BelPhO 2017, Заключителен етап, 9,10,11 — Задача 9-2. 9 класс — 2. Векторная кинематика

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2017

Заключительный этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Получены все 17 страниц условий и 31 страница соответствующего теоретического ключа. Сохранены 12 целых задач: по четыре для 9, 10 и 11 классов, под девятью напечатанными родительскими заданиями, 60 явно обозначенных групп запросов вместо каталожных 66 частей. В двух «Разминках» первый составной запрос напечатан без внутренних номеров и сохранен целиком; две прямо названные несвязанными задачи каждой «Разминки» сохранены отдельно; части внутри каждой задачи остаются вместе. Группа 2.1–2.4 «Конденсатора» напечатана как один общий запрос и не разбита искусственно. Все полные ключи девяти напечатанных родительских заданий, альтернативные выводы, числовые таблицы, пояснения, исходные формулы и графики получены. Один исходный пустой бланк к «Векторной кинематике» напечатан на странице 4 условий: сноска говорит, что оба выданных бланка одинаковы. Сохранены этот полный бланк и оба заполненных бланка ключа. График давления насыщенного пара к циклу Ренкина сохранен полностью. Отдельные выданные бланки построений к «Кольцевой» и «Пилообразному и импульсному току» не получены. Время, баллы и шкала оценивания не напечатаны. Экспериментальные оригиналы принадлежат отдельному опубликованному туру и здесь не использованы; изображение обложки сохранено в исходном PDF.

Печатные научные и редакционные несогласованности сохранены без исправления: диапазон 20–70°C терморезистора при напечатанных постоянных дает отрицательное сопротивление выше 65°C; инструкция указывает пункты 3–6, хотя имеется пункт 7; пример координат отличается от последующих исходных координат, а выражение для построенного вектора S₂ имеет размерность скорости. В разминке 10 класса сохранены исходная формула Пуазейля, полное слагаемое μmgl в работе при начальной точке l/4 и напечатанные множители π³/r⁴ в силе и работе. У «Конденсатора» сохранены отсутствующее равенство в первой формуле и первая часть выражения ΔC. График p–T цикла Ренкина показывает прямой участок 3–4, тогда как текст ключа называет его непрямым. В разминке 11 класса сохранены название потенциальной энергии кинетической, исходные ссылки, d=2h при обозначении b в условии и напечатанное γ≈11°. У «Кольцевой» сохранены E_z/E_z, коэффициент силы диполя, двойное равенство, смена знака в цепочке магнитной силы и повтор пункта 3.3; второй пункт 3.3 помечен † только для различения ссылок, а ключ называет его 3.4. В последнем ключе сохранены пропуск номера формулы 7, утверждение о независимости тока от времени, разные масштабные значения графиков при напечатанном I₃=U/5, исходные номера рисунков и ссылка на формулу 45 вместо 46. Грамматические ошибки и остальные исходные обозначения сохранены.

Оригинальная общая обложка

Группа секретных физиков. Республиканская физическая олимпиада 2017 года (Заключительный этап). Теоретический тур. Гродно. 2017.

Условие

Исследовательский космический аппарат сделал снимки выбросов вещества из гейзера некоторой планеты. Снимки делались с интервалом в одну секунду, однако из-за технического сбоя сохранилось только три снимка: в момент времени $t_0=0{,}0\,\text c$ , в момент времени $t_1=1{,}0\,\text c$ и в момент времени $t_4=4{,}0\,\text c$ . Положения одного из точечных объектов в данные моменты времени показаны на рис.1. Кроме того, известно (из показаний других датчиков), что регистрируемый объект упал на поверхность планеты в момент времени $t_5=5{,}0\,\text c$ . Также известно, что точка падения и точка вылета находятся на одной высоте.

Отметим, что момент времени $t_0=0{,}0\,\text c$ не совпадает с момент вылета рассматриваемого объекта из жерла гейзера.

