Съдържание

Условие Часть 1. Металлические пластины Часть 2. Воздушная пластина Решение

BelPhO 2018, Заключителен етап — Задача 10-2. «Закон Ома» для теплопередачи

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2018

Белорусская республиканская олимпиада по физике 2018 — заключительный этап, теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Complete60native24Q36K pages:13whole tasks across9/10/11cohorts with83numbered and4unnumbered requests. All available archive keys and actual native diagrams/graphs/forms/photos. Seasonal Ohm request lacks key answer; separate referenced graph/construction blanks absent. Original numerical powers/signs/mass-unit/equation-label discrepancies and harmonic initial-condition gap preserved with attributed notes. No independently verified organizer provenance.

Условие

10 класс.

Все материалы способны проводить тепло, но по-разному! В данной задаче вам предстоит рассчитать теплофизические характеристики некоторых материалов. Закон теплопроводности полностью совпадает с законом Ома для участка цепи. Он был сформулирован французским физиком Жаном Батистом Жозефом Фурье в 1807 году. Закон утверждает, что количество теплоты, протекающей через однородную пластину толщины $h$ и площади $S$ в единицу времени (т.е. мощность теплопередачи), определяется по формуле

q=\lambda S\frac{\Delta T}{h}.\qquad (1)

Коэффициент $\lambda$ в этой формуле называется коэффициентом теплопроводности и является характеристикой вещества. Замените в этой формуле температуру на электрический потенциал, поток теплоты на силу тока, коэффициент теплопроводности на удельную электрическую проводимость и… перед вами закон Ома.

Формула (1) справедлива, если коэффициент теплопроводности является постоянной величиной, если нет — разбивайте пластину на тонкие слои… и для каждого слоя пишите отдельные уравнения. Впрочем, удельное сопротивление также может изменяться, например, если проводник разогревается.

Оригинальная пластина с T1, T0, h, S и потоком q

Во всех частях данной задачи мы будем рассматривать пластины одинаковых размеров $S=1{,}00\,\text{м}^2$ , $h=10{,}0\,\text{см}$ . Для воздушной пластины будем подразумевать, что воздух находится в коробке указанных размеров, масса воздуха внутри нее остается неизменной. Влиянием самой коробки на протекание рассматриваемых процессов будем пренебрегать. Также будем рассматривать одинаковые начальные условия: пластина имеет постоянную температуру $T_0=0{,}0\,{}^\circ\text{C}$ . Одна сторона пластины все время поддерживается при этой температуре, затем вторую сторону пластины приводят в тепловой контакт с очень массивным телом (термостатом), находящимся при температуре $T_1=20{,}0\,{}^\circ\text{C}$ . Координату холодной стороны полагаем равной нулю, координата второй — $h$ . По прошествии некоторого промежутка времени тепловой поток через пластину становится стационарным, то есть не зависящим от времени. Процесс установления равновесия достаточно сложный, нас он интересовать не будет, основное внимание уделяется стационарному распределению температур и тепловым потокам в стационарном режиме.

Часть 1. Металлические пластины

В этой части рассматриваются две пластины указанных размеров, серебряная и свинцовая. Для металлов коэффициенты теплопроводности можно считать постоянными. Табличные характеристики выбранных металлов приведены в таблице.

Металл	Плотность $\rho$ , кг/м³	Удельная теплоемкость $C$ , Дж/(кг·К)	Коэффициент теплопроводности $\lambda$ , Вт/(м·К)
Серебро, Ag	$10{,}5\cdot10^3$	235	429
Свинец, Pb	$11{,}3\cdot10^3$	127	35,1

Оригинальные составные пластины с подписями Ag, Pb, 1 и 2

1.1 Рассчитайте потоки теплоты через каждую пластину в установившемся режиме $q_{Ag},q_{Pb}$ .

1.2 Рассчитайте количество теплоты, которое пошло на нагревание каждой пластины $Q_{Ag},Q_{Pb}$ .

1.3 Теперь соединим обе пластины. Сначала с холодной стороны находится свинцовая пластина (а серебряная с теплой), потом наоборот. Для каждой составной пластины: рассчитайте потоки теплоты в установившемся режиме $q_1,q_2$ .

1.4 Выразите значения $q_1,q_2$ через значения потоков $q_{Ag},q_{Pb}$ , найденных в п.1.1.

