Съдържание

BelPhO 2018, Областен етап, 9,10,11 — Задача 11-2. 11 класс — 2. Когда отрезок можно считать точкой?

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2018

III этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Полученные оригиналы содержат девять самостоятельных целых задач: по три для 9, 10 и 11 класса. Сохранены 45 основные номерные группы и все внутренние запросы, включая 2.4.1–2.4.5 «Переменной плотности» и оба запроса пункта 3 о брусках. Каталожное число 52 не задает новое разбиение.

Время выполнения, баллы и численные таблицы оценивания не напечатаны. Сохранены все комментарии жюри, альтернативный способ акселерометра и полные аналитические методы. Получены три исходных пустых бланка лампочки и исходный магнитный графический бланк. Отдельный графический бланк давления насыщенного пара, обещанный в задаче о воде, отсутствует; вся исходная таблица передана. Ключ лампочки отсылает к графику напряжения конденсатора, которого в полученном ключе нет: переданы текст и пустой бланк, новый ответный график не изготовлен.

Сохранены исходные противоречия и ошибки: $P=m'gz$ в определении давления; прежнее напряжение зажигания при переходе с 3 на 5 В; в ключе $U=I/R$ и разрядка до нуля при указанном гашении 1 В; $g=10\text{ м/с}$ , повтор «первое тело» и номера 2.4; «линза» в зеркале, $a\gamma=d$ , $F_1-F_0=R/2$ и $\sqrt{1-h^2/R^2}=2$ ; два значения 4246 Па при 30 и 31°C, повтор $t_0$ , единица теплоемкости камня без К, $40-0{,}2=38{,}8^\circ C$ ; «значительно больше» в диалоге; в магнитах степень $1/4$ второго выражения периода, лишнее $x_0$ в знаменателе (15) и повтор обозначения $x_1$ . Метод ключа для $\delta_{\max}$ и его ответ 5,8 см переданы буквально.

Оригинальные заголовки комплекта

III этап Республиканской олимпиады по физике 2018 года. Теоретический тур. Условия задач. 9 класс. Далее в оригинале:10класс (стр9),11класс (стр14).

Условие

Приведем выдержку из возможного диалога на уроке физике:

Ученик: Что такое точечный заряд?

Учитель: Точечным зарядом называется заряженное тело, размерами которого в данных условиях можно пренебречь!

Ученик: А при каких условиях размерами тела можно пренебречь?

Учитель; Если размеры тела значительно меньше расстояний между телами!

Ученик: Значительно больше — это во сколько раз?

Учитель: …????

Поможем учителю и рассмотрим один конкретный пример взаимодействия не точечных тел.

Часть 1.

Тонкий стержень длиной $2l$ равномерно заряжен, его суммарный заряд равен $q_2$ . На оси стержня на расстоянии $a$ от его середины $(a>l)$ находится точечный заряд $q_1$ .

Полная схема точечногозаряда и стержня:q1,q2,2l,a.

1.1 Получите точное выражение для силы, действующей на стержень со стороны точечного заряда.

Подсказка. Покажите, что в произвольном электростатическом поле на равномерно заряженный стержень вдоль оси стержня³ действует сила $\vec F_l$ , которая пропорциональна разности потенциалов на концах стержня

F_l=\gamma(\varphi_A-\varphi_B).\qquad (1)

Найдите коэффициент пропорциональности $\gamma$ в этой формуле.

Полная подсказка: линииE,стерженьA/B,F_l,все стрелки.

³ Возможно существование и других компонент суммарной силы, действующей на стержень.

1.2 Предположим, что стержень можно считать точечным зарядом, сосредоточенным в его середине. Запишите формулу для силы, действующей на стержень в этом приближении. Назовем эту формулу Приближением точечного заряда.

Полная одноточечная модель:q1/q2,стержень,a.

