Съдържание

Условие Часть 1. Свойства нити подвеса Часть 2. Фундаментальный закон электричества Часть 3. Утечка заряда Решение

BelPhO 2018, Заключителен етап — Задача 10-3. Опыты Ш. Кулона

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2018

Белорусская республиканская олимпиада по физике 2018 — заключительный этап, теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Complete60native24Q36K pages:13whole tasks across9/10/11cohorts with83numbered and4unnumbered requests. All available archive keys and actual native diagrams/graphs/forms/photos. Seasonal Ohm request lacks key answer; separate referenced graph/construction blanks absent. Original numerical powers/signs/mass-unit/equation-label discrepancies and harmonic initial-condition gap preserved with attributed notes. No independently verified organizer provenance.

Условие

10 класс.

Портрет Шарля Кулона из оригинального условия

Эта задача составлена по данным, приведенным в работе Ш. Кулона «Первый мемуар по электричеству и магнетизму. Конструкция и применение электрических весов, основанных на свойстве металлических нитей иметь силу реакции при кручении, пропорциональную углу кручения», представленной в виде доклада на заседании в Королевской академии наук в 1785 году и опубликованной в 1788 году. Цитаты из этого сочинения выделены курсивом.

В задаче приводятся численные данные в системе единиц, принятой во Франции в конце XVIII века. Вы же должны приводить численные ответы в системе СИ.

Для перевода единиц используйте следующие данные:

Единица	Значение
1 дюйм (французский)	2,707 см
1 линия	1/12 дюйма
1 фут	12 дюймов
1 гран (единица массы и силы)	64,8 мг

Ускорение свободного падения считайте равным $g=9{,}81\,\text{м}/\text{с}^2$ . Электрическая постоянная $\varepsilon_0=8{,}854\cdot10^{-12}\,\text{А}^2\cdot\text{с}^4/(\text{кг}\cdot\text{м}^3)$ .

Схема установки (крутильных весов) Ш. Кулона широко известна и показана на рисунке. Основными деталями весов являются:

Оригинальная схема крутильных весов с деталями 1–8

1 — коромысло, на котором закреплены шарик из бузины 4 и противовес 5;

2 — тонкая серебряная нить, к нижнему концу которой прикреплено коромысло с шариком и противовесом, в положении равновесия коромысло располагается горизонтально; расстояние от центра шарика до точки подвеса (плечо коромысла) равно $r_0=4{,}0\,\text{дюйма}$ ;

верхний конец нити прикреплен к угловому микрометру 6. Указатель микрометра можно вращать и измерять угол закручивания;

второй шарик из бузины 7 закрепляется неподвижно.

Вся система помещена в стеклянный цилиндрический сосуд, на боковой поверхности которого расположена угломерная шкала, позволяющая измерять угол поворота коромысла. Шарикам 4 (на подвижном коромысле) и 7 (на неподвижном креплении) можно сообщать электрический заряд с помощью металлического шарика 8 на отдельной ручке. В состоянии равновесии (при отсутствии зарядов на шариках) коромысло располагается так, что шарики касаются друг друга, нить подвеса при этом не закручена, указатель углового микрометра установлен на нуль.

Измерения проводились следующим образом. Шарикам 4 и 7 сообщают электрические заряды и приводят их в соприкосновение (при этом их электрические заряды выравниваются). Коромысло поворачивается (угол поворота обозначен $\alpha$ ), при необходимости с помощью головки углового микрометра нить можно дополнительно закрутить (угол закручивания обозначен $\varphi$ ). Отметим, что $\varphi$ — угол поворота указателя углового микрометра.

Вид сверху: коромысло и углы α, φ в оригинале

Перевод работы опубликован в книге Голин Г.М., Филонович С.Р. Классики физической науки (с древнейших времен до начала XX века): Справ. пособие. — М.: Высш. школа., 1989 г.
Для перевода в единицы силы массу следует умножить на ускорение свободного падения.

