Съдържание

Условие Часть 1. Воспоминание об интерференции Часть 2. Эксперимент И. Физо — скорость света в движущейся воде Часть 3. Но эфира то нет!Решение

BelPhO 2018, Заключителен етап — Задача 11-2. Опыт Физо

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2018

Белорусская республиканская олимпиада по физике 2018 — заключительный этап, теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Complete60native24Q36K pages:13whole tasks across9/10/11cohorts with83numbered and4unnumbered requests. All available archive keys and actual native diagrams/graphs/forms/photos. Seasonal Ohm request lacks key answer; separate referenced graph/construction blanks absent. Original numerical powers/signs/mass-unit/equation-label discrepancies and harmonic initial-condition gap preserved with attributed notes. No independently verified organizer provenance.

Условие

11 класс.

Весь XIX век физики были убеждены, что свет есть волна, распространяющаяся в особой среде — эфире. Практически все известные оптические явления нашли свое объяснение в рамках теории светоносного эфира. Одним из самых интересных и сложных вопросов являлся вопрос о взаимодействии материальных тел и светоносного эфира. В частности, как ведет себя эфир в движущемся теле: остается в покое; движется вместе с телом; или как-то по-иному.

Один из решающих экспериментов в исследовании этого явления провел французский физик Арман Ипполит Луи Физо. Результаты этого опыта были опубликованы в 1859 году в работе «О гипотезах относительно светового эфира и об одном эксперименте, который, по-видимому, показывает, что движение тел меняет скорость, с которой свет распространяется внутри этих тел». Все численные результаты, использованные в этой задаче, взяты из названной статьи И. Физо.

Скорость света в вакууме считать равной $c=3{,}00\cdot10^8\,\text{м}/\text{с}$ , Значения длин волн приведены для волн в вакууме. Показатель преломления воды $n=1{,}33$ .

Прежде чем приступить к анализу эксперимента И. Физо, вспомним основные положения теории интерференции света.

Часть 1. Воспоминание об интерференции

Наиболее простой для теоретического описания интерференции света является оптическая схема, предложенная английским физиком Т. Юнгом (рис. 1). Монохроматический свет падает нормально на непрозрачную пластинку, в которой на небольшом расстоянии проделаны два маленьких отверстия $S_1$ и $S_2$ , которые можно рассматривать как два когерентных точечных источника света. На большом расстоянии от этой пластинки расположен экран, на котором наблюдается интерференционная картина в виде системы параллельных равноотстоящих светлых и темных полос.

Рис. 1 оригинала: схема Юнга и полосы на экране

Рассмотрим описанную установку со следующими параметрами: Расстояние между отверстиями $d=1{,}0\,\text{мм}$ ; расстояние до экрана $L=2{,}0\,\text{м}$ , длина волны света $\lambda=0{,}55\cdot10^{-6}\,\text{м}$ . (рис. 2)

1.1 Рассчитайте ширину интерференционной полосы $\Delta x$ (расстояние между соседними максимумами) на экране.

1.2 Отверстие $S_1$ закрывают плоскопараллельной стеклянной пластинкой $P$ (рис. 3), толщина которой $h=5{,}0\cdot10^{-6}\,\text{м}$ , а показатель преломления $n=1{,}6$ . При такой малой толщине можно пренебречь смещением лучей в пластинке.

Рис. 3 оригинала: стеклянная пластинка P у S1

Рассчитайте на сколько полос (и в какую сторону) сместится интерференционная картина на экране.

Часть 2. Эксперимент И. Физо — скорость света в движущейся воде

Чтобы понять идею и цель рассматриваемого опыта И. Физо, процитируем его статью.

«Эти гипотезы (относительно эфира) можно свети к трем основным…:

эфир связан и как бы прикреплен к молекулам тела и, следовательно, участвует в движениях, которые могут сообщаться этим телам;
эфир свободен и независим и не увлекается телами в их движениях;
по третьему предположению… свободной остается лишь часть эфира, а другая часть прикрепляется к молекулам тела и только она участвует в его движении».

