Съдържание

Условие Часть 1. Графен Часть 2. Графит Часть 3. Алмаз Часть 4 Бланк к задаче 9.2 Решение

BelPhO 2018, Заключителен етап — Задача 9-2. Графен, графит, алмаз

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2018

Белорусская республиканская олимпиада по физике 2018 — заключительный этап, теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Complete60native24Q36K pages:13whole tasks across9/10/11cohorts with83numbered and4unnumbered requests. All available archive keys and actual native diagrams/graphs/forms/photos. Seasonal Ohm request lacks key answer; separate referenced graph/construction blanks absent. Original numerical powers/signs/mass-unit/equation-label discrepancies and harmonic initial-condition gap preserved with attributed notes. No independently verified organizer provenance.

Условие

9 класс.

Углерод — химический элемент четвертой группы таблицы Менделеева. Валентность углерода равна 4, поэтому он может легко соединяться с другими атомами углерода, образуя различные разветвленные структуры. В данной задаче вам предстоит рассмотреть некоторые известные формы чистого углерода.

Молярная масса углерода $M=12{,}0\,\text{г}/\text{моль}$ . Постоянная Авогадро $N_A=6{,}02\cdot10^{23}\,\text{моль}^{-1}$ . Нанометр — единица длины, используемая в атомной физике $1\,\text{нм}=10^{-9}\,\text{м}$ .

Часть 1. Графен

Графен — двумерная модификация углерода, образованная слоем атомов углерода толщиной в один атом, соединённых в гексагональную (шестиугольную) двумерную кристаллическую решётку (рис. 1).

Расстояние между ближайшими атомами в пленке графена равно $a_0=0{,}142\,\text{нм}$ .

Рисунок 1. Оригинальная гексагональная решётка графена

Поверхностной плотностью называется масса единицы площади $\sigma=m/S$ .

За «передовые опыты с двумерным материалом — графеном» А. К. Гейму и К. С. Новосёлову была присуждена Нобелевская премия по физике за 2010 год.

1.1 Рассчитайте поверхностную плотность графена.

Часть 2. Графит

На рисунке показана $\alpha$ -модификация кристаллической решётки графита. Структура данной решётки слоистая. Каждый слой строится из правильных шестиугольников, в вершинах которых находятся атомы углерода. Соседние слои смещены относительно друг друга так, что половина атомов второго слоя располагается над центрами шестиугольников первого (нижнего) слоя и под центрами шестиугольников третьего (верхнего) слоя. Первый и третий слои повторяют друг друга.

Рисунок 2. Оригинальная модель слоистой решётки графита

2.1 Изобразите расположение атомов в двух соседних слоях при виде «сверху». Для этого используйте бланк к задаче. Штриховкой выделена пара шестиугольников, расположенные один под одним. В каждом слое атомы должны заполнять всю нарисованную сетку.

2.2 Рассчитайте плотность графита. Атомы углерода, находящиеся в соседних вершинах шестиугольника, отстоят друг от друга на величину $a_1=0{,}1415\,\text{нм}$ , а соседние плоскости удалены друг от друга на $h=0{,}3354\,\text{нм}$ (рис. 3).

Часть 3. Алмаз

В кристаллической решетке алмаза все атомы углерода находятся «в равных условиях»: каждый атом соединен ковалентными связями с четырьмя соседними атомами, находящимися в вершинах правильной треугольной пирамиды — тетраэдра (рис. 4).

Расстояние между соседними атомами в кристаллической решетке алмаза равно $a_2=0{,}153\,\text{нм}$ .

Представить себе кристаллическую решетку алмаза можно следующим образом. Возьмем «четверку атомов», расположим ее вертикально, а затем к каждому из трех нижних атомов присоединим еще три таких же четверки, далее процесс присоединения можно продолжить (рис. 5).