Часть 1. Свойства нити подвеса

«В Мемуаре, представленном в академию в 1784 году я на основе эксперимента определил закон для силы кручения металлической нити и обнаружил, что эта сила пропорциональна углу закручивания нити...»

Это высказывание можно представить в виде формулы: момент сил упругости $M_{\text{упр.}}$ , возникающий при закручивании металлической нити рассчитывается по формуле

M_{\text{упр.}}=-G\varphi.\qquad (1)

Здесь $G$ — коэффициент пропорциональности (модуль кручения), зависящий от материала нити и ее размеров — длины и радиуса, $\varphi$ — угол закручивания нити в радианах.

«Серебряная нить, которая образует подвес, имеет длину 28 дюймов и эта нить настолько тонка, что фут длины этой нити весит всего $\frac1{16}$ грана. Рассчитывая силу, с которой следует подействовать на коромысло, в точке, удаленной на 4,0 дюйма от нити, или от центра подвеса, я нашел, что… для закручивания нити на $360^\circ$ необходимо приложить силу всего в $\frac1{340}$ грана.»

1.1 Определите по приведенным данным диаметр нити подвеса. Плотность серебра $\rho_{Ag}=10{,}5\,\text{г}/\text{см}^3$ .

1.2 Рассчитайте модуль кручения нити $G$ .

Часть 2. Фундаментальный закон электричества

«Я привожу здесь только несколько измерений, которые легко повторить и которые тут же делают зримым закон отталкивания.

При электризации двух шариков с помощью головки булавки, когда указатель микрометра установлен на нуль, шарик 4 удалился от шарика 7 на угол $36^\circ$ ;

При закручивании нити подвеса посредством головки микрометра на $126^\circ$ два шарика сблизились и остановились на расстоянии $18^\circ$ один от другого.

При закручивании нити подвеса на $567^\circ$ два шарика сблизились до $8{,}5^\circ$ »

2.1 Используя приведенные данные, постройте график зависимости силы взаимодействия между шариками от расстояния между ними.

Не забудьте подписать и оцифровать оси координат.

2.2 Покажите, что результаты эксперимента подтверждают зависимость силы электрического взаимодействия от расстояния, которая ныне называется законом Кулона.

2.3 Рассчитайте величины зарядов шариков в данном эксперименте. Постарайтесь, чтобы погрешность результата была минимальной.

Часть 3. Утечка заряда

«Электричество на двух шариках немного уменьшается в зависимости от времени, которое длится эксперимент. Я проверил, что в тот день, когда был проведен описанный выше опыт, наэлектризованные шарики, находившиеся на расстоянии $30^\circ$ один от другого при угле кручения $50^\circ$ , сближались на $1^\circ$ за 3 минуты»

3.1 Оцените удельное сопротивление воздуха в день проведения эксперимента.

Решение

Задача 3. Опыты Ш. Кулона (Решение).

1. Свойства нити подвеса.

1.1 В описании Ш. Кулона приведена масса нити $m$ , она легко выражается через объем и плотность серебра

m=\rho_{Ag}L\frac{\pi d^2}{4}.\qquad (1)

Из этой формулы легко выразить диаметр нити:

d=\sqrt{\frac{4m}{\pi\rho_{Ag}L}}.\qquad (2)

При численных расчетах следует все параметры выразить в единицах системы СИ:

d=\sqrt{\frac{4m}{\pi\rho_{Ag}L}}=\sqrt{\frac{4\cdot\frac1{16}\cdot64{,}8\cdot10^{-6}\,\text{кг}}{\pi\cdot10{,}5\cdot10^3\,\frac{\text{кг}}{\text{м}^3}\cdot28\cdot2{,}707\cdot10^{-2}\,\text{м}}}=2{,}55\cdot10^{-5}\,\text{м}.\qquad (3)

Менее трех сотых миллиметра!