1.5 Рассчитайте количества теплоты $Q_1,Q_2$ , которые пошли на нагревание пластин до установившегося режима (с одной стороны температура $T_0$ , с другой $T_1$ ).

1.6 Постройте графики зависимости температуры внутри пластин от координаты (на одном бланке.

Часть 2. Воздушная пластина

Теплоемкость воздуха зависит от температуры, кроме того, внутри коробки может происходить и перераспределение плотностей воздуха, поэтому, на первый взгляд, задача становится не решаемой! Но попробуйте! Конвективные явления не учитывать!

Коэффициент теплопроводности воздуха при температуре $T_0=0{,}0\,{}^\circ\text{C}$ равен $\lambda_0=0{,}024\,\text{Вт}/(\text{м}\cdot\text{К})$ . Молярная теплоемкость воздуха при постоянном объеме равна $C_V=5R/2$ . Давление воздуха в коробке при начальной температуре $T_0=0{,}0\,{}^\circ\text{C}$ равно $P_0=1{,}0\cdot10^5\,\text{Па}$ .

Математическая подсказка: при малых изменениях $\Delta x$ справедливо равенство $x\Delta x=\frac12\Delta(x^2)$ .

Согласно упрощенной модели теплопроводности газов, их коэффициент теплопроводности должен определяться по формуле

\lambda=\frac13\langle v\rangle\langle l\rangle\rho c_V,\qquad (2)

где $\langle v\rangle$ — средняя скорость теплового движения молекул, $\langle l\rangle$ — средняя длина свободного пробега молекулы, $\rho$ — плотность газа, $c_V$ — удельная теплоемкость газа в изохорном процессе.

2.1 Длина свободного пробега молекул зависит от эффективного диаметра молекулы $d$ и концентрации молекул $n$ . Установите вид зависимости длины свободного пробега от указанных параметров.

2.2 Коэффициент теплопроводности пропорционален абсолютной температуре в некоторой степени $\gamma=\beta T^z$ . Определите показатель степени $z$ в этой формуле.

Независимо от полученного вами результата далее считайте, что теплопроводность воздуха прямо пропорциональна абсолютной температуре, т.е. $z=1$ .

Итак, одна сторона воздушного слоя имеет температуру $t_0=0{,}0\,{}^\circ\text{C}$ , вторая $t_1=20{,}0\,{}^\circ\text{C}$ . Поток теплоты стал стационарным, газ в равновесии.

2.3 Рассчитайте поток теплоты через воздушный слой $q_a$ , в предположении, что коэффициент теплопроводности воздуха постоянен (такой как при $t_0=0{,}0\,{}^\circ\text{C}$ ).

2.4 Нарисуйте схематический график зависимости температуры воздуха от координаты в установившемся режиме. (Здесь вам нет необходимости получать точную формулу, и даже вид зависимости).

2.5 Рассчитайте поток теплоты через воздушный слой, учитывая зависимость коэффициента теплопроводности от температуры.

2.6 Рассчитайте количество теплоты, которое пошло на нагревание воздуха от начальной температуры до установившегося распределения температур, при условии, что коэффициент теплопроводности зависит от температуры.

Решение

Задача 2 Теплопроводность.

1.1 Для расчетов потоков теплоты надо просто подставить численные значения в заданную формулу и провести расчет. Для серебра

q_{Ag}=\lambda S\frac{\Delta T}{h}=8{,}58\cdot10^4\,\text{Вт}.\qquad (1)

Для свинца

q_{\text{Зи}}=\lambda S\frac{\Delta T}{h}=7{,}02\cdot10^3\,\text{Вт}.\qquad (2)

1.2 Так как коэффициент теплопроводности постоянен в установившемся режиме температуру изменяется по линейному законы. Поэтому при расчетах можно считать, что среднее значение изменения температуры равно $\delta T=\frac12\Delta T$ . После этого опять считаем. Для серебра

Q_{Ag}=\frac12cm\Delta t=\frac12c\rho Sh\Delta t=2{,}47\cdot10^6\,\text{Дж}.\qquad (3)

Для свинца

Q_{Ag}=\frac12c\rho Sh\Delta t=1{,}43\cdot10^6\,\text{Дж}.\qquad (4)