Рисунок 5. Оригинальная нумерованная сборка алмазной решётки

Математическая подсказка. На рис. 6 показан тетраэдр, образуемый атомами углерода в кристаллической решетке алмаза. Если расстояние между ближайшими атомами равно $A_0A_1=A_0A_2=A_0A_3=A_0A_4=a$ , то:

Длина стороны тетраэдра $l=A_1A_2=\ldots=A_4A_2=\sqrt{8/3}\,a$ .

Площадь одной грани тетраэдра $S=\sqrt{4/3}\,a^2$ .

Объем тетраэдра $V=\sqrt{64/243}\,a^3$ .

Угол между основанием тетраэдра и направлением связи с центральным атомом $\angle A_0A_3B$ : $\alpha\approx19{,}47^{\circ}$ , при этом $\sin\alpha=1/3$ .

Рисунок 6. Полная геометрическая подсказка с A0–A4, B, α, a и l

3.1 На бланке к задаче укажите расположение атомов в трех последовательных слоях решетки алмаза при виде сверху (см. рис. 5): Слой 1 — содержит атомы 1-2-3; Слой 2 — содержит атомы 4-5-6; Слой 3 — следующий, лежащий под слоем 2. В каждом слое атомы должны заполнять всю нарисованную сетку. На каждом рисунке показано положение атома 0.

3.2 Рассчитайте плотность алмаза.

Часть 4

На последующие вопросы дайте краткие словесные (не более 20 слов) ответы.

4.1 Почему графит проводит электрический ток, а алмаз нет?

4.2 Электрическое сопротивление кристалла графита очень сильно зависит от направления протекания электрического тока. В каком направление протекания тока вдоль слоев (1), или поперек их (2), сопротивление графита больше и почему?

4.3 На рисунке, приведенному на бланке ответов, показана фотография модели кристаллической решетки алмаза. Какую принципиальную ошибку допустили разработчики этой модели? Укажите ее прямо на рисунке и дайте краткое обоснование вашего ответа.

Бланк к задаче 9.2

Бланк к задаче 9.2 Графен, графит, алмаз. Не забудьте сдать этот листок!

2.2 Расположение атомов в слоях кристаллической решетки графита.

Оригинальные два пустых слоя графита, шапка бланка и все границы сеток

3.1 Расположение атомов в слоях кристаллической решетки алмаза.

Оригинальные три пустых слоя алмаза с исходным атомом 0

Рисунок 6. Модель кристаллической решетки алмаза: оригинальная фотография на бланке

Reader note: The native blank labels the graphite construction 2.2 although the question labels it 2.1. “Рисунок 6” is reused for the mathematical hint and model photograph.

Решение

Задача 9.2 Графен, графит, алмаз.

Часть 1. Графен.

1.1 В решетке графена в шести вершинах каждого шестиугольника находится по одному атому. Но каждый атом входит в три соприкасающихся шестиугольника. Следовательно, на площади одного шестиугольника в среднем находится два атома. Поэтому поверхностная плотность графена может быть рассчитана по формуле

\sigma=\frac{2m}{S_0}.\qquad (1)

Оригинальный подсчёт атомов в шестиугольнике графена

Здесь $m=M/N_A$ — масса атома углерода,

S_0=6\cdot\frac12a_0^2\sin60^{\circ}=\frac{3\sqrt3}{2}a_0^2\qquad (2)

площадь шестиугольника. После подстановки этих выражений в формулу (1), получаем

\sigma=\frac{2m}{S_0}=\frac4{3\sqrt3}\frac{M}{N_Aa_0^2}.\qquad (3)

Подстановка численных значений приводит к результату

\sigma=\frac4{3\sqrt3}\frac{M}{N_Aa_0^2}=\frac4{3\sqrt3}\frac{12{,}0\cdot10^{-3}\,\text{кг}/\text{моль}}{6{,}02\cdot10^{23}\,\text{моль}^{-1}\cdot(0{,}142\cdot10^{-9})\,\text{м}^2}=7{,}61\cdot10^{-7}\,\text{кг}/\text{м}^2.\qquad (4)

Часть 2. Графит.