1.2 Модуль кручения определяется по формуле

G=\frac M\varphi=\frac{Fr}{\varphi}.\qquad (4)

Подстановка численных значений с переводом в систему СИ дает следующее значение

G=\frac{Fr}{\varphi}=\frac{\frac1{340}\cdot64{,}8\cdot10^{-6}\cdot9{,}81\,\text{Н}\cdot4\cdot2{,}707\cdot10^{-2}\,\text{м}}{2\pi}=8{,}055\cdot10^{-9}\,\text{Н}\cdot\text{м}=8{,}1\cdot10^{-9}\,\text{Н}\cdot\text{м}.\qquad (5)

2. Фундаментальный закон электричества.

2.1 Решение этой части задачи начнем с цитаты из использованного мемуара: «Расстояние между двумя шариками, когда они удалены друг от друга действием взаимного отталкивания, измеряется в точности не углом, который они образуют, а хордой дуги, которая соединяет их центры. Так же и плечо в крайнем положении, где проявляется действие, измеряется не половиной длины дуги, или радиусом, а косинусом половины угла…»

Воспользуемся подсказкой самого Шарля Кулона, рассмотрим условия равновесия коромысла крутильных весов. На рисунке показана геометрия опыта и направление силы взаимодействия между шариками $\vec F$ . Из рисунка следует, что расстояние между шариками равно

R=2r_0\sin\frac\alpha2.\qquad (6)

Оригинальная геометрия опыта: R, h, r0, F и углы

Плечо силы взаимодействия

h=r_0\cos\frac\alpha2.\qquad (7)

Угол закручивания нити

\varphi_\Sigma=\alpha+\varphi.\qquad (8)

Условие равновесия коромысла весов имеет вид

G(\alpha+\varphi)=Fr_0\cos\frac\alpha2.\qquad (9)

Следовательно, сила взаимодействия может быть рассчитана по формуле

F=\frac{G(\alpha+\varphi)}{r_0\cos\frac\alpha2}.\qquad (10)

Расстояние между шариками рассчитывается по формуле (6). Результаты расчетов по этим формулам приведены в Таблице (1). График этой функции показан на рисунке.

Таблица 1. Расчет сил и расстояний.

N	$\alpha^\circ$	$\varphi^\circ$	F, нН	R, мм
1	36	0	49,1	66,9
2	18	126	189,3	33,9
3	8,5	567	749,3	16,0

Полный оригинальный график F(R), шкалы нН и мм

2.2 Для доказательства закона Кулона $(F=A/R^2)$ следует провести линеаризацию зависимости силы от расстояния. Эту линеаризацию можно провести различными способами. например, построить зависимость $F(R^{-2})$ . Наиболее предпочтительной линеаризацией является построение графика в логарифмическом масштабе $\ln F(\ln R)$ . В этом случае коэффициент наклона будет равен показателю степени в зависимости $F=AR^n$ . На рисунке приведены графики обеих линеаризованных зависимостей.

Оригинальные графики F(R⁻²) и lnF(lnR), полные шкалы

Действительно, коэффициент наклона в логарифмической зависимости примерно равен −1,9, что с учетом неизбежных погрешностей измерений можно принять равным −2. Также видно. что зависимость $F(R^{-2})$ близка к линейной, поэтому эта зависимость также подтверждает закон Кулона.

2.3 В системе СИ закон Кулона имеет вид

F=\frac1{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{R^2}.

С помощью этой формулы можно вычислить заряды шариков. Для повышения точности следует провести усреднение по трем результатам измерений. Один из возможных вариантов такого усреднения — использование зависимости $F(R^{-2})$ . В этой зависимости коэффициент наклона равен

a=\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0}=1{,}94\cdot10^{-10}\,\text{Н}\cdot\text{м}^2,\qquad (11)

Откуда следует, что

q=\sqrt{4\pi\varepsilon_0a}=\sqrt{4\pi\cdot8{,}85\cdot10^{-12}\cdot1{,}94\cdot10^{-10}}=1{,}5\cdot10^{-10}\,\text{Кл}.\qquad (12)

3. Утечка заряда.

Понятно, что уменьшение угла отклонения связано с утечкой зарядов с шариков. Поэтому в данной части задачи необходимо найти ответы на два вопроса: первый, как зависит заряд шарика от времени; второй — как связано изменение угла отклонения с изменением заряда.