Итак, И. Физо поставил цель экспериментально определить, какая из этих гипотез подтверждается экспериментально. Для этого необходимо измерить, как изменяется скорость света в движущейся среде. Обозначим скорость движения среды $V$ , а скорость света в среде $v$ .

Далее будем ее называть «Гипотеза полного увлечения эфира»
Гипотеза неподвижного эфира.
Гипотеза частичного увлечения эфира.

2.1 Чему равна скорость света в неподвижной воде?

2.2 Запишите формулу для скорости света в движущей среде, в предположении, что справедлива гипотеза неподвижного эфира.

2.3 Запишите формулу для скорости света в движущей среде, в предположении, что справедлива гипотеза полного увлечения эфира.

2.4 В рамках гипотезы частичного увлечения эфира (предложенной О. Френелем) предполагается, что скорость света в движущейся среде складывается из скорости света в неподвижной среде и скорости среды, умноженной на некоторый коэффициент $\gamma$ , который называется коэффициентом увлечения эфира.

Каким значениям $\gamma$ соответствуют гипотезы неподвижного эфира и полного увлечения эфира?

2.5 На рис. 4 показана схема установки Физо. В этой установке свет проходил через две параллельные трубы Т1 и Т2 по которым равномерно текла вода с некоторой скоростью $V$ . Торцы труб закрыты стеклянными окнами. Оптическая схема установки состояла из источника света И, полупрозрачной пластинки П, трех зеркал З1, З2, З3 и экрана Э, на котором с помощью зрительной трубы с микрометром наблюдается интерференционная картина.

Рис. 4 оригинала: полный путь лучей в установке Физо

Свет от источника с помощью линзы формируется в параллельный пучок, который падал на полупрозрачную пластинку. Пластинка разделяет пучок на две потока. Один из них отражается от пластинки, и следует по пути З1, — З2, — З3 попадает на пластинку и отражается в сторону экрана. Этот пучок распространяется в трубах в направлении течения воды. Второй световой пучок движется в обратном направлении: проходит чрез пластинку и далее следует по пути З3, — З2, — З1 и также попадает на экран. В результате интерференции этих пучков на экране и возникает система полос. Каждый из пучков проходит в движущейся воде расстояние $L=1{,}49\,\text{м}$ в каждой трубе. Можно считать, что скорость движения воды на этом пути постоянна. Для расчета скорости воды И. Физо измерил объем жидкости, протекающий по трубам в единицу времени, и разделил его на площадь поперечного сечения трубы. В своих экспериментах И. Физо использовал свет с длиной волны $\lambda=526\,\text{нм}$ .

Еще раз процитируем статью И. Физо:

«Во время протекания воды полосы сохраняли хорошую отчетливость: они сдвигались параллельно самим себе без малейшего сомнения на величину, ощутимо пропорциональную скорости воды. При скорости 2 м/с смещение было уже хорошо заметно, при скорости от 4 до 7 м/с оно было вполне измеримым».

Для повышения точности измерений И. Физо измерял смещение полос при изменении направления течения воды. В результате тщательных измерений И. Физо констатировал:

«При ширине одной полосы в пять делений микрометра… было установлено, что при скорости течения воды 7,06 м/с смещение вправо составляло 1,2 деления и смещение влево — 1,2 деления. Сумма двух смещений равна 2,4 деления, т.е. практически составляет половину полосы».

Рассчитайте теоретическое значение смещения полос, принимая гипотезу полного увлечения эфира. Совпадает ли это значение с экспериментально полученным значением?

2.6 Принимая гипотезу частичного увлечения эфира, определите значение коэффициента увлечения эфира $\gamma$ , следующего из результатов эксперимента И. Физо.

Часть 3. Но эфира то нет!

3.1 Покажите, что закон сложения скоростей, предложенный О. Френелем, является следствием релятивистского закона сложения скоростей. Интересно, что О.Френель получил правильную формулу, не зная теории относительности.

3.2 Используя формулу релятивистского сложения скоростей, получите формулу для коэффициента увлечения эфира $\gamma$ . Выразите его через показатель преломления движущейся среды. Рассчитайте его значение для воды.

3.3 И. Физо сумел найти причину, объясняющую незначительное отклонение измеренного значения коэффициента $\gamma$ от теоретического значения. Укажите эту причину и Вы.

Решение

Задача 11-2. Опыт Физо.

Часть 1. Воспоминание об интерференции.

Решение этой части задачи традиционное, оно изложено практически во всех учебниках физики. Поэтому ограничимся кратким изложением этого решения, с выделением деталей, существенных при описании экспериментов И. Физо.

1.1 В схеме Юнга интерферирую волны, идущие от двух источников $S_1$ и $S_2$ . В точке экрана с координатой $x$ (измеренной от оси симметрии системы) интенсивность будет максимальна, если разность хода от источников до точки наблюдения равна целому числу длин волн, т.е.

r_2-r_1=m\lambda\quad(m=0,\pm1,\pm2\ldots).\qquad (1)

Для расчета этой разности запишем на основании теоремы Пифагора

\begin{aligned}r_2^2&=L^2+\left(x+\frac d2\right)^2,\\r_1^2&=L^2+\left(x-\frac d2\right)^2.\end{aligned}\qquad (2)

Вычтем второе равенство из первого

r_2^2-r_1^2=(r_2-r_1)(r_2+r_1)=2xd.\qquad (3)

Так как значения $r_2,r_1$ мало отличаются от расстояния $L$ , которое значительно больше как расстояния между отверстиями $d$ , так и длины волны $\lambda$ , можно положить $(r_2+r_1)\approx2L$ . Поэтому разность расстояний описывается формулой

r_2-r_1=\frac{xd}L.\qquad (3)

Использование условия максимумов интерференции (1) позволят найти координаты точек максимальной интенсивности:

\frac{x_md}L=m\lambda\ \Rightarrow\ x_m=m\frac{\lambda L}d.\qquad (4)

Расстояние между соседними максимумами (т.е. ширина полосы) равно

\Delta x=x_{m+1}-x_m=\frac{\lambda L}d.\qquad (5)

Подстановка численных значений дает результат

\Delta x=\frac{\lambda L}d=\frac{0{,}55\cdot10^{-6}\cdot2{,}0}{1{,}0\cdot10^{-3}}=1{,}1\cdot10^{-3}\,\text{м}=1{,}1\,\text{мм}.\qquad (6)

1.2 Самый простой способ решения этой части задачи можно найти, используя следующие простые (но общие для любой интерференционно схемы) рассуждения. Переход от одной интерференционной полосы к следующей соответствует увеличение разности хода на одну длину волны! Поэтому если оптическая длина пути в одном из каналов увеличивается на одну длину волны, то интерференционная картина смещается на одну полосу!

Сделаем еще одно замечание, касающееся понятия оптической длины пути. В теории интерференции основную роль играет разность фаз между интерферирующими волнами. Эта разность фаз зависит от длины волны, а именно изменение расстояния на одну длину волны приводит к изменению фазы на $2\pi$ . Поэтому для изменения фазы можно записать соотношение

\Delta\varphi=2\pi\frac{\Delta r}\lambda.\qquad (7)

Если свет распространяется в среде с показателем преломления $n$ , то длина волны уменьшается в $n$ раз, поэтому изменение фазы при распространении света в среде будет равно

\Delta\varphi=2\pi\frac{\Delta r}{\lambda_0/n}=2\pi\frac{n\Delta r}{\lambda_0}.\qquad (8)

где $\lambda_0$ — длина волны в вакууме. При подобных расчетах удобно считать, что длина волны остается неизменной и равной $\lambda_0$ , а увеличивается длина пути. Именно в этом смысл введения такого понятия, как оптическая длина пути $l=n\Delta r$ .

Теперь совсем просто найти смещение интерференционной картины при наличии стеклянной пластинки. Пластинка увеличивает оптическую длину пути для волн от верхнего источника на величину

\Delta l=(n-1)h.\qquad (9)

Оригинальная пластинка и направления сдвига δ из ключа

Если это увеличение разделить на длину волны (в вакууме!), то получим величину смещения интерференционной картины в единицах ширины полосы, т.е.

\frac{\Delta l}\lambda=\frac\delta{\Delta x}=\Delta m.\qquad (9)

В рассматриваемой задаче это смещение равно

\Delta m=\frac{(n-1)h}\lambda=\frac{(1{,}6-1)\cdot5{,}0\cdot10^{-6}}{0{,}55\cdot10^{-6}}\approx5{,}5.\qquad (10)

Таким образом, интерференционная картина сместится на пять с половиной полос вверх.

Часть 2. Эксперимент И. Физо — скорость света в движущейся воде.

2.1 Скорость света в неподвижной воде в $n$ раз меньше скорости света в вакууме

v=\frac cn=\frac{3{,}00\cdot10^8}{1{,}33}=2{,}26\cdot10^8\,\text{м}/\text{с}.\qquad (11)

2.2 В рамках гипотезы неподвижного эфира движение воды не влияет на скорость света, поэтому

v=\frac cn.\qquad (12)

2.3 Если справедлива гипотеза полного увлечения эфира, то

v=\frac cn+V.\qquad (13)

2.4 В общем случае следует записать

v=\frac cn+\gamma V.\qquad (14)

При неподвижном эфире $\gamma=0$ , при полном увлечении $\gamma=1$ .

2.5 В данном эксперименте сдвиг интерференционных полос обусловлен изменением скорости света при изменении скорости течения воды, в результате чего изменяется длина волны света. Рассчитаем изменение длины волны в общем случае частичного увлечения эфира. Так как частота и период колебаний остаются неизменными, можно записать:

Для длины волны ( $\lambda_{(\pm)}$ — длины волн при движении «по и против» течения воды):

\frac{\lambda_0}c=\frac{\lambda_{(\pm)}}{c/n\pm\gamma V}\ \Rightarrow\ \lambda_{(\pm)}=\lambda_0\frac{c/n\pm\gamma V}c.\qquad (15)

Для изменения разности хода в каждой трубе в единицах длин волн получим

\frac L{\lambda_{(\pm)}}=\frac L{\lambda_0\frac{c/n\pm\gamma V}c}=\frac L{\lambda_0}\cdot\frac c{c/n\pm\gamma V}=\frac L{\lambda_0}\frac n{1\pm n\gamma V/c}.\qquad (16)

Теперь учтем, что $V\ll c$ , поэтому можно это выражение упростить:

\frac L{\lambda_{(\pm)}}=\frac L{\lambda_0}\frac n{1\pm n\gamma V/c}=\frac{Ln}{\lambda_0}\left(1\mp n\gamma\frac Vc\right).\qquad (17)

Итак, при движении воды между волнами, распространяющимися в противоположных направлениях, возникает разность хода (и равный ей сдвиг полос)

\Delta m_1=\frac L{\lambda_{(-)}}-\frac L{\lambda_{(+)}}=2\frac{Ln^2}{\lambda_0}\gamma\frac Vc.\qquad (18)

Так как свет проходит две трубы, то окончательное значение сдвига будет еще в два раза больше

\Delta m=4\frac{Ln^2}{\lambda_0}\gamma\frac Vc.\qquad (19)

Подставим численные значения и рассчитаем

\Delta m=4\frac{Ln^2}{\lambda_0}\gamma\frac Vc=4\frac{1{,}49\cdot1{,}33^2}{526\cdot10^{-9}}\cdot\frac{7{,}06}{3{,}00\cdot10^8}\gamma=0{,}472\gamma.\qquad (20)

Таким образом, при полном увлечении эфