Съдържание

Условие Часть 1. Экспериментальная установка Часть 2. Теоретическое описание Часть 3. Результаты измерений и их обработка Решение

BelPhO 2018, Заключителен етап — Задача 9-3. Опыты Георга Ома

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2018

Белорусская республиканская олимпиада по физике 2018 — заключительный этап, теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Complete60native24Q36K pages:13whole tasks across9/10/11cohorts with83numbered and4unnumbered requests. All available archive keys and actual native diagrams/graphs/forms/photos. Seasonal Ohm request lacks key answer; separate referenced graph/construction blanks absent. Original numerical powers/signs/mass-unit/equation-label discrepancies and harmonic initial-condition gap preserved with attributed notes. No independently verified organizer provenance.

Условие

9 класс.

Конечно, Вам известен закон Ома для участка цепи! Скорее всего, вы даже проверяли его экспериментально! Что может быть проще: взяли батарейку, вольтметр, амперметр, переменный резистор, соединительные провода; собрали простенькую электрическую цепь и убедились, что сила тока в цепи пропорциональна приложенному напряжению.

Но задумывались ли Вы, как этот закон был открыт экспериментально в 1826 году, когда розеток в доме, и батареек в магазине не было, не говоря уж о вольтметрах и амперметрах. Более того, в то время еще не было таких понятий как напряжение, сила тока, электрическое сопротивление!

В данной задаче вам предстоит разобраться с тем, как Георгу Симону Ому удалось провести эксперименты, приведшие к открытию закона Ома. Описание установки и все экспериментальные данные, приведенные в этой задаче, взяты из работы Г.С. Ома «Определение закона, по которому металлы проводят контактное электричество…»

Часть 1. Экспериментальная установка

На рисунке приведена фотография модели прибора Ома, рядом показана электрическая схема этого устройства. Нумерация деталей установки одинакова на обоих рисунках. В качестве чувствительного элемента используется магнитная стрелка 1, подвешенная на тонкой полоске 2 из расплющенной золотой проволоки. Сверху полоска прикреплена к небольшому цилиндру 3, который можно вращать и с помощью угломерной шкалы измерять угол закручивания золотой полоски. В качестве источника тока использовалась термоэлектрическая батарея, состоящая из П-образной пластины 5, отлитой из висмута, к которой прикреплены две медные полоски 6 и 7. Вторые концы этих полосок помещены в чашки 8 и 9, заполненные ртутью. Концы пластины из висмута с медными полосками помещены в два сосуда 10 и 11, одном из которых (11) находится вода с плавящимся льдом, во втором (10) — кипящая вода. В чашечки со ртутью (8-9) помещались куски 13 исследуемых проволок различной длины. Одна из медных полосок (6) располагалась горизонтально, строго вдоль магнитного меридиана. Магнитная стрелка размещалась над этой полоской, причем при отсутствии электрического тока в цепи стрелка ориентировалась строго вдоль полоски, при этом ее подвес (золотая полоска) не был закручен.

Оригинальная фотография прибора Ома со всеми номерами деталей

Оригинальная электрическая схема прибора Ома с теми же номерами

Принцип действия прибора и методика измерений заключались в следующем. Если концы термоэлектрической батареи (места стыков висмута и меди) находятся при разных температурах, то в ней возникает постоянное напряжение, которое зависит от разности температур стыков. При замыкании цепи (т.е. при подключении провода 13 к чашечкам со ртутью) в ней возникает электрический ток. Электрический ток, протекающий по медной полоске, находящейся под магнитной стрелкой, создает магнитное поле, стремящееся повернуть стрелку перпендикулярно протекающему току. При этом момент силы, действующий на стрелку пропорционален силе тока и зависит от ориентации стрелки относительно направления тока. Стрелка поворачивается на некоторый угол. Затем, вращая верхний цилиндр, стрелку возвращают в исходное положение, вдоль магнитного меридиана и медной полоски. При этом с высокой точностью измеряют угол поворота верхнего цилиндра. По измерениям Г. Ома при закручивании золотой полоски в ней возникает момент сил упругости, пропорциональный углу закручивания, причем эта пропорциональность соблюдается, даже если угол закручивания достигает трех оборотов. Таким образом, Г. Ом измерял зависимость угла закручивания $X$ золотой полоски от длины $x$ и материала проволоки 13, подключенной к ртутным контактам.

