Съдържание

Условие Часть 1. «Пристрелка»Часть 2. «Стрельба по движущимся мишеням»Решение

BelPhO 2018, Областен етап, 9,10,11 — Задача 9-3. 9 класс — 3. Попади «в яблочко!»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2018

III этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Полученные оригиналы содержат девять самостоятельных целых задач: по три для 9, 10 и 11 класса. Сохранены 45 основные номерные группы и все внутренние запросы, включая 2.4.1–2.4.5 «Переменной плотности» и оба запроса пункта 3 о брусках. Каталожное число 52 не задает новое разбиение.

Время выполнения, баллы и численные таблицы оценивания не напечатаны. Сохранены все комментарии жюри, альтернативный способ акселерометра и полные аналитические методы. Получены три исходных пустых бланка лампочки и исходный магнитный графический бланк. Отдельный графический бланк давления насыщенного пара, обещанный в задаче о воде, отсутствует; вся исходная таблица передана. Ключ лампочки отсылает к графику напряжения конденсатора, которого в полученном ключе нет: переданы текст и пустой бланк, новый ответный график не изготовлен.

Сохранены исходные противоречия и ошибки: $P=m'gz$ в определении давления; прежнее напряжение зажигания при переходе с 3 на 5 В; в ключе $U=I/R$ и разрядка до нуля при указанном гашении 1 В; $g=10\text{ м/с}$ , повтор «первое тело» и номера 2.4; «линза» в зеркале, $a\gamma=d$ , $F_1-F_0=R/2$ и $\sqrt{1-h^2/R^2}=2$ ; два значения 4246 Па при 30 и 31°C, повтор $t_0$ , единица теплоемкости камня без К, $40-0{,}2=38{,}8^\circ C$ ; «значительно больше» в диалоге; в магнитах степень $1/4$ второго выражения периода, лишнее $x_0$ в знаменателе (15) и повтор обозначения $x_1$ . Метод ключа для $\delta_{\max}$ и его ответ 5,8 см переданы буквально.

Оригинальные заголовки комплекта

III этап Республиканской олимпиады по физике 2018 года. Теоретический тур. Условия задач. 9 класс. Далее в оригинале:10класс (стр9),11класс (стр14).

Условие

Во всех частях задачи сопротивлением воздуха следует пренебречь. Ось $Y$ вертикальна, а ось $X$ горизонтальна. Ускорение свободного падения считать равным $g=10\text{ м/с}$ .

Часть 1. «Пристрелка»

Тело брошено под углом $\alpha$ к горизонту с некоторой высоты $h$ над поверхностью земли. Модуль начальной скорости тела равен $v_1$ . Ось $X$ расположена на поверхности земли.

Полная траектория первого тела: x/y,h,alpha,v1,стрелки.

1.1 Запишите закон движения тела, то есть зависимость координат тела от времени $x_1(t),y_1(t)$ .

1.2 Пусть $v_1=20\text{ м/с}$ , $h=10\text{ м}$ , $\alpha=30^\circ$ . Рассчитайте горизонтальную дальность полета тела, т.е. координату $x$ в момент его падения на поверхность земли.

Часть 2. «Стрельба по движущимся мишеням»

Первое тело бросают так, как описано в Части 1, а второе с поверхности земли из точки, находящейся на расстоянии $S_0$ от начала координат. Модуль скорости второго тела равен $v_2$ , вектор скорости направлен под углом $\beta$ к горизонту, как показано на рисунке. Тела бросают одновременно.

Полная схема двух тел: обе траектории,x/y,h,S0,alpha/beta,v1/v2,стрелки.

2.1 Запишите закон движения второго тела $x_2(t),y_2(t)$ .

2.2 Запишите выражения для зависимостей разностей координат тел $(x_1-x_2)$ и $(y_1-y_2)$ от времени.

2.3 Как зависит расстояние между телами $S(t)$ от времени?

2.4 Пусть первое тело начинает падать без начальной скорости $(v_1=0)$ . Под каким углом к горизонту $\beta$ надо бросить первое тело, чтобы оно попало в первое? При какой минимальной начальной скорости второго тела $v_2$ столкновение произойдет до падения первого тела на землю?

Достаточно найти любую тригонометрическую функцию (синус, косинус, тангенс…) угла $\beta$ .