1.3 Теперь предположим, что суммарный заряд стержня можно разделить поровну и расположить на его концах. Запишите формулу для силы, действующей на стержень в этом приближении. Назовем эту формулу Приближением двухточечного заряда.

Полная двухточечная модель:q1,дваq2/2,2l,a.

1.4 Обозначим отношение $l/a=z$ и будем считать его малой величиной $(z\ll1)$ . Покажите, что относительные погрешности приближенных формул имеют второй порядок малости, т.е. их можно представить в виде $\varepsilon=Cz^2$ , где $C$ — некоторое число. Найдите значения эти постоянных для двух приближенных формул. Какая из приближенных формул точнее?

1.5 Оцените, при каком отношении $a/l$ стержень можно считать точечным зарядом, если допустимая погрешность расчеты силы взаимодействия составляет 1%.

При оценке погрешностей можете пользоваться приближенной формулой, справедливой при малых $x$ :

(1+x)^\gamma\approx1+\gamma x.

Решение

Начнем с реализации подсказки. Разобьем равномерно заряженный стержень на малые участки длиной $\Delta l$ . Проекция силы, действующей этот элемент, на ось стержня равна

\Delta F=\lambda\Delta lE\cos\alpha.\qquad (1)

Полный малыйзаряженныйэлементстержня:A/B,E,alpha,Delta l,все стрелки.

Чтобы найти суммарную силу, следует просуммировать по всем отрезкам стержня

F_l=\sum_i\lambda E_i\Delta l_i\cos\alpha_i=\lambda\sum_iE_i\Delta l_i\cos\alpha_i.\qquad (2)

Но стоящая здесь сумма есть разность потенциалов между концами стержня, поэтому эту силу можно представить в виде

F_l=\lambda(\varphi_A-\varphi_B).\qquad (3)

1.1 Используя формулу (3), запишем точное выражение для силы взаимодействия

F=\lambda kq_1\left(\frac1{a-l}-\frac1{a+l}\right)=\lambda kq_1\frac{2l}{a^2-l^2}=k\frac{q_1q_2}{a^2-l^2}.\qquad (4)

1.2 Приближение точечного заряда. Выражение для силы имеет вид

F=k\frac{q_1q_2}{a^2}.\qquad (5)

1.3 Приближение двух точечного заряда. Выражение для силы в этом приближении

F=\frac k2\frac{q_1q_2}{(a-l)^2}+\frac k2\frac{q_1q_2}{(a+l)^2}=kq_1q_2\frac{a^2+l^2}{(a^2-l^2)^2}.\qquad (6)

1.4 Упростим формулы, считая отношение $l/a$ малым.

Для формулы (4) (точной):

F=k\frac{q_1q_2}{a^2-l^2}=k\frac{q_1q_2}{a^2}\frac1{1-(l/a)^2}\approx k\frac{q_1q_2}{a^2}(1+z^2).\qquad (4a)

Для формулы (6)

F=kq_1q_2\frac{a^2+l^2}{(a^2-l^2)^2}=k\frac{q_1q_2}{a^2}\frac{1+z^2}{(1-z^2)^2}\approx k\frac{q_1q_2}{a^2}(1+z^2)(1+2z^2)\approx k\frac{q_1q_2}{a^2}(1+3z^2).\qquad (6a)

Сравнивая эти формулы, видим, что относительная погрешность приближение точечного заряда

\varepsilon_1=-z^2,\qquad (7)

погрешность двухточечного приближения

\varepsilon_2=2z^2.\qquad (8)

Неожиданно, но приближение точечного заряда точнее!

1.5 Из выражения (7) получаем

\left(\frac la\right)^2\approx0{,}01\Rightarrow a\approx10l.

Таким образом, «во много раз больше» оказалось всего лишь в десять!

Оригинальный заголовок ключа

III этап Республиканской олимпиады по физике 2018 года. Решения задач.

Оригинал в Архива: 3_etap_2018_theoretical_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2018_theoretical_solutions.pdf