1.3 Для решения этого пункта воспользуемся упорно навязываемой аналогией с законами постоянного тока. Так для каждой пластины можно ввести и рассчитать тепловое сопротивление

R=\frac1\lambda\frac hS.\qquad (5)

Так как пластины соединены последовательно (теплота проходит через одну, потом через другую), то общее сопротивление равно сумме сопротивлений. Поэтому поток теплоты через сдвоенные пластины будет равен

q_1=q_2=\frac{\Delta T}{h/(\lambda_{Ag}S)+h/(\lambda_{Pb}S)}.\qquad (6)

Этой формуле можно придать интересный вид

q_1=q_2=\left(\frac1{q_{Ag}}+\frac1{q_{Pb}}\right)^{-1}.\qquad (7)

Расчеты по этой формуле дают значение

q_1=q_2=6{,}49\cdot10^3\,\text{Вт}.\qquad (8)

Как видно поток определяется потоком через плохо проводящий слой. Для расчета количества теплоты, потраченное на нагревание необходимо сначала найти распределение температуры, т.е. решить следующие пункты задачи.

1-4 — 1.6 Распределение температуры в каждом слое, по-прежнему, линейное. Поэтому достаточно найти температуру стыка. Опять воспользуемся аналогией с протеканием электрического тока. Обозначим свойства вещества примыкающего к холодной стороне индексом «х», а к горячей стороне индексом «г». Тогда можно записать (здесь $T_z$ — температура стыка):

T_z-T_0=qR_{\text{х}}=\frac{\Delta T}{h/(\lambda_{Ag}S)+h/(\lambda_{Pb}S)}\frac h{\lambda_{\text{х}}S}=\frac{T_1-T_0}{1/\lambda_{\text{х}}+1/\lambda_{\text{г}}}\frac1{\lambda_{\text{х}}}.\qquad (9)

Откуда следует, что

T_z=T_0+\frac{T_1-T_0}{1/\lambda_{\text{х}}+1/\lambda_{\text{г}}}\frac1{\lambda_{\text{х}}}.\qquad (10)

Проведем расчеты. В первом случае $(Pb\rightarrow Ag)$

T_{z1}=T_0+\frac{T_1-T_0}{1/\lambda_{Ag}+1/\lambda_{Pb}}\frac1{\lambda_{Pb}}=18{,}5\,{}^\circ\text{C}.\qquad (11)

Во втором случае $(Ag\rightarrow Pb)$

T_{z2}=T_0+\frac{T_1-T_0}{1/\lambda_{Ag}+1/\lambda_{Pb}}\frac1{\lambda_{Ag}}=1{,}5\,{}^\circ\text{C}.\qquad (12)

Во втором случае можно было просто вычислить $T_{z2}=\Delta T-T_{z1}$ . Графики зависимостей температуры от координаты показаны на рисунке. Видно, что основное «падение температуры» происходит на свинцовой пластине. Также по графику видно, что основное различие в количестве теплоты возникает из-за того, что серебряная пластина в первом случае нагревается больше.

Оригинальный полный график распределения температур в двух составных пластинах

Для расчетов теплот учтем, что пластина, примыкающая к холодной стороне, в среднем нагрелась на $\frac12T_Z$ ; а вторая — на величину $\frac12(T_z+T_1)$ . Поэтому количество теплоты, которой пойдет на нагревания будет равно:

В первом случае $(Pb\rightarrow Ag)$ :

Q_1=\frac12c_{Pb}\rho_{Pb}ShT_Z+\frac12c_{Ag}\rho_{Ag}Sh(T_Z+T_1)=6{,}07\cdot10^6\,\text{Дж}.\qquad (13)

Во втором случае $(Ag\rightarrow Pb)$

Q_1=\frac12c_{Ag}\rho_{Ag}ShT_Z+\frac12c_{Pb}\rho_{Pb}Sh(T_Z+T_1)=1{,}73\cdot10^6\,\text{Дж}.\qquad (14)

Часть 2. Воздушная пластина.

В данной части задачи все температуры следует рассчитывать в шкале Кельвина.

