Съдържание

Условие 1. Теплоемкость системы.2. Нагрев воды и теплообмен с окружающей средой.3. Ускорение свободного падения и потери механической энергии.4. Механический эквивалент теплоты.Решение

BelPhO 2017, Заключителен етап, 9,10,11 — Задача 9-3. 9 класс — 3. Опыты Джоуля

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2017

Заключительный этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Получены все 17 страниц условий и 31 страница соответствующего теоретического ключа. Сохранены 12 целых задач: по четыре для 9, 10 и 11 классов, под девятью напечатанными родительскими заданиями, 60 явно обозначенных групп запросов вместо каталожных 66 частей. В двух «Разминках» первый составной запрос напечатан без внутренних номеров и сохранен целиком; две прямо названные несвязанными задачи каждой «Разминки» сохранены отдельно; части внутри каждой задачи остаются вместе. Группа 2.1–2.4 «Конденсатора» напечатана как один общий запрос и не разбита искусственно. Все полные ключи девяти напечатанных родительских заданий, альтернативные выводы, числовые таблицы, пояснения, исходные формулы и графики получены. Один исходный пустой бланк к «Векторной кинематике» напечатан на странице 4 условий: сноска говорит, что оба выданных бланка одинаковы. Сохранены этот полный бланк и оба заполненных бланка ключа. График давления насыщенного пара к циклу Ренкина сохранен полностью. Отдельные выданные бланки построений к «Кольцевой» и «Пилообразному и импульсному току» не получены. Время, баллы и шкала оценивания не напечатаны. Экспериментальные оригиналы принадлежат отдельному опубликованному туру и здесь не использованы; изображение обложки сохранено в исходном PDF.

Печатные научные и редакционные несогласованности сохранены без исправления: диапазон 20–70°C терморезистора при напечатанных постоянных дает отрицательное сопротивление выше 65°C; инструкция указывает пункты 3–6, хотя имеется пункт 7; пример координат отличается от последующих исходных координат, а выражение для построенного вектора S₂ имеет размерность скорости. В разминке 10 класса сохранены исходная формула Пуазейля, полное слагаемое μmgl в работе при начальной точке l/4 и напечатанные множители π³/r⁴ в силе и работе. У «Конденсатора» сохранены отсутствующее равенство в первой формуле и первая часть выражения ΔC. График p–T цикла Ренкина показывает прямой участок 3–4, тогда как текст ключа называет его непрямым. В разминке 11 класса сохранены название потенциальной энергии кинетической, исходные ссылки, d=2h при обозначении b в условии и напечатанное γ≈11°. У «Кольцевой» сохранены E_z/E_z, коэффициент силы диполя, двойное равенство, смена знака в цепочке магнитной силы и повтор пункта 3.3; второй пункт 3.3 помечен † только для различения ссылок, а ключ называет его 3.4. В последнем ключе сохранены пропуск номера формулы 7, утверждение о независимости тока от времени, разные масштабные значения графиков при напечатанном I₃=U/5, исходные номера рисунков и ссылка на формулу 45 вместо 46. Грамматические ошибки и остальные исходные обозначения сохранены.

Оригинальная общая обложка

Группа секретных физиков. Республиканская физическая олимпиада 2017 года (Заключительный этап). Теоретический тур. Гродно. 2017.

Условие

Долгое время (более 200 лет с начала ее изучения) природа теплоты была не известна. Основной теорий теплоты являлась теория теплорода. Согласно этой теории теплота есть некая невесомая жидкость, заполняющая все нагретые тела; передача теплоты есть простое перетекание теплорода из одного тела к другому и т.д.

Только в середине XIX века утвердилась «механическая теория теплоты» согласно этой теории теплота (точнее, тепловая или внутренняя энергия) есть кинетическая энергия движения молекул и потенциальная энергия их взаимодействия.

Оригинальный научный рисунок с полными стрелками, границами, осями, числовыми данными и подписями.

Важнейшую роль в развитии механической теории теплоты сыграли тщательные эксперименты, выполненные английским физиком Дж. П. Джоулем, результаты которых были опубликованы в 1847 году. Основная цель этих экспериментов — измерение, так называемого, механического эквивалента теплоты.

Еще когда природа теплоты была неизвестна, для ее измерения была введена специальная единица измерения — калория, количество теплоты которое требуется для нагревания 1 грамма воды на 1 градус Цельсия. Следовательно, теплоемкость воды равна $c_0=1\,\text{кал}/(\text г\cdot\text{град})$ (точно, по определению). Но так, как теплота есть мера энергии, то она должна измеряться в единицах измерения энергии и работы (в системе СИ — это Джоуль). Таким образом, основной задачей Дж. П. Джоуля являлось установление количественного соотношения между единицей теплоты калорией и единицей механической энергии Джоулем².

Схема установки Джоуля показана на рисунке. В медном баке с водой находилась система латунных лопастей, которые приводились во вращение с помощью системы опускающихся грузов, нитей и блоков.