Точнее надо говорить об электродвижущей силе (ЭДС), но в данном случае это различие не слишком существенно.

Прежде чем приводить результаты измерений и их обработку кратко ответьте на следующие вопросы.

1.1 Чему равен момент силы, действующий на магнитную стрелку со стороны магнитного поля Земли, в положении равновесия стрелки при отсутствии тока в цепи?

1.2 Почему в экспериментах Г. Ома нет необходимости учитывать влияние магнитного поля Земли?

1.3 Покажите, что измеряемый угол закручивания золотой полоски пропорционален силе тока в цепи.

1.4 Зачем в данной установке использовались чашки со ртутью?

Часть 2. Теоретическое описание

В результате анализа экспериментальных данных Г. Ом пришел к выводу, что зависимость угла закручивания полоски подвеса $X$ (в угловых градусах) от длины подключенной проволоки $x$ (в дюймах) может быть описана формулой

X=\frac a{x+b},\qquad (1)

Где $a$ и $b$ — постоянные для данной серии опытов величины. Как уже было сказано, угол закручивания пропорционален силе тока в цепи, поэтому будем считать, что $X=cI$ , где $c$ — постоянный для всех опытов коэффициент. Обозначим сопротивление единицы длины проволоки $r$ (для разных материалов оно различно); постоянное сопротивление всей цепи без проволоки $R_0$ ; напряжение, создаваемое батареей $U_0$ (оно зависит только от разности температур концов батареи).

2.1 С помощью закона Ома, выразите зависимость угла закручивания $X$ от длины присоединенной проволоки $x$ , используя введенные физические параметры $r,R_0,U_0,c$ .

2.2 Выразите параметры Ома $a$ и $b$ через физические параметры $r,R_0,U_0,c$ .

Часть 3. Результаты измерений и их обработка

Во всех своих расчетах постарайтесь использовать все приведенные экспериментальные данные — это повышает точность результатов и обоснованность выводов. Оценивать погрешности не требуется. Необходимые графики постройте на отдельном бланке к данной задаче.

В первом эксперименте Г. Ом использовал куски разной длины медного провода, вырезанные из одного куска полоскового медного провода. Один конец термобатареи все время находился в чашке с плавящимся льдом (его температура $0^{\circ}\mathrm R$ ). В первой серии измерений второй конец термобатареи батареи находился в сосуде с кипящей водой (ее температура $80^{\circ}\mathrm R$ ), во второй серии измерений второй конец термобатареи находился при комнатной температуре (которая равнялась $7{,}0^{\circ}\mathrm R$ ). В Таблице 1 приведены результаты измерений угла закручивания подвеса $X$ от длины подключенной проволоки $x$ для двух серий измерений.

Таблица 1 Медная проволока.

$x$ , дюйм	2,0	4,0	6,0	10,0	18,0	34,0	66,0	130,0
$X^{\circ}$ (при $80^{\circ}\mathrm R$ )	305,25	281,50	259,00	224,00	178,50	124,75	79,00	44,50
$X^{\circ}$ (при $7{,}0^{\circ}\mathrm R$ )	27,00	25,00	23,33	20,00	15,50	10,75	6,50	3,67

Г. Ом использовал шкалу Реомюра. Приведенных в условии данных хватает, чтобы при необходимости прейти к шкале Цельсия.

3.1 Покажите, что в обеих сериях измерений полученные результаты хорошо описываются формулой Ома (1). Для этого постройте графики полученных зависимостей, в таких координатах, чтобы они были линейны.

3.2 Рассчитайте значения коэффициентов Ома $a_1,b_1$ и $a_2,b_2$ для обеих серий измерений.

3.3 Покажите, что значение параметра $R_0$ можно считать примерно одинаковым в обоих случаях. Объясните возможные причины их различия.

3.4 Рассчитайте длину (в дюймах) использованной проволоки, которая имеет сопротивление равное сопротивлению $R_0$ , когда второй конец термобатареи помещен в кипящую воду.

3.5 Покажите, что напряжение, создаваемое термобатареей, пропорционально разности температур ее концов.

3.6 Зимой или летом были проведены представленные измерения?

3.6 (повтор) В таблице 2 приведены результаты измерений угла закручивания подвеса при использовании латунной проволоки (второй конец батареи в кипящей воде).

Таблица 2.