2.1 В условии задачи сказано, что атомы в соседних слоях смещены относительно друг друга, поэтому правильное расположение атомов в соседних слоях показано на следующем рисунке.

Полное оригинальное заполнение двух слоёв графита

Для наглядности совместим эти слои.

Оригинальное наложение двух слоёв графита

Таким образом, в каждом слое имеется такая же гексагональная плоская решетка, как и в графене. Поэтому поверхностная плотность в каждом слое также будет определяться по формуле (3), только с немного иным значением длины стороны шестиугольника. Слои находятся на расстоянии $h$ . Иными словами, в «пластинке» толщиной $h$ находится один слой атомов. Поэтому плотность графита рассчитывается по формуле

\rho=\frac{\sigma}{h}=\frac4{3\sqrt3}\frac{M}{N_Aa_0^2h}.\qquad (5)

Численное значение

\rho=\frac4{3\sqrt3}\frac{M}{N_Aa_0^2h}=\frac4{3\sqrt3}\frac{12{,}0\cdot10^{-3}\,\text{кг}/\text{моль}}{6{,}02\cdot10^{23}\,\text{моль}^{-1}\cdot(0{,}1415\cdot10^{-9})\,\text{м}^2\cdot0{,}3354\cdot10^{-9}\,\text{м}}=2{,}28\cdot10^3\,\text{кг}/\text{м}^3.

Отметим, что табличное значение плотности графита $2{,}2\quad2{,}27\cdot10^3\,\text{кг}/\text{м}^3$ .

Часть 3. Алмаз.

3.1 Располагать атомы в каждом слое удобно последовательно, в соответствии с описанным порядком построения решетки. Результат показан на рисунке.

Оригинальное заполнение трёх слоёв алмаза

Понятно, что слои 1 и 2 полностью повторяют друг друга. И в этом случае покажем результат совмещения слоев 2 и 3.

Полное оригинальное наложение слоёв 2 и 3 алмаза

3.2 Плотность графита можно рассчитывать различными способами, но, по-видимому, самый простой способ воспользоваться приведенной математической подсказкой. Как следует из приведенного построения, расположения атомов в каждом слое идентичны. Это расположение можно представить как набор правильных треугольников, покрывающих плоскость. Длина стороны и площадь такого треугольника приведена в подсказке! Понятно, что в среднем на каждый треугольник приходится только половина атома (так как каждый атом входит в шесть стыкующихся треугольников). Следовательно, поверхностная плотность атомов в каждом слое равна

\sigma_2=\frac12\frac m{S_3}=\frac12\frac{M}{N_A\sqrt{4/3}\,a^2}=\frac{\sqrt3}{4}\frac M{N_Aa^2}.\qquad (6)

Оригинальный треугольный подсчёт атомов алмаза

Теперь обратим внимание, что рассмотренные слои расположены на неодинаковых расстояниях. Опять же, с помощью подсказки моно заметить, что расстояния между слоями чередуются: сначала слои располагаются на расстоянии $a$ , а потом на расстоянии $a/3$ .

Оригинальные чередующиеся расстояния a и a/3 между слоями алмаза

Следовательно, на толщине $H=4a/3$ располагаются два слоя, поэтому плотность алмаза равна

\rho=\frac{2\sigma_2}{H}=2\frac{\sqrt3}{4}\frac M{N_Aa^2}\frac3{4a}=\frac{3\sqrt3}{8}\frac M{N_Aa^3}.\qquad (7)

Численные расчеты приводят к следующему результату

\rho=\frac{3\sqrt3}{8}\frac M{N_Aa^3}=\frac{3\sqrt3}{8}\frac{12{,}0\cdot10^{-3}\,\text{кг}/\text{моль}}{6{,}02\cdot10^{23}\,\text{моль}^{-1}\cdot(0{,}153\cdot10^{-9})\,\text{м}^3}=3{,}62\cdot10^3\,\text{кг}/\text{м}^3.\qquad (8)

Часть 4.

