Съдържание

Условие Часть 1. «Классическая — параксиальное приближение»Часть 2. «Аберрационная …дальние лучи»Решение

BelPhO 2018, Областен етап, 9,10,11 — Задача 10-2. 10 класс — 2. Сферическое зеркало

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2018

III этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Полученные оригиналы содержат девять самостоятельных целых задач: по три для 9, 10 и 11 класса. Сохранены 45 основные номерные группы и все внутренние запросы, включая 2.4.1–2.4.5 «Переменной плотности» и оба запроса пункта 3 о брусках. Каталожное число 52 не задает новое разбиение.

Время выполнения, баллы и численные таблицы оценивания не напечатаны. Сохранены все комментарии жюри, альтернативный способ акселерометра и полные аналитические методы. Получены три исходных пустых бланка лампочки и исходный магнитный графический бланк. Отдельный графический бланк давления насыщенного пара, обещанный в задаче о воде, отсутствует; вся исходная таблица передана. Ключ лампочки отсылает к графику напряжения конденсатора, которого в полученном ключе нет: переданы текст и пустой бланк, новый ответный график не изготовлен.

Сохранены исходные противоречия и ошибки: $P=m'gz$ в определении давления; прежнее напряжение зажигания при переходе с 3 на 5 В; в ключе $U=I/R$ и разрядка до нуля при указанном гашении 1 В; $g=10\text{ м/с}$ , повтор «первое тело» и номера 2.4; «линза» в зеркале, $a\gamma=d$ , $F_1-F_0=R/2$ и $\sqrt{1-h^2/R^2}=2$ ; два значения 4246 Па при 30 и 31°C, повтор $t_0$ , единица теплоемкости камня без К, $40-0{,}2=38{,}8^\circ C$ ; «значительно больше» в диалоге; в магнитах степень $1/4$ второго выражения периода, лишнее $x_0$ в знаменателе (15) и повтор обозначения $x_1$ . Метод ключа для $\delta_{\max}$ и его ответ 5,8 см переданы буквально.

Оригинальные заголовки комплекта

III этап Республиканской олимпиады по физике 2018 года. Теоретический тур. Условия задач. 9 класс. Далее в оригинале:10класс (стр9),11класс (стр14).

Условие

«Сферическая аберрация» Вогнутое зеркало, широко используемое при астрономических и оптических наблюдениях, представляет собой сферический сегмент (небольшая часть сферы, отсеченная плоскостью) радиуса $R$ , на внутреннюю поверхность которого нанесено покрытие, зеркально отражающее свет. Центр сферы находится в точке $O$ (см. рис.).

Полное цветное сферическое зеркало: все параллельные/отраженные лучи,O/F/P,R/F и стрелки.

При построении изображений в вогнутом зеркале традиционно считается, что пучок параллельных лучей, распространяющихся вблизи главной оптической оси $OP$ зеркала (т.н. параксиальных лучей), после отражения от зеркала пересекается в точке главного фокуса $F$ на расстоянии $PF$ от линзы (далее $F$ ). Данное свойство вогнутого зеркала аналогично свойству собирающей линзы, поэтому иногда вогнутое зеркала называют собирающим зеркалом. Математически параксиальное приближение соответствует приближению малых углов, в рамках которого применимы приближенные формулы

\sin\alpha\approx\operatorname{tg}\alpha\approx\alpha,\qquad\cos\alpha\approx1.\qquad (1)

Часть 1. «Классическая — параксиальное приближение»

Рассмотрим пучок лучей, распространяющихся вблизи оптической оси $(h\ll R)$ вогнутого зеркала параллельно ей. Радиус кривизны зеркала $R=40\text{ см}$ .

1.1 Докажите, что все лучи идущие параллельно оптической оси после отражения от зеркала пересекаются в одной точке. Найдите фокусное расстояние зеркала.

1.2 Точечный источник света находится на оптической оси зеркала на расстоянии $a$ $(a>R)$ . Докажите, что все лучи выходящие из источника и отраженные от зеркала пересекаются в одной точке (т.е. формируют изображение). Найдите расстояние $b$ от этой точки до оптического центра зеркала точки $P$ .

1.3 Постройте изображение предмета (стрелки) в вогнутом зеркале (см. рис.). Длина стрелки равна половине фокусного расстояния.

Полная стрелкаLM перед зеркалом, O/F и ось.

Часть 2. «Аберрационная …дальние лучи»

Явление сферической аберрации² заключается в том, что, два луча параллельных главной оптической оси зеркала, идущие на достаточно больших различных расстояниях $h_1$ и $h_2$ от неё, всё же пересекутся с осью не в одной, а в различных точках (фокусах) $F_1$ и $F_2$ (см. рис.). То есть, говоря «абсолютно строго», главного единого фокуса вогнутого зеркала не существует! Но поскольку изображение, несколько искаженное у краёв, в таком зеркале мы всё же видим, то сильно беспокоиться по этому поводу не нужно.

Полная схема аберрации:A/B,O,F1/F2,h1/h2,alpha,все лучи.

Во второй части задачи рассмотрим световые лучи, подверженные явлению сферической аберрации, т.е. не являющиеся параксиальными. Математически это означает, что эти лучи идут также параллельно главной оптической оси зеркала на расстоянии, которое сравнимо с радиусом кривизны зеркала. В этом случае углы падения нельзя считать малыми.