$x$ , дюйм	2,0	4,0	8,0	16,0
$X^{\circ}$ (при $80^{\circ}\mathrm R$ )	111,50	64,75	37,00	19,75

Покажите, что и в этом случае значение параметра $R_0$ можно считать таким же, как и при использовании медной проволоки.

3.7 Найдите длину (в дюймах) медной проволоки, сопротивление которой равно сопротивлению 1 дюйма использованной латунной проволоки.

Решение

Внимание: Непълно решение

The complete archived key has no answer to the seasonal winter/summer request labelled3.6; all other obtainable key content retained.

Задача 9-3 Опыты Георга Ома.

Часть 1. Экспериментальная установка.

Для ответа на поставленные вопросы требуется не только разобраться в принципах действия установки, но высказать некоторые предположения (почти очевидные) о характере исследуемых процессов.

Оригинальная иллюстрация Ohm, Volts и Ampere из ключа

1.1 Так как в этом положении в установке Г. Ома подвес также не закручен, то момент силы со стороны поля Земли равен нулю (так как в этом положении стрелка находится в равновесии).

1.2 Измерения угла закручивания проводятся при направлении стрелки на север. В этом положении момент силы, действующий на стрелку со стороны поля Земли равен нулю, поэтому нет необходимости учитывать магнитное поле Земли.

1.3 При закручивании подвеса стрелка возвращается в исходное состояние если момент силы упругости уравновешивает максимальный момент силы, действующей на стрелку со стороны магнитного поля тока. Так как измерения проводятся при ориентации стрелки строго вдоль направления тока, то момент силы, действующей со стороны тока, зависит только от силы тока. Наконец, момент силу упругости пропорционален углу закручивания. Отсюда следует, что при указанной методике измеряемый угол закручивания пропорционален силе тока. Отметим, что при измерении угла отклонения стрелки необходимо знать зависимость моментов сил от угла поворота стрелки.

1.4 Ртутные контакты используются для уменьшения и стабилизации их сопротивления.

Часть 2. Теоретическое описание.

2.1 Из закона Ома следует, что сила тока в цепи описывается формулой

I=\frac UR=\frac{U_0}{rx+R_0},\qquad (1)

где $rx$ — сопротивление подключенной проволоки. Тогда угол закручивания равен

X=cI=\frac{cU_0}{rx+R_0}.\qquad (2)

2.2 Последнюю формулу можно переписать в форме, совпадающей с формой, предложенной Г. Омом

X=\frac{cU_0/r}{x+R_0/r}.\qquad (3)

Из сравнения этой формулы с формулой Г. Ома $X=a/(x+b)$ , находим формулы для параметров Ома

a=\frac{cU_0}{r},\qquad b=\frac{R_0}{r}.\qquad (4)

Часть 3 Результаты измерений и их обработка.

Для того, чтобы получить линейную зависимость, удобно построить график зависимости величины $X^{-1}$ от длины проволоки. Расчеты величин обратных углам закручивания приведены в Таблице 1. Соответствующие графики показаны на рисунках.

Таблица 1 Измерения с медной проволокой.

$x$ , дюйм	2,0	4,0	6,0	10,0	18,0	34,0	66,0	130,0
$X^{\circ}$ (при $80^{\circ}\mathrm R$ )	305,25	281,50	259,00	224,00	178,50	124,75	79,00	44,50
$X^{\circ}$ (при $7{,}0^{\circ}\mathrm R$ )	27,00	25,00	23,33	20,00	15,50	10,75	6,50	3,67
$X^{-1}$ (при $80^{\circ}\mathrm R$ )	0,0033	0,0036	0,0039	0,0045	0,0056	0,0080	0,0127	0,0225
$X^{-1}$ (при $7{,}0^{\circ}\mathrm R$ )	0,0370	0,0400	0,0429	0,0500	0,0645	0,0930	0,1538	0,2725

Оригинальный полный график медного провода при кипении, с заголовком и шкалами

Оригинальный полный график медного провода при комнатной температуре

Полученные графики являются линейными с высокой точностью, что подтверждает применимость формулы Ома для описания полученной зависимости.

3.2 Для расчета параметров $a,b$ запишем полученную зависимость в виде

\frac1X=\frac{x+b}{a}=\frac1a x+\frac ba=Ax+B.\qquad (5)

Где $A,B$ — параметры линейных зависимостей, представленных на графиках. Эти параметры могут быть найдены различными традиционными способами (МНК, по графикам, усреднением по всем точкам). Ниже приведены их значения, рассчитанные по методу наименьших квадратов.