4.1 В решетке алмаза все атомы связаны четырьмя ковалентными связями, поэтому свободных электронов нет. В графите атомы связаны в гексагональном слое с тремя соседними, потому одна связь остается свободной. Электроны, обеспечивающие эту связь, оказываются свободными, они и являются носителями электрического тока.

4.2 Свободные электроны легко могут двигаться между слоями кристаллической решетки, но с большим трудом преодолевают слои с густо расположенными атомами. Поэтому электрическое сопротивление поперек слоев намного больше, чем сопротивление при протекании тока вдоль слоев — по литературным данным, более чем в 1000 раз!

4.3 В приведенной модели имеются атомы, имеющие 6 (шесть!) связей. В то время как углерод четырехвалентен, поэтому более 4 связей быть не может!

Reader note: The numerical denominators in native (4)/(8) omit a power on the parenthesized number; (5) uses $a_0$ while substituting the stated $a_1$ . The graphite density range connector is absent. The diamond subsection literally says “Плотность графита”, and “между слоями” in 4.2 is retained. These are source entries, not editorial corrections.

Оригинальный титульный лист

Республиканская физическая олимпиада 2018. Заключительный этап. Теоретический тур. Полоцк 2018. Event photograph and emblem remain in the exact retained native PDF.

Source scope and authority

no separate theory schemes, grading or organizer clarifications listed. Carbon blank-layer response forms and model photo Q6 and every available key graph/construction retained. Separately referenced mirror and graph blanks are genuinely absent from the complete pair/folder. Ohm seasonal winter/summer request has no key entry and remains honestly incomplete; every other available key is retained. Archive event authority only; no independent organizer URL established and all solutions attributed archive.

Original-reader source caveat

p2 response sheet graphite label 2.2 differs from requested 2.1; figure6 repeated for tetrahedron and model photo. Key graphite analytical formula uses a0 while numerical uses a1; decimal-density range connector absent; diamond-density heading says graphite and numerical denominators omit explicit powers though preceding analytical powers are present. Native conductivity explanation wording retained.

Original-reader source caveat

p3 question has two different requests labelled3.6. Seasonal winter/summer request has no key entry; solution remains incomplete. Localized original-pixel reopening confirms first brass X=111.50 in both Q9/K10, inverse.0090; preliminary11.50 reading withdrawn. A2=2.85e-3 differs from reciprocal a2=5.41e2; brass b3=1.12 later1.18. Every literal value and label preserved.

Original-reader source caveat

p4 parallel-system divided second row prints I1 where earlier equations use I2. Charged-ball explanation says internal forces influence COM (missing negation), yet immediately uses free fall. No silent correction.

Original-reader source caveat

p5 Q says mass of air inside «нее» remains unchanged; «нее» is a pronoun, not negation. Preliminary opposite reading withdrawn; key uses constant molecule number. Q asks gamma=beta T^z though thermal coefficient is lambda. Metal lead heat uses QAg and both composite heats Q1. K18eq24 prints5/3 while23 and33 use5/2; K19eq32 omits l on left while28 includes it. Temperature-axis Celsius vs Kelvin scope retained.

Original-reader source caveat

p6 leakage Delta f=f(alpha-Delta alpha)-f(alpha) coexists with Delta alpha=-1deg and reported negative fractional change; approximate and numerical estimates differ. Preserve printed formula/sign/result without invented adjudication. Q15 specifies mass1/16grain per foot while K19 numerical diameter uses that mass with28inch length; exact original preserved. Approximate K23equilibrium uses extra alpha lever beside priorr0description.

Original-reader source caveat

p7 repeated equation8 has final ax=-3g cos(alpha) missing sin compared preceding expression. K26 frame described downward g/2 despite native axis/hodograph center sign. K27 initial finite-n potential expression squares some terms before next line unsquared sum. Key break-distance prose one third retained beside graph zero at2n/3.