2.5 Первое тело бросают с поверхности земли $(h=0)$ углом $\alpha$ к горизонту с начальной скоростью $v_1$ . Второе тело бросают под углом $\beta$ . С какой начальной скоростью $v_2$ надо бросить второе тело, чтобы оно столкнулось с первым в полете? При какой минимальной скорости $v_2$ возможно столкновение в полете?

Решение

Описание движения тела, брошенного под углом у горизонту, является настолько известной и банальной темой задач, что всякие подробные комментарии к решению будут излишними.

1.1 Закон движения тела задается функциями

\begin{aligned}x_1(t)&=v_1\cos\alpha\cdot t,\\y_1(t)&=h+v_1\sin\alpha\cdot t-\frac{gt^2}{2}.\end{aligned}\qquad (1)

Полная ключевая траектория первого тела:h,v1,alpha,x/y.

1.2 Горизонтальная дальность равна координате $x$ в момент падения, т.е. при $y=0$ . Для определения времени движения следует решить уравнение

h+v_1\sin\alpha\cdot t-\frac{gt^2}{2}=0\Rightarrow t^*=\frac{v_1\sin\alpha+\sqrt{(v_1\sin\alpha)^2+2gh}}g\approx2{,}73\text{ с}.\qquad (2)

Тогда дальность полета

S=x(t^*)=v_1\cos\alpha\cdot t^*\approx47\text{ м}.

Часть 2. «Стрельба по движущимся мишеням»

Полная ключевая схема двухтел:S0,h,alpha/beta,v1/v2,x/y,обе траектории.

2.1 Закон движения второго тела записывается аналогично

\begin{aligned}x_2(t)&=S_0-v_2\cos\beta\cdot t,\\y_2(t)&=v_2\sin\beta\cdot t-\frac{gt^2}{2}.\end{aligned}\qquad (3)

2.2 Разностей координат тел $(x_1-x_2)$ и $(y_1-y_2)$ зависят от времени по законам:

\begin{aligned}(x_1-x_2)&=(v_1\cos\alpha+v_2\cos\beta)\cdot t-S_0,\\(y_1-y_2)&=h+(v_1\sin\alpha-v_2\sin\beta)\cdot t.\end{aligned}\qquad (4)

Важно отметить, что разности координат не зависят от времени от ускорения тел (так как они одинаковы), поэтому в дальнейшем «можно забыть» об ускорении свободного падения.

2.3 Расстояние между телами $S(t)$ определяется по теореме Пифагора

S(t)=\sqrt{((v_1\cos\alpha+v_2\cos\beta)\cdot t-S_0)^2+(h+(v_1\sin\alpha-v_2\sin\beta)\cdot t)^2}.\qquad (5)

2.4 Так как ускорение можно не учитывать, то нужно целиться прямо в точку начала падения, поэтому

\operatorname{tg}\beta=\frac hS.\qquad (6)

Минимальная скорость, когда тело долетает до основания уступа

S_0=\frac{2v_2^2\sin\beta\cos\beta}g\Rightarrow v_{2\min}=\sqrt{\frac{gS_0}{2\sin\beta\cos\beta}}.\qquad (7)

2.4 Можно, конечно, анализировать условия обращения в нуль «простенького» выражения (5). Но гораздо проще перейти в систему отсчета связанную с первым телом. В этой системе отсчета относительная скорость второго тела должна быть направлена на точку вылета первого тела. Очевидно, что вертикальные компоненты скоростей должны быть одинаковы, поэтому

v_1\sin\alpha=v_2\sin\beta\Rightarrow v_2=v_1\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}.\qquad (8)

Тела столкнутся в воздухе, если время их полета больше, чем время их сближения по горизонтали, т.е. при выполнении условия

\frac{2v_2\sin\beta}g>\frac{S_0}{v_1\cos\alpha+v_2\cos\beta}\Rightarrow v_2>\sqrt{\frac{gS_0}{2}\frac{\sin\alpha}{\sin\beta\sin(\alpha+\beta)}}.\qquad (9)

При выводе этого условия использовано соотношение (8).

Оригинальный заголовок ключа

III этап Республиканской олимпиады по физике 2018 года. Решения задач.

Оригинал в Архива: 3_etap_2018_theoretical_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2018_theoretical_solutions.pdf