Для первой зависимости (при температуре кипения):

A_1=1{,}50\cdot10^{-4}\,\text{град}^{-1}\cdot\text{дюйм}^{-1},\quad B_1=2{,}94\cdot10^{-3}\,\text{град}^{-1}.\qquad (6)

Для второй зависимости (при комнатной температуре):

A_2=2{,}85\cdot10^{-3}\,\text{град}^{-1}\cdot\text{дюйм}^{-1},\quad B_2=3{,}19\cdot10^{-2}\,\text{град}^{-1}.\qquad (6)

Из формул (5) следует, что параметры Ома для указанных зависимостей равны

a_1=\frac1{A_1}=6{,}68\cdot10^3\,\text{град}\cdot\text{дюйм},\quad b_1=a_1B_1=19{,}6\,\text{дюйм}.\qquad (7)

a_2=\frac1{A_2}=5{,}41\cdot10^2\,\text{град}\cdot\text{дюйм},\quad b_2=a_2B_2=17{,}3\,\text{дюйм}.\qquad (8)

3.3 Из формул (4) следует, что сопротивление $R_0$ пропорционально параметру $b$ (в данном случае величина $r$ постоянна)

R_0=br.\qquad (9)

Поэтому близость этих параметров для обеих зависимостей свидетельствует о близости значений $R_0$ . Действительно, оказалось, что значения параметров $b_1$ и $b_2$ близки, различия между ними составляют порядка 10%. Очевидной причиной их различия являются неизбежные погрешности измерений. Второй возможной причиной является зависимость сопротивления термобатареи от температуры.

3.4 Легко заметить, что параметр $b=R_0/r$ и является искомой величиной — длиной проволоки, которая имеет сопротивление $R_0$ , поэтому она равна $l=b_1\approx20\,\text{дюйм}$ .

3.5 Величина параметра $a=cU_0/r$ пропорциональна напряжению термобатареи. Поэтому отношение этих параметров равно отношению напряжений. Используя полученные данные, находим, что

\frac{U_{01}}{U_{02}}=\frac{a_1}{a_2}=\frac{6{,}68\cdot10^3}{5{,}41\cdot10^2}\approx12.\qquad (10)

С другой стороны отношение разностей температур равно отношению температуры кипения воды к комнатной температуре

\frac{\Delta t_1}{\Delta t_2}=\frac{80}{7{,}0}\approx11{,}4.\qquad (11)

Близость этих значений позволяет считать, что напряжение термобатареи примерно пропорционально разности температур ее концов.

Reader note: No answer to the seasonal request printed as the first 3.6 occurs in the full K7–11 block. The second 3.6 below is the native brass-wire request, not a replacement seasonal answer.

3.6 Обработаем результаты измерений с латунной проволокой, так же как и ранее. Строим зависимость $X^{-1}(x)$ — расчеты в таблице 2, ниже график зависимости.

Таблица 2. Измерения с латунной проволокой.

$x$ , дюйм	2,0	4,0	8,0	16,0
$X^{\circ}$ (при $80^{\circ}\mathrm R$ )	111,50	64,75	37,00	19,75
$X^{-1}$ (при $80^{\circ}\mathrm R$ )	0,0090	0,0154	0,0270	0,0506

Оригинальная полная линейная зависимость для латунного провода

Рассчитываем значения параметров линейной зависимости

A_3=2{,}96\cdot10^{-3}\,\text{град}^{-1}\cdot\text{дюйм}^{-1},\quad B_3=3{,}31\cdot10^{-3}\,\text{град}^{-1}.\qquad (12)

И по ним значения параметров Ома

a_3=\frac1{A_3}=3{,}38\cdot10^2\,\text{град}\cdot\text{дюйм},\quad b_3=a_3B_3=1{,}12\,\text{дюйм}.\qquad (13)

В рассматриваемых сериях измерений неизменной остается напряжение батареи, но разные значения $r$ . Поэтому для сравнения значений $R_0$ воспользуемся отношением параметров, которое следует из формул (4)

\frac ba=\frac{R_0}{cU_0}.\qquad (14)

Как следует из этой формулы это отношение пропорционально $R_0$ . Рассчитаем эти отношения для двух случаев медной и латунной проволок (при постоянной разности температур)