Можно считать, что шарик находится в однородной слабопроводящей среде, а электрический ток протекает от шарика до бесконечности. В этом случае разность потенциалов равна потенциалу шарика

Оригинальные сферические слои и радиальный ток I

\Delta\phi=\frac q{4\pi\varepsilon_0b}.\qquad (13)

Здесь обозначено $b$ — радиус шарика (чтобы не путать с $R$ — так мы обозначим сопротивление среды).

Для расчета сопротивления среды ее следует разделить на тонкие сферические слои. Сопротивление отдельного слоя радиуса $r$ и толщины $\Delta r$ равно

\Delta R=\rho\frac{\Delta r}{4\pi r^2}.\qquad (14)

Так как радиально растекающийся ток протекает последовательно через слои, то общее сопротивление равно сумме сопротивлений всех слоев

R=\sum_i\rho\frac{\Delta r_i}{4\pi r_i^2}.\qquad (15)

Для выполнения суммирования (точнее интегрирования) можно сослаться на традиционный способ вычисления потенциала поля, создаваемого точечным источником — здесь сумма имеет тот же вид, поэтому

R=\sum_i\rho\frac{\Delta r_i}{4\pi r_i^2}=\frac\rho{4\pi b}.\qquad (16)

Таким образом, находим, что сила тока утечки равна

I=\frac{\Delta\phi}R=\frac q{\rho\varepsilon_0}.\qquad (17)

Примечание. Этот же результат можно получить более изящным способом, используя теорему Гаусса. Мысленно окружим один из шариков произвольной замкнутой поверхностью $\Omega$ . Сила тока, стекающего с шарика равна потоку вектора плотности тока $\vec j$ через эту поверхность $I=\Phi_j$ . По закону Ома в дифференциальной форме плотность пока связана с напряженностью электрического поля соотношением $\vec j=\frac1\rho\vec E$ . Поэтому поток вектора плотности тока связан с потоком вектора напряженности таким же соотношением: $\Phi_j=\frac1\rho\Phi_E$ . Поток вектора напряженности поля определяется теоремой Гаусса $\Phi_E=q/\varepsilon_0$ . Окончательно получаем $I=\Phi_j=\frac1\rho\Phi_E=q/(\rho\varepsilon_0)$ . Полученное соотношение перепишем в виде

Оригинальная замкнутая поверхность Ω, E и j

I=\frac q{\rho\varepsilon_0}=-\frac{\Delta q}{\Delta t}\ \Rightarrow\ \frac{\Delta q}q=-\frac1{\rho\varepsilon_0}\Delta t.\qquad (18)

Рассмотрим теперь, как связано угла смещения шарика с изменением зарядов на шариках. Сила взаимодействия выражается через угол смещения $\alpha$ посредством соотношения (10). Используя закон Кулона, можем записать

F=\frac{G(\alpha+\varphi)}{r_0\cos(\alpha/2)}=\frac1{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{R^2}=\frac1{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{(2r_0\sin(\alpha/2))^2}\ \Rightarrow\ q^2=B\frac{(\alpha+\varphi)\sin^2(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)},\qquad (19)

где $B$ — некоторая постоянная величина. Эта формула выражает связь между углом смещения и зарядами шариков. Обозначим функцию $f(\alpha)=\frac{(\alpha+\varphi)\sin^2(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)}$ . Изменение заряда определяется изменением этой функции. По-видимому, в данном случае проще провести численные расчеты изменения этой функции $\Delta f=f(\alpha-\Delta\alpha)-f(\alpha)$ , хотя можно воспользоваться и приближенными формулами (вычислением производных). Учитывая, что изменения заряда мало, запишем

q^2=Bf(\alpha)\ \Rightarrow\ 2q\Delta q=B\Delta f\ \Rightarrow\ \frac{\Delta q}q=\frac12\frac{\Delta f}{f(\alpha)}.\qquad (20)

Численный расчет относительного изменения заряда (при $\alpha=30^\circ,\Delta\alpha=-1^\circ,\varphi=50^\circ$ ) дает значение:

\frac{\Delta q}q=\frac12\frac{\Delta f}{f(\alpha)}=-0{,}039.\qquad (21)

Примечание. Для оценки можно приближенно считать, что расстояние между шариками равно длине дуги между ними $r_0\alpha$ , а плечо силы равно $r_0$ . Тогда условие равновесия примет вид

G(\alpha+\varphi)=\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0r_0^2\alpha^2}\,r_0\alpha.