Высота, с которой опускались грузы, их масса легко измеряемы. Также тщательно измерялось изменение температуры воды из-за вязкого трения лопастей. По этим экспериментальным данным можно рассчитать искомую величину механического эквивалента теплоты.

0 Пусть грузы общей массы $m$ опустились на высоту $h$ , при этом вода массы $m_0$ нагрелась на $\Delta t$ градусов Цельсия. Пренебрегая всеми теплоты и механической энергии, получите формулу для удельной теплоемкости воды $c_0$ , выраженной в единицах механической энергии.

² Конечно, сам Дж. П. Джоуль использовал английскую систему мер. Так механическую работу он измерял в футо-фунтах — энергия которая требуется, чтобы поднять 1 фунт на высоту в 1 фут, температура измерялась в градусах Фаренгейта, масса измерялась в гранах и т.д. Для упрощения вашей работы все численные данные, приведенные в условии данной задачи (взятые непосредственно из работы Дж. П. Джоуля) переведены в привычные для вас единицы измерения.

Однако такой подход приводит к слишком большим систематическим ошибкам. Дж. П. Джоуль был великолепным экспериментатором, поэтому в своей работе он учел многочисленные поправки, рассчитать которые по данным Дж. П. Джоуля предстоит и вам.

Вопросы задачи выделены рамками. В ответе на каждый вопрос приведите расчетную формулу и численный результат с необходимым числом значащих цифр.

1. Теплоемкость системы.

Масса медного бака $m_1=1655{,}0\,\text г$ . Лопасти состоят из латуни (сплава меди и цинка) и содержат $m_2=969{,}90\,\text г$ меди и $m_3=254{,}85\,\text г$ цинка. Масса воды в баке $m_0=6041{,}11\,\text г$ . Отношение удельной теплоемкости меди к удельной теплоемкости воды равно $c_{Cu}/c_w=0{,}09512$ , а отношение удельной теплоемкости цинка к удельной теплоемкости воды $c_{Zn}/c_w=0{,}09555$ .

1 Найдите эффективную массу воды $M_0$ , то есть массу воды, которая имеет такую же теплоемкость, как теплоемкость бака с водой и лопастями.

2. Нагрев воды и теплообмен с окружающей средой.

Процитируем работу Дж. П. Джоуля. Метод проведения опытов состоял в следующем.

Определялась температура прибора трения³, грузы удерживались в подвешенном состоянии, … определялось точное положение грузов над землей, вал освобождался и ему давали возможность вращаться до тех пор, пока грузы не достигали вымощенного плитами пола лаборатории, опускаясь примерно на 63 дюйма. … После того, как эта процедура повторялась 20 раз, эксперимент завершался новым наблюдением температуры прибора. Средняя температура лаборатории определялась в начале, середине и при завершении каждого эксперимента. Непосредственно перед каждым опытом или сразу после него я проводил проверку воздействия передачи теплоты телу из атмосферы, или в обратном направлении… При этих проверках положение аппарата, количество содержащейся в нем воды, время проверки, метод наблюдения термометров, положение экспериментатора — короче говоря, все условия, за исключением того, что аппарат покоился, были такими же, как и в экспериментах, в которых наблюдался эффект трения.

Результаты одной из серий экспериментов приведены в Таблице 1. Все температуры приведены в градусах Цельсия.

Эксперимент	Общая высота опускания грузов (м)	Средняя температура воздуха	Температура прибора в начале опыта	Температура прибора в конце опыта
С вращением	31,927	14,277	12,843	13,208
Без вращения	0	14,371	13,208	13,268

2.1 Рассчитайте по этим данным, на сколько градусов нагрелась бы вода, если бы не было теплообмена с окружающей средой.

³ Имеется в виду бака с водой.

3. Ускорение свободного падения и потери механической энергии.

По утверждению Дж. П. Джоуля кинетическая энергия тела, движущегося со скоростью $v=2{,}420\,\text{дюйм}/\text c$ , равна потенциальной энергии того же тела, поднятого на высоту $h=0{,}00760\,\text{дюйм}$ .

3.1 Рассчитайте по этим данным ускорение свободного падения в лаборатории. (1 дюйм = 2,540 см).

Общая масса опускающихся грузов равна $M_1=26317{,}9\,\text г$ . Для учета сил трения в осях блоков и оси вала были проведены дополнительные измерения. Если отсоединить лопасти, то для того, чтобы грузы пришли в движение на один из них необходимо положить дополнительный перегрузок массы $\Delta m=183{,}8\,\text г$ .

3.2 Найдите механическую энергию (в Джоулях) опускающихся грузов, пошедшую на нагревания бака с водой.

4. Механический эквивалент теплоты.

4 Используя все приведенные и полученные вами данные, рассчитайте, чему равна 1 калория в Джоулях.