Поверхность планеты в кадр не попала. Атмосфера на планете отсутствует. Масштаб рисунка: длина стороны клеточки равна $1{,}0\,\text м$ .

При решении данной задаче допускается использование промежуточных численных расчетов. Все построения выполняйте на выданных Вам бланках (они одинаковы). Выполнение пп. 1–2 проведите на первом бланке, пп. 3–6 на втором бланке¹. расчеты и комментарии выполняйте в тетради.

По данному снимка вам необходимо найти кинематические характеристики движения объекта и восстановить траекторию движения.

Оригинальный научный рисунок с полными стрелками, границами, осями, числовыми данными и подписями.

1 Найдите вектор ускорения свободного падения $\vec g$ на данной планете: рассчитайте его модуль; постройте на бланке в соответствующем масштабе вектор $\vec S_1=\vec g t_1^2$ .

2 Определите вектор скорости $\vec v_0$ объекта в момент времени $t_0=0{,}0\,\text c$ : рассчитайте его модуль; постройте на бланке вектор $\vec S_2=\vec v_0t_1$ .

Подсказка. Далее рекомендуем все расчеты построения проводить, используя построенные векторы $\vec S_1$ и $\vec S_2$ .

3 Найдите и укажите на бланке тоску падения рассматриваемого объекта.

4 Постройте на бланке линию горизонта.

5 Постройте всю траекторию полета объекта (достаточно указать его положения с интервалом в 1 с).

6 Постройте (с точностью $\pm0{,}2\,\text м$ ) на бланке положение гейзера (точку вылета объекта).

7 Постройте (с точностью $\pm0{,}5\,\text м$ ) на бланке положение верхней точки траектории.

¹ Бланки одинаковы, поэтому здесь приводится только один.

Решение

Задача допускает как графическое, так и алгебраическое решение (для его реализации бланк можно оцифровать). Мы будем использовать оба подхода. Для сокращения записей компоненты векторов (метрах, или «клеточках») будем записывать в скобках, например, положение тела в момент времени $t_0=0$ : $\vec r_0=(4,35)$ . Для всех векторов (перемещений, скоростей, ускорения) будем использовать систему единиц СИ.

1 Так как движение является равноускоренным, то векторы перемещений тела из положения в момент времени $t_0=0$ за время $t$ описываются формулой:

\Delta\vec r=\vec v_0t+\frac12\vec g t^2.\qquad(1)

Для моментов времени $t_1=1{,}0\,\text c$ и $t_4=4{,}0\,\text c$ можно записать:

\begin{cases}\Delta\vec r_{01}=\vec v_0t_1+\frac12\vec g t_1^2,\\\Delta\vec r_{04}=\vec v_0t_4+\frac12\vec g t_4^2.\end{cases}\qquad(2)

Это система уравнений относительно неизвестных векторов ускорения и начальной скорости имеет решение

\begin{cases}\Delta\vec r_{01}=\vec v_0t_1+\frac12\vec g t_1^2,\\\Delta\vec r_{04}=\vec v_0t_4+\frac12\vec g t_4^2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\frac{\Delta\vec r_{01}}{t_1}=\vec v_0+\frac12\vec g t_1,\\\frac{\Delta\vec r_{04}}{t_4}=\vec v_0+\frac12\vec g t_4\end{cases}\Rightarrow\frac12\vec g(t_4-t_1)=\frac{\Delta\vec r_{04}}{t_4}-\frac{\Delta\vec r_{01}}{t_1}\Rightarrow

\vec g=\frac{2}{t_4(t_4-t_1)}\Delta\vec r_{04}-\frac{2}{t_1(t_4-t_1)}\Delta\vec r_{01}.\qquad(3)

Подстановка численных значений времен дает следующие значения искомых векторов

\vec g=\frac{2}{t_4(t_4-t_1)}\Delta\vec r_{04}-\frac{2}{t_1(t_4-t_1)}\Delta\vec r_{01}=\frac16\Delta\vec r_{04}-\frac23\Delta\vec r_{01}=\frac{\Delta\vec r_{04}-4\Delta\vec r_{01}}6.\qquad(4)

Эти векторы можно построить на бланке (см. рис.). Там же указан вектор $\vec S_1$ .