Тогда проводя аналогичные (20) преобразования, получим

q^2=B_1\alpha(\alpha+\varphi)\ \Rightarrow\ 2q\Delta q=B_1(2\alpha+\varphi)\Delta\alpha\ \Rightarrow\ \frac{\Delta q}q=\frac12\frac{2\alpha+\varphi}{\alpha(\alpha+\varphi)}\Delta\alpha=-0{,}023.\qquad (22)

Теперь вернемся к формуле (18), из которой можно выразить искомое удельное сопротивление воздуха

\rho=-\frac{\Delta t}{\varepsilon_0(\Delta q/q)}=\frac{3\cdot60}{8{,}85\cdot10^{-12}\cdot0{,}039}\approx5{,}2\cdot10^{14}\,\text{Ом}\cdot\text{м}.\qquad (23)

Оригинальный титульный лист

Республиканская физическая олимпиада 2018. Заключительный этап. Теоретический тур. Полоцк 2018. Event photograph and emblem remain in the exact retained native PDF.

Source scope and authority

no separate theory schemes, grading or organizer clarifications listed. Carbon blank-layer response forms and model photo Q6 and every available key graph/construction retained. Separately referenced mirror and graph blanks are genuinely absent from the complete pair/folder. Ohm seasonal winter/summer request has no key entry and remains honestly incomplete; every other available key is retained. Archive event authority only; no independent organizer URL established and all solutions attributed archive.

Original-reader source caveat

p2 response sheet graphite label 2.2 differs from requested 2.1; figure6 repeated for tetrahedron and model photo. Key graphite analytical formula uses a0 while numerical uses a1; decimal-density range connector absent; diamond-density heading says graphite and numerical denominators omit explicit powers though preceding analytical powers are present. Native conductivity explanation wording retained.

Original-reader source caveat

p3 question has two different requests labelled3.6. Seasonal winter/summer request has no key entry; solution remains incomplete. Localized original-pixel reopening confirms first brass X=111.50 in both Q9/K10, inverse.0090; preliminary11.50 reading withdrawn. A2=2.85e-3 differs from reciprocal a2=5.41e2; brass b3=1.12 later1.18. Every literal value and label preserved.

Original-reader source caveat

p4 parallel-system divided second row prints I1 where earlier equations use I2. Charged-ball explanation says internal forces influence COM (missing negation), yet immediately uses free fall. No silent correction.

Original-reader source caveat

p5 Q says mass of air inside «нее» remains unchanged; «нее» is a pronoun, not negation. Preliminary opposite reading withdrawn; key uses constant molecule number. Q asks gamma=beta T^z though thermal coefficient is lambda. Metal lead heat uses QAg and both composite heats Q1. K18eq24 prints5/3 while23 and33 use5/2; K19eq32 omits l on left while28 includes it. Temperature-axis Celsius vs Kelvin scope retained.

Original-reader source caveat

p6 leakage Delta f=f(alpha-Delta alpha)-f(alpha) coexists with Delta alpha=-1deg and reported negative fractional change; approximate and numerical estimates differ. Preserve printed formula/sign/result without invented adjudication. Q15 specifies mass1/16grain per foot while K19 numerical diameter uses that mass with28inch length; exact original preserved. Approximate K23equilibrium uses extra alpha lever beside priorr0description.