² Слово аберрация означает искажение.

2.1 На зеркало падает пучок лучей, параллельных главной оптической оси и полностью освещающий зеркало. Нарисуйте схематически ход этих лучей после отражения от зеркала. Нарисуйте схематически огибающую отраженных лучей.

2.2 Световой луч распространяется параллельно оси зеркала на расстоянии $h_1=5{,}0\text{ см}$ от оптической оси зеркала. На каком расстоянии $F_1$ он пересечёт оптическую ось зеркала (это и есть «его» фокусное расстояние)?

2.3 Введем понятие степени аберрации луча как отношение $\eta=|F_1-F_0|/F_0$ ( $F_0$ — фокусное расстояние в параксиальном приближении). При каком расстоянии $h_{\max}$ степень аберрации достигнет 100%? Нарисуйте ход этого луча.

Решение

1.1 Рассмотрим произвольный луч $AC$ , идущий параллельно оптической оси. Отраженный луч — $CF$ .

Из закона отражения света и свойства внешнего угла треугольника следует, что $\angle CFP=2\angle COP$ .

Из треугольника $OCD$ можно выразить

h=R\sin\alpha\approx R\alpha.\qquad (1)

При малых углах точка $B$ практически совпадает с оптическим центром линзы $P$ . Для треугольника $FCB$ справедливо равенство

h=F\operatorname{tg}2\alpha\approx2F\alpha.\qquad (2)

Приравнивая (1) и (2), находим, что

F=\frac R2,\qquad (3)

независимо от $h$ , поэтому все лучи после отражения проходят через эту точку — следовательно, это и есть фокус.

Полная параксиальнаягеометрия:A/C,O,F,B,P,h,alpha/2alpha,лучи/пунктир.

1.2 На рисунке $AP=a$ — расстояние от источника до зеркала; $BP=b$ — расстояние от изображения до линзы; $OP=R$ . Смотрим внимательно на углы, по свойствам треугольников и закону отражения записываем

\begin{cases}\beta=\alpha+\phi,\\\gamma=\beta+\varphi\end{cases}\Rightarrow2\beta=\alpha+\gamma.\qquad (4)

Также можно записать

\begin{aligned}a\alpha&=d,\\R\beta&=d,\\a\gamma&=d.\end{aligned}\qquad (5)

Из (5) выражаем углы и подставляем в (4), и получаем формулу зеркала

\frac2R=\frac1a+\frac1b\Rightarrow\frac1F=\frac1a+\frac1b.\qquad (6)

Независимо от выходящего из точки $A$ луча, следовательно, $B$ есть изображение точки $A$ .

Полная геометрияточечногоисточника:A/O/B/P,d,alpha/beta/gamma/phi,лучи/пунктир.

1.3 Изображение строится традиционными методами. Проводим прямую вдоль стрелки $LM$ — отраженный луч параллельно оптической оси — все точки изображения на этой прямой. Находим изображение $M$ : луч параллельно оптической оси — отраженный через фокус, продолжение луча до пересечения с первым лучом — получаем изображение $M'$ . Аналогично для точки $L$ . Изображение фокуса «убегает» на бесконечность, причем в обе стороны. Таким образом, получаем разорванное бесконечное изображение.

Полная разорваннаябесконечнаястрелкаизображения:LM,Lprime/Mprime,обаFprime,зеркало/лучи/O/F.

Часть 2. «Аберрационная …дальние лучи»

2.1 ход отраженных лучей показан на рисунке.

Полный исходный пучок дальнихлучей и зеркало,все исходные лучи/точки.

2.2 Рассмотрим ход произвольного луча $AB$ без использования параксиального приближения. Из закона отражения следует, что треугольник $OBF$ равнобедренный, поэтому

R=2x\cos\alpha,\qquad (7)

где $x$ — расстояние от центра зеркала до фокуса. Также запишем

h=R\sin\alpha.\qquad (8)

Исключая из этих выражений угол $\alpha$ , получим

\left(\frac R{2x}\right)^2+\left(\frac hR\right)^2=1\Rightarrow x=\frac R2\frac1{\sqrt{1-h^2/R^2}}.\qquad (9)

Тогда

F_1=R-x=R-\frac R2\frac1{\sqrt{1-h^2/R^2}}.\qquad (10)

Действительно расстояние зависит от параметра луча $h$ . При малых $h$ получаем найденное в параксиальном приближении значение фокусного расстояния.

Полная непараксиальнаягеометрия:A/B/O/F,R/x/h,alpha,все лучи/пунктир.

2.3 Из формулы (9) следует, что $x$ всегда больше $R/2$ , т.е. отраженный луч приближается к зеркалу. Единственная возможность, чтобы аберрация луча стала равной 100%, $F_1-F_0=R/2$ , или $x=R$ . Это возможно при $\sqrt{1-h^2/R^2}=2\Rightarrow h=R\sqrt3/2\Rightarrow\alpha=60^\circ$ . В этом случае отраженный луч попадает в оптический центр зеркала $P$ .

Оригинальный заголовок ключа

III этап Республиканской олимпиады по физике 2018 года. Решения задач.

Оригинал в Архива: 3_etap_2018_theoretical_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2018_theoretical_solutions.pdf