2.1 Для определения вида зависимости длины свободного пробега от указанных параметров, заметим, что движущаяся молекула заметает на своем пути площадь равную $\pi d^2$ . На длине свободно пробега в цилиндре с указной площадью поперечного сечения и высотой равной длине свободного пробега в среднем должна находиться одна молекула. Поэтому можно записать

\pi d^2\langle l\rangle n=1\Rightarrow\langle l\rangle=\frac1{\pi d^2n}.\qquad (15)

2.2 Подставляя найденную зависимость в формулу для теплопроводности, получим выражение

\lambda=\frac13\langle v\rangle\langle l\rangle\rho c_V=\frac13\sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}\cdot\frac1{\pi d^2n}\cdot nm\cdot C_VM.\qquad (16)

Из которого следует, что коэффициент теплопроводности воздуха пропорционален корню квадратному из абсолютной температуры. Т.е. показатель степени $z=\frac12$ . Важно также отметить, что теплопроводность не зависит от плотности (концентрации).

Экспериментальные данные показывают, что при температурах близких к комнатным показатель степени ближе к единице. Поэтому выбранная модель также имеет право на существование.

2.3 Используя формулу для потока теплоты, получаем, что поток теплоты через воздушную прослойку (в приближении постоянства теплопроводности) равен

\widetilde q_a=\lambda S\frac{\Delta T}{h}=4{,}80\,\text{Вт}.\qquad (17)

2.4 Так как теплопроводность воздуха возрастает с ростом температуры, то график температурного профиля будет выгнут вверх. Действительно, в тех местах, где теплопроводность больше, градиент температуры меньше.

Оригинальный схематический график воздушной температуры с T0, T1, h и x

2.5 Так как теплопроводность воздуха зависит от температуры, то она изменяется и при переходе от одной точки к другой. Поэтому закон теплопроводности Фурье следует записывать только для тонких слоев (т.е. в дифференциальной форме). Выразим зависимость теплопроводности от температуры посредством формулы

\lambda=\lambda_0\frac T{T_0}.\qquad (18)

И запишем уравнение Фурье для тонкого слоя воздуха $\Delta x$ :

q=\lambda_0\frac T{T_0}\frac{\Delta T}{\Delta x}S.\qquad (19)

Воспользуемся очевидной подсказкой и запишем

q\Delta x=\frac{\lambda_0S}{2T_0}\Delta(T^2).\qquad (20)

Теперь легко просуммировать по всем слоям:

ql=\frac{\lambda_0S}{2T_0}(T_1^2-T_0^2).\qquad (21)

Откуда получаем окончательно для потока теплоты

q=\frac{\lambda_0S}{2T_0l}(T_1^2-T_0^2).\qquad (22)

Расчет дает следующее численное значение: $q_a=4{,}98\,\text{Вт}$ , что несколько больше, чем получено ранее в приближенном расчете.

2.6 Так как объем воздуха не изменяется, то все полученная теплота пойдет на увеличение внутренней энергии воздуха. В установившемся режиме теплопередачи температура будет изменяться от точки к точке, постоянным будет оставаться давление! Поэтому выразим внутреннюю энергию воздуха через его давление:

U=\frac52R\nu T=\frac52PV.\qquad (23)

Следовательно, изменение внутренней энергии воздуха (и равное ему количество полученной теплоты) выражается через изменение давления

Q=\Delta U=\frac53V\Delta P.\qquad (24)

Таким образом, нам необходимо рассчитать установившееся давление. Для этого воспользуемся условием постоянства числа молекул воздуха. Для этого разобьем воздушную пластину на тонкие слои $\Delta x_i$ . Концентрацию частиц в каждом слое можно выразить из уравнения состояние газа

n_i=\frac P{kT_i}.\qquad (25)

Тогда общее число молекул можно получить, если просуммировать числа частиц во всех слоях

N=\sum_i\frac{PS}{kT_i}\Delta x_i.\qquad (26)

Это же число можно выразить через начальные условия

N=\frac{P_0Sl}{kT_0}.\qquad (27)

Таким образом, для определения давления получаем уравнение

P\sum_i\frac{\Delta x_i}{T_i}=\frac{P_0l}{T_0}.\qquad (28)

Прямое вычисление суммы требует расчета распределения температуры и последующего интегрирования. Можно поступить проще: выразим $\Delta x_i$ из уравнения теплопроводности (19):

q=\lambda_0\frac T{T_0}\frac{\Delta T}{\Delta x}S\Rightarrow\Delta x_i=\lambda_0\frac{T_i}{T_0}\frac{\Delta T_i}{q}S.\qquad (29)