\frac{b_1}{a_1}=\frac{19{,}6\,\text{дюйм}}{6{,}68\cdot10^3\,\text{град}\cdot\text{дюйм}}\approx2{,}9\cdot10^{-3}\,\text{град}^{-1}.\qquad (15)

\frac{b_3}{a_3}=\frac{1{,}18\,\text{дюйм}}{3{,}38\cdot10^2\,\text{град}\cdot\text{дюйм}}\approx3{,}3\cdot10^{-3}\,\text{град}^{-1}.\qquad (16)

По словам самого Г. Ома в данном случае параметры изменяются почти в 20 раз, а при этом их отношение «почти» не изменяется (всего на 12%), поэтому можно считать величину $R_0$ одинаковой в этих сериях экспериментов. Отметим, что погрешность определения параметра $b_3$ по приведенным результатам измерений Г. Ома составляет 15%.

3.7 Требуемая величина может быть найдена как отношение величин $r$ для латунной и медной проволок, которое в свою очередь равно отношению параметров $a$ . Действительно,

a=\frac{cU_0}{r}\Rightarrow\frac{r_{\text{Л}}}{r_{\text{М}}}=\frac{a_1}{a_3}\approx20.\qquad (17)

Таким образом, сопротивление одного дюйма латунной проволоки примерно равно сопротивлению 20 дюймов медной проволоки. Заметим, что теоретически это же отношение может быть найдено.как отношение параметров $b$ (по приведенным данным оно примерно равно 17). Но отношение параметров $a$ дает более точный результат, так как обычно погрешности определения сдвигов линейных зависимостей (параметров $B$ ) заметно превышают погрешности определения коэффициентов наклона (параметров $A$ ).

Reader note: Both distinct question requests retain the repeated label3.6. The key's $A_2$ is not reciprocal to its printed $a_2$ , and $b_3$ changes from1.12 to1.18 in(16); all entries are literal. A localized original-pixel reopening confirms111.50 in both Q/K brass tables. The separately referenced blank graph sheet is absent from the complete native pair/folder.

Оригинальный титульный лист

Республиканская физическая олимпиада 2018. Заключительный этап. Теоретический тур. Полоцк 2018. Event photograph and emblem remain in the exact retained native PDF.

Source scope and authority

no separate theory schemes, grading or organizer clarifications listed. Carbon blank-layer response forms and model photo Q6 and every available key graph/construction retained. Separately referenced mirror and graph blanks are genuinely absent from the complete pair/folder. Ohm seasonal winter/summer request has no key entry and remains honestly incomplete; every other available key is retained. Archive event authority only; no independent organizer URL established and all solutions attributed archive.

Original-reader source caveat

p2 response sheet graphite label 2.2 differs from requested 2.1; figure6 repeated for tetrahedron and model photo. Key graphite analytical formula uses a0 while numerical uses a1; decimal-density range connector absent; diamond-density heading says graphite and numerical denominators omit explicit powers though preceding analytical powers are present. Native conductivity explanation wording retained.

Original-reader source caveat

p3 question has two different requests labelled3.6. Seasonal winter/summer request has no key entry; solution remains incomplete. Localized original-pixel reopening confirms first brass X=111.50 in both Q9/K10, inverse.0090; preliminary11.50 reading withdrawn. A2=2.85e-3 differs from reciprocal a2=5.41e2; brass b3=1.12 later1.18. Every literal value and label preserved.

Original-reader source caveat

p4 parallel-system divided second row prints I1 where earlier equations use I2. Charged-ball explanation says internal forces influence COM (missing negation), yet immediately uses free fall. No silent correction.

Original-reader source caveat

p5 Q says mass of air inside «нее» remains unchanged; «нее» is a pronoun, not negation. Preliminary opposite reading withdrawn; key uses constant molecule number. Q asks gamma=beta T^z though thermal coefficient is lambda. Metal lead heat uses QAg and both composite heats Q1. K18eq24 prints5/3 while23 and33 use5/2; K19eq32 omits l on left while28 includes it. Temperature-axis Celsius vs Kelvin scope retained.