Решение

Уравнение закона сохранения энергии в данном случае имеет вид

c_0m_0\Delta t=mgh.\qquad(1)

Из этого уравнения следует, что

c_0=\frac{mgh}{m_0\Delta t}.\qquad(2)

Теплоемкость системы является аддитивной величиной, поэтому общую теплоемкость можно представить следующим образом

c_{Cu}(m_1+m_2)+c_{Zn}m_3+c_wm_0=C_wM_0.\qquad(3)

Тогда эффективная масса воды оказывается равной

M_0=\frac{c_{Cu}}{c_w}(m_1+m_2)+\frac{c_{Zn}}{c_w}m_3+m_0=

=0{,}09512\cdot(1655{,}0+969{,}9)+0{,}09555\cdot254{,}85+6041{,}11=6315{,}14\,\text г.\qquad(4)

2.1 Обратим внимание, что в данной серии экспериментов температура окружающего воздуха была выше, чем температура воды в баке, поэтому вода дополнительно получала теплоту от воздуха. При наличии теплообмена с воздухом уравнение теплового баланса имеет вид

C\Delta t_w=Q_0+Q_1,\qquad(5)

где $C$ — общая теплоемкость бака с водой, $\Delta t_w^{(1)}$ — изменение температуры воды в опыте с вращением лопастей (первая строка в таблице), $Q_0$ — количество теплоты, выделившейся из-за вращения лопастей, $Q_1$ — количество теплоты, полученной посредством теплообмена с воздухом.

При отсутствии теплообмена воды бы нагрелась на величину $\Delta t^*$ , которая определяется выражением

C\Delta t_w^*=Q_0=C\Delta t_w^{(1)}-Q_1.\qquad(6)

Разумно предположить, что величина $Q_1$ пропорциональная разности между средней температурой воздуха и средней температурой воды в ходе опыта

Q_1=\gamma\left(\bar t_\text{возд}^{(1)}-\bar t_\text{воды}^{(1)}\right).\qquad(7)

Для определения коэффициента пропорциональности в этом выражении следует воспользоваться результатами опыта без вращения лопастей. В этом опыте уравнение теплового баланса имеет вид

C\Delta t_w^{(2)}=Q_1^{(2)}=\gamma\left(\bar t_\text{возд}^{(2)}-\bar t_\text{воды}^{(2)}\right).\qquad(8)

Следовательно, коэффициент теплопередачи равен

\gamma=\frac{C\Delta t_w^{(2)}}{\bar t_\text{возд}^{(2)}-\bar t_\text{воды}^{(2)}}.\qquad(9)

Подставляя выражения (7) и (9) в формулу (6), получим

C\Delta t_w^*=Q_0=C\Delta t_w^{(1)}-Q_1=C\Delta t_w^{(1)}-\gamma\left(\bar t_\text{возд}^{(1)}-\bar t_\text{воды}^{(1)}\right)=

=C\Delta t_w^{(1)}-\frac{C\Delta t_w^{(2)}}{\bar t_\text{возд}^{(2)}-\bar t_\text{воды}^{(2)}}\left(\bar t_\text{возд}^{(1)}-\bar t_\text{воды}^{(1)}\right).\qquad(10)

Таким образом, при отсутствии теплообмена вода бы нагрелась на

\Delta t_w^*=\Delta t_w^{(1)}-\Delta t_w^{(2)}\frac{\bar t_\text{возд}^{(1)}-\bar t_\text{воды}^{(1)}}{\bar t_\text{возд}^{(2)}-\bar t_\text{воды}^{(2)}}=

=(13{,}208-12{,}843)-(13{,}268-13{,}208)\frac{14{,}277-\frac{13{,}208+12{,}843}{2}}{14{,}371-\frac{13{,}268+13{,}208}{2}}=0{,}298\,°\mathrm C.\qquad(11)

3.1 Приравнивая выражения для кинетической и потенциальной энергии, получим

mgh=\frac{mv^2}{2}\quad\Rightarrow\quad g=\frac{v^2}{2h}=\frac{(2{,}420\cdot2{,}540)^2}{2\cdot0{,}00760\cdot2{,}540}\cdot0{,}01=9{,}786\,\frac{\text м}{\text c^2}.\qquad(12)

3.2 Наличие трения приводит к уменьшению эффективной массы грузов на величину $\Delta m$ . Поэтому энергия, пошедшая на нагревание бака равна

E=(M_1-\Delta m)gh=\frac{26317{,}9-183{,}8}{1000}\cdot9{,}786\cdot31{,}927=8165{,}50\,\text{Дж}.\qquad(13)

Подставляя все найденные величины в формулу для теплоемкости воды, получим

c_0=\frac{E}{M_0\Delta t^*}=\frac{8165{,}50\,\text{Дж}}{6315{,}14\,\text г\cdot0{,}298\,°\mathrm C}=4{,}336\,\frac{\text{Дж}}{\text г\cdot°\mathrm C}.\qquad(14)

Это и есть численное значение энергии в 1 калорию, выраженную в джоулях.

Для интереса, отметим, что без учета всех поправок прямой расчет по формуле 1 приводит к значению $c_0=3{,}58\,\text{Дж}/(\text г\cdot°\mathrm C)$ .

Оригинал в Архива: 2017_theoretical_problems.pdf · официални решения: 2017_theoretical_solutions.pdf