И после подстановки получим

\sum_i\frac{\Delta x_i}{T_i}=\sum_i\frac1{T_i}\lambda_0\frac{T_i}{T_0}\frac{\Delta T_i}{q}S=\frac{\lambda_0S}{qT_0}\sum_i\Delta T_i=\frac{\lambda_0S}{qT_0}(T_1-T_0).\qquad (30)

Подставим найденное выражение для потока теплоты (22)

\sum_i\frac{\Delta x_i}{T_i}=\frac{\lambda_0S}{qT_0}(T_1-T_0)=\frac{\lambda_0S}{[\lambda_0S/(2T_0l)](T_1^2-T_0^2)T_0}(T_1-T_0)=\frac{2l}{T_1+T_0}.\qquad (31)

Теперь из уравнения (28) находим

P\sum_i\frac{\Delta x_i}{T_i}=\frac{P_0}{T_0}\Rightarrow P=P_0\frac{T_1+T_0}{2T_0}.\qquad (32)

Наконец, подставляем в формула для количества теплоты

Q=\frac52V\Delta P=\frac52P_0V\left(\frac{T_1+T_0}{2T_0}-1\right)=\frac54P_0V\frac{\Delta T}{T_0}.\qquad (33)

Численное значение поглощенной теплоты равно $Q=915\,\text{Дж}$ .

Reader note: Native lead flow uses the subscript “Зи”; lead heat(4) uses $Q_{Ag}$ , and both composite heats use $Q_1$ . Question2.2 literally writes $\gamma=\beta T^z$ . Key(16) prints the molar factor $C_VM$ , (24) prints5/3 whereas(23)/(33) use5/2, and(32) omits $l$ present in(28). These are literal source entries. The air-mass sentence says “внутри нее остается неизменной”; the provisional reading's apparent negation was a misreading and is withdrawn. The separately mentioned graph blank is absent from the complete pair/folder.

Оригинальный титульный лист

Республиканская физическая олимпиада 2018. Заключительный этап. Теоретический тур. Полоцк 2018. Event photograph and emblem remain in the exact retained native PDF.

Source scope and authority

no separate theory schemes, grading or organizer clarifications listed. Carbon blank-layer response forms and model photo Q6 and every available key graph/construction retained. Separately referenced mirror and graph blanks are genuinely absent from the complete pair/folder. Ohm seasonal winter/summer request has no key entry and remains honestly incomplete; every other available key is retained. Archive event authority only; no independent organizer URL established and all solutions attributed archive.

Original-reader source caveat

p2 response sheet graphite label 2.2 differs from requested 2.1; figure6 repeated for tetrahedron and model photo. Key graphite analytical formula uses a0 while numerical uses a1; decimal-density range connector absent; diamond-density heading says graphite and numerical denominators omit explicit powers though preceding analytical powers are present. Native conductivity explanation wording retained.

Original-reader source caveat

p3 question has two different requests labelled3.6. Seasonal winter/summer request has no key entry; solution remains incomplete. Localized original-pixel reopening confirms first brass X=111.50 in both Q9/K10, inverse.0090; preliminary11.50 reading withdrawn. A2=2.85e-3 differs from reciprocal a2=5.41e2; brass b3=1.12 later1.18. Every literal value and label preserved.

Original-reader source caveat

p4 parallel-system divided second row prints I1 where earlier equations use I2. Charged-ball explanation says internal forces influence COM (missing negation), yet immediately uses free fall. No silent correction.

Original-reader source caveat

p5 Q says mass of air inside «нее» remains unchanged; «нее» is a pronoun, not negation. Preliminary opposite reading withdrawn; key uses constant molecule number. Q asks gamma=beta T^z though thermal coefficient is lambda. Metal lead heat uses QAg and both composite heats Q1. K18eq24 prints5/3 while23 and33 use5/2; K19eq32 omits l on left while28 includes it. Temperature-axis Celsius vs Kelvin scope retained.

Original-reader source caveat

p6 leakage Delta f=f(alpha-Delta alpha)-f(alpha) coexists with Delta alpha=-1deg and reported negative fractional change; approximate and numerical estimates differ. Preserve printed formula/sign/result without invented adjudication. Q15 specifies mass1/16grain per foot while K19 numerical diameter uses that mass with28inch length; exact original preserved. Approximate K23equilibrium uses extra alpha lever beside priorr0description.