Можно также найти численные значения их компонент (в изображенной системе координат):

\begin{cases}\vec r_0=(3,31),\\\vec r_1=(4,35),\\\vec r_4=(19,23)\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\Delta\vec r_{01}=\vec r_1-\vec r_0=(1,4),\\\Delta\vec r_{04}=\vec r_4-\vec r_0=(16,-8)\end{cases}\Rightarrow\vec g=\frac{\Delta\vec r_{04}-4\Delta\vec r_{01}}6=(2,-4).\qquad(5)

Модуль вектора ускорения равен

g=\sqrt{2^2+4^2}=4{,}5\,\frac{\text м}{\text c^2}.\qquad(6)

Вектор скорости $\vec v_0$ можно выразить из первого уравнения системы (2):

\Delta\vec r_{01}=\vec v_0t_1+\frac12\vec g t_1^2\quad\Rightarrow\quad\vec v_0=\frac{\Delta\vec r_{01}}{t_1}-\frac12\vec g t_1.\qquad(7)

Тогда требуемый вектор

\vec S_2=\vec v_0t_1=\Delta\vec r_{01}-\frac12\vec g t_1^2=\Delta\vec r_{01}-\frac12\vec S_1.\qquad(8)

Построение этого вектора также показано на рисунке.

Численные значения его компонент:

\vec S_2=\frac{\Delta\vec r_{01}}{t_1}-\frac12\vec g t_1=(0,6).\qquad(9)

Модуль вектора скорости, очевидно, равен $v_0=6{,}0\,\text м/\text c$ .

Используя закон равноускоренного движения (1), положение объекта в произвольный момент времени можно описать формулой

\vec r=\vec r_0+\vec v_0t+\frac12\vec g t^2=\vec r_0+\vec S_2\frac{t}{t_1}+\frac12\left(\frac{t}{t_1}\right)^2\vec S_1.\qquad(10)

Так в момент падения $t=5{,}0\,\text c$ радиус-вектор объекта равен

\vec r_5=\vec r_0+5\vec S_2+\frac{25}{2}\vec S_1=(28,11).\qquad(11)

Линия горизонта перпендикулярна вектору ускорения $\vec g$ (или $\vec S_1$ ) и проходит через точку падения. На рисунке — жирная двойная линия.
Расчет координат остальных точек выполняется аналогично, как графически, так и алгебраически. Отметим, что приведенная формула (10) справедлива как для положительных, так и для отрицательных времен. Построения этих точек показаны на рисунке. В таблице приведены рассчитанные значения координат.

T, с	X, м	Y, м
0	3	31
1	4	35
2	7	35
3	12	31
4	19	23
5	28	11
−1	4	23
−2	7	11
−3	12	−5

Определение точки вылета может быть проведено различными способами.

Простейший из них — формально отметить точку траектории, соответствующую моменту времени $t=-3{,}0\,\text c$ , заметить, что она лежит ниже линии горизонта. На интервале времени $[-3,-2]$ участок траектории приближенно можно считать отрезком прямой линии. Поэтому точка вылета есть точка пересечения указанного отрезка траектории с линией горизонта — точка $E$ на рисунке.

Более точным является следующий способ. Траектория движения симметрична относительно вертикали на всех уровнях. Поэтому проведем через первую точку $O$ прямую $OA$ , параллельную линии горизонта и через ее середину проведем перпендикуляр $BC$ . Эта прямая является осью симметрии параболы (траектории). Поэтому расстояние от точки вылета $E$ до основания перпендикуляра $C$ , на таком же расстоянии, что и точка падения $D$ .

Положения вершины параболы с требуемой точностью можно указать и «на глаз» — точка $F$ !

Оригинал в Архива: 2017_theoretical_problems.pdf · официални решения: 2017_theoretical_solutions.pdf