Original-reader source caveat

p6 leakage Delta f=f(alpha-Delta alpha)-f(alpha) coexists with Delta alpha=-1deg and reported negative fractional change; approximate and numerical estimates differ. Preserve printed formula/sign/result without invented adjudication. Q15 specifies mass1/16grain per foot while K19 numerical diameter uses that mass with28inch length; exact original preserved. Approximate K23equilibrium uses extra alpha lever beside priorr0description.

Original-reader source caveat

p7 repeated equation8 has final ax=-3g cos(alpha) missing sin compared preceding expression. K26 frame described downward g/2 despite native axis/hodograph center sign. K27 initial finite-n potential expression squares some terms before next line unsquared sum. Key break-distance prose one third retained beside graph zero at2n/3.

Original-reader source caveat

p8 key equation0.472gamma is followed by prose0.478; repeated tags3/9 retained. All historical ether hypotheses and quotations are original source content, separately contextualized.

Original-reader source caveat

p9 K34 repeated copper density has g/m3 while Q uses g/cm3; numerical n uses SI8.92e3. K35beta=rho/(ne2) differs from previous current expressions; stationary harmonic solution does not satisfy imposed initial v0=0 without a transient, absent from key. K36 heat-average swaps cosine/sine coefficients relative26; repeated tags28/29, Pincident=IS=I and pressure single-electron/surface factors retained. No source solution repaired or transient invented.

Примечание транскрипции к архивному оригиналу — 10-3. Опыты Ш. Кулона

В условии масса $1/16$ грана относится к одному футу нити; в численной подстановке ключа (3) эта масса стоит вместе с длиной 28 дюймов. В формуле изменения $f$ напечатано $\alpha-\Delta\alpha$ , при этом далее $\Delta\alpha=-1^\circ$ и итог отрицателен. Приближенная формула равновесия содержит множитель $r_0\alpha$ , хотя предшествующий текст называет плечом $r_0$ . Напечатанные исходные величины, формулы и оба результата изменения заряда сохранены без подмены исправленным расчетом.

Примечание транскрипции к архивному оригиналу — 11-1. Шарики на спице и как ломаются трубы

В последнем выражении для $a_x$ в повторно обозначенной формуле (8) на K25 отсутствует $\sin\alpha$ ; последующая (9) содержит его. Описание системы отсчета сохраняет слово «вниз» рядом с оригинальным годографом. В первой строке (18) правая сумма печатает квадраты после первого члена, а следующая строка использует $\sum k$ . В (19) промежуточное равенство не содержит $\sin\alpha$ , хотя конечная формула его содержит. Формулировка «на одной трети» и график с $2n/3$ воспроизведены вместе, без добавленного направления отсчета.

Примечание транскрипции к архивному оригиналу — 11-2. Опыт Физо

В (20) напечатано $0{,}472\gamma$ , а следующий текст дает 0,478. Повторные номера (3) и (9), все три исторические гипотезы и последующая часть о СТО сохранены как исходное содержание.

Примечание транскрипции к архивному оригиналу — 11-3. Давление света

Повтор плотности меди на K34 печатает г/м³, хотя Q23 дает г/см³ и численная подстановка использует $8{,}92\cdot10^3$ кг/м³. Формула (15) печатает $\rho/(ne^2)$ рядом с предыдущими выражениями тока. Гармоническое решение (26) не содержит переходного слагаемого для заданной в условии нулевой начальной скорости; оно не добавлено в архивный ключ. В усреднении мощности переставлены коэффициенты косинуса и синуса относительно (26). В (30) есть дополнительное равенство $=I$ ; (32)–(33) содержат обозначение силы одного электрона и различающиеся множители $S$ . Повторные номера (10), (28), (29), ссылка на (4) вместо формулы силы (5) и все напечатанные результаты сохранены.

Повторный номер в задаче «Опыты Георга Ома»

На странице 9 оригинала два последовательных, различных вопроса в одной части имеют номер 3.6. Первый номер 3.6 сохранен; второй показан как «3.6 (повтор)» для различения. Обе формулировки, исходный порядок и общее число вопросов сохранены без перенумерации. Сезонный вопрос о зиме и лете не имеет ответа в полном архивном ключе.

Оригинальное указание к разминке 9-1

9 класс. Условия задач.

Задание состоит из трех не связанных между собой задач!

Оригинальное указание к разминке 10-1

10 класс.

Задание состоит из трех не связанных между собой задач.

Оригинал в Архива: 2018_theoretical_problems.pdf · решение от архива: 2018_theoretical_solutions.pdf