Original-reader source caveat

p7 repeated equation8 has final ax=-3g cos(alpha) missing sin compared preceding expression. K26 frame described downward g/2 despite native axis/hodograph center sign. K27 initial finite-n potential expression squares some terms before next line unsquared sum. Key break-distance prose one third retained beside graph zero at2n/3.

Original-reader source caveat

p8 key equation0.472gamma is followed by prose0.478; repeated tags3/9 retained. All historical ether hypotheses and quotations are original source content, separately contextualized.

Original-reader source caveat

p9 K34 repeated copper density has g/m3 while Q uses g/cm3; numerical n uses SI8.92e3. K35beta=rho/(ne2) differs from previous current expressions; stationary harmonic solution does not satisfy imposed initial v0=0 without a transient, absent from key. K36 heat-average swaps cosine/sine coefficients relative26; repeated tags28/29, Pincident=IS=I and pressure single-electron/surface factors retained. No source solution repaired or transient invented.

Примечание транскрипции к архивному оригиналу — 10-3. Опыты Ш. Кулона

В условии масса $1/16$ грана относится к одному футу нити; в численной подстановке ключа (3) эта масса стоит вместе с длиной 28 дюймов. В формуле изменения $f$ напечатано $\alpha-\Delta\alpha$ , при этом далее $\Delta\alpha=-1^\circ$ и итог отрицателен. Приближенная формула равновесия содержит множитель $r_0\alpha$ , хотя предшествующий текст называет плечом $r_0$ . Напечатанные исходные величины, формулы и оба результата изменения заряда сохранены без подмены исправленным расчетом.

Примечание транскрипции к архивному оригиналу — 11-1. Шарики на спице и как ломаются трубы

В последнем выражении для $a_x$ в повторно обозначенной формуле (8) на K25 отсутствует $\sin\alpha$ ; последующая (9) содержит его. Описание системы отсчета сохраняет слово «вниз» рядом с оригинальным годографом. В первой строке (18) правая сумма печатает квадраты после первого члена, а следующая строка использует $\sum k$ . В (19) промежуточное равенство не содержит $\sin\alpha$ , хотя конечная формула его содержит. Формулировка «на одной трети» и график с $2n/3$ воспроизведены вместе, без добавленного направления отсчета.

Примечание транскрипции к архивному оригиналу — 11-2. Опыт Физо

В (20) напечатано $0{,}472\gamma$ , а следующий текст дает 0,478. Повторные номера (3) и (9), все три исторические гипотезы и последующая часть о СТО сохранены как исходное содержание.

Примечание транскрипции к архивному оригиналу — 11-3. Давление света

Повтор плотности меди на K34 печатает г/м³, хотя Q23 дает г/см³ и численная подстановка использует $8{,}92\cdot10^3$ кг/м³. Формула (15) печатает $\rho/(ne^2)$ рядом с предыдущими выражениями тока. Гармоническое решение (26) не содержит переходного слагаемого для заданной в условии нулевой начальной скорости; оно не добавлено в архивный ключ. В усреднении мощности переставлены коэффициенты косинуса и синуса относительно (26). В (30) есть дополнительное равенство $=I$ ; (32)–(33) содержат обозначение силы одного электрона и различающиеся множители $S$ . Повторные номера (10), (28), (29), ссылка на (4) вместо формулы силы (5) и все напечатанные результаты сохранены.

Повторный номер в задаче «Опыты Георга Ома»

На странице 9 оригинала два последовательных, различных вопроса в одной части имеют номер 3.6. Первый номер 3.6 сохранен; второй показан как «3.6 (повтор)» для различения. Обе формулировки, исходный порядок и общее число вопросов сохранены без перенумерации. Сезонный вопрос о зиме и лете не имеет ответа в полном архивном ключе.

Оригинальное указание к разминке 9-1

9 класс. Условия задач.

Задание состоит из трех не связанных между собой задач!

Оригинальное указание к разминке 10-1

10 класс.

Задание состоит из трех не связанных между собой задач.

Оригинал в Архива: 2018_theoretical_problems.pdf · решение от архива: 2018_theoretical_solutions.pdf