Original-reader source caveat

p8 key equation0.472gamma is followed by prose0.478; repeated tags3/9 retained. All historical ether hypotheses and quotations are original source content, separately contextualized.

Original-reader source caveat

p9 K34 repeated copper density has g/m3 while Q uses g/cm3; numerical n uses SI8.92e3. K35beta=rho/(ne2) differs from previous current expressions; stationary harmonic solution does not satisfy imposed initial v0=0 without a transient, absent from key. K36 heat-average swaps cosine/sine coefficients relative26; repeated tags28/29, Pincident=IS=I and pressure single-electron/surface factors retained. No source solution repaired or transient invented.

Примечание транскрипции к архивному оригиналу — 10-3. Опыты Ш. Кулона

В условии масса $1/16$ грана относится к одному футу нити; в численной подстановке ключа (3) эта масса стоит вместе с длиной 28 дюймов. В формуле изменения $f$ напечатано $\alpha-\Delta\alpha$ , при этом далее $\Delta\alpha=-1^\circ$ и итог отрицателен. Приближенная формула равновесия содержит множитель $r_0\alpha$ , хотя предшествующий текст называет плечом $r_0$ . Напечатанные исходные величины, формулы и оба результата изменения заряда сохранены без подмены исправленным расчетом.

Примечание транскрипции к архивному оригиналу — 11-1. Шарики на спице и как ломаются трубы

В последнем выражении для $a_x$ в повторно обозначенной формуле (8) на K25 отсутствует $\sin\alpha$ ; последующая (9) содержит его. Описание системы отсчета сохраняет слово «вниз» рядом с оригинальным годографом. В первой строке (18) правая сумма печатает квадраты после первого члена, а следующая строка использует $\sum k$ . В (19) промежуточное равенство не содержит $\sin\alpha$ , хотя конечная формула его содержит. Формулировка «на одной трети» и график с $2n/3$ воспроизведены вместе, без добавленного направления отсчета.

Примечание транскрипции к архивному оригиналу — 11-2. Опыт Физо

В (20) напечатано $0{,}472\gamma$ , а следующий текст дает 0,478. Повторные номера (3) и (9), все три исторические гипотезы и последующая часть о СТО сохранены как исходное содержание.

Примечание транскрипции к архивному оригиналу — 11-3. Давление света

Повтор плотности меди на K34 печатает г/м³, хотя Q23 дает г/см³ и численная подстановка использует $8{,}92\cdot10^3$ кг/м³. Формула (15) печатает $\rho/(ne^2)$ рядом с предыдущими выражениями тока. Гармоническое решение (26) не содержит переходного слагаемого для заданной в условии нулевой начальной скорости; оно не добавлено в архивный ключ. В усреднении мощности переставлены коэффициенты косинуса и синуса относительно (26). В (30) есть дополнительное равенство $=I$ ; (32)–(33) содержат обозначение силы одного электрона и различающиеся множители $S$ . Повторные номера (10), (28), (29), ссылка на (4) вместо формулы силы (5) и все напечатанные результаты сохранены.

Повторный номер в задаче «Опыты Георга Ома»

На странице 9 оригинала два последовательных, различных вопроса в одной части имеют номер 3.6. Первый номер 3.6 сохранен; второй показан как «3.6 (повтор)» для различения. Обе формулировки, исходный порядок и общее число вопросов сохранены без перенумерации. Сезонный вопрос о зиме и лете не имеет ответа в полном архивном ключе.

Оригинальное указание к разминке 9-1

9 класс. Условия задач.

Задание состоит из трех не связанных между собой задач!

Оригинальное указание к разминке 10-1

10 класс.

Задание состоит из трех не связанных между собой задач.

Оригинал в Архива: 2018_theoretical_problems.pdf · решение от архива: 2018_theoretical_solutions.pdf