Original-reader source caveat

p7 repeated equation8 has final ax=-3g cos(alpha) missing sin compared preceding expression. K26 frame described downward g/2 despite native axis/hodograph center sign. K27 initial finite-n potential expression squares some terms before next line unsquared sum. Key break-distance prose one third retained beside graph zero at2n/3.

Original-reader source caveat

p8 key equation0.472gamma is followed by prose0.478; repeated tags3/9 retained. All historical ether hypotheses and quotations are original source content, separately contextualized.

Original-reader source caveat

p9 K34 repeated copper density has g/m3 while Q uses g/cm3; numerical n uses SI8.92e3. K35beta=rho/(ne2) differs from previous current expressions; stationary harmonic solution does not satisfy imposed initial v0=0 without a transient, absent from key. K36 heat-average swaps cosine/sine coefficients relative26; repeated tags28/29, Pincident=IS=I and pressure single-electron/surface factors retained. No source solution repaired or transient invented.

Примечание транскрипции к архивному оригиналу — 10-3. Опыты Ш. Кулона

В условии масса $1/16$ грана относится к одному футу нити; в численной подстановке ключа (3) эта масса стоит вместе с длиной 28 дюймов. В формуле изменения $f$ напечатано $\alpha-\Delta\alpha$ , при этом далее $\Delta\alpha=-1^\circ$ и итог отрицателен. Приближенная формула равновесия содержит множитель $r_0\alpha$ , хотя предшествующий текст называет плечом $r_0$ . Напечатанные исходные величины, формулы и оба результата изменения заряда сохранены без подмены исправленным расчетом.

Примечание транскрипции к архивному оригиналу — 11-1. Шарики на спице и как ломаются трубы

В последнем выражении для $a_x$ в повторно обозначенной формуле (8) на K25 отсутствует $\sin\alpha$ ; последующая (9) содержит его. Описание системы отсчета сохраняет слово «вниз» рядом с оригинальным годографом. В первой строке (18) правая сумма печатает квадраты после первого члена, а следующая строка использует $\sum k$ . В (19) промежуточное равенство не содержит $\sin\alpha$ , хотя конечная формула его содержит. Формулировка «на одной трети» и график с $2n/3$ воспроизведены вместе, без добавленного направления отсчета.

Примечание транскрипции к архивному оригиналу — 11-2. Опыт Физо

В (20) напечатано $0{,}472\gamma$ , а следующий текст дает 0,478. Повторные номера (3) и (9), все три исторические гипотезы и последующая часть о СТО сохранены как исходное содержание.

Примечание транскрипции к архивному оригиналу — 11-3. Давление света

Повтор плотности меди на K34 печатает г/м³, хотя Q23 дает г/см³ и численная подстановка использует $8{,}92\cdot10^3$ кг/м³. Формула (15) печатает $\rho/(ne^2)$ рядом с предыдущими выражениями тока. Гармоническое решение (26) не содержит переходного слагаемого для заданной в условии нулевой начальной скорости; оно не добавлено в архивный ключ. В усреднении мощности переставлены коэффициенты косинуса и синуса относительно (26). В (30) есть дополнительное равенство $=I$ ; (32)–(33) содержат обозначение силы одного электрона и различающиеся множители $S$ . Повторные номера (10), (28), (29), ссылка на (4) вместо формулы силы (5) и все напечатанные результаты сохранены.

Повторный номер в задаче «Опыты Георга Ома»

На странице 9 оригинала два последовательных, различных вопроса в одной части имеют номер 3.6. Первый номер 3.6 сохранен; второй показан как «3.6 (повтор)» для различения. Обе формулировки, исходный порядок и общее число вопросов сохранены без перенумерации. Сезонный вопрос о зиме и лете не имеет ответа в полном архивном ключе.

Оригинальное указание к разминке 9-1

9 класс. Условия задач.

Задание состоит из трех не связанных между собой задач!

Оригинальное указание к разминке 10-1

10 класс.

Задание состоит из трех не связанных между собой задач.

Оригинал в Архива: 2018_theoretical_problems.pdf · решение от архива: 2018_theoretical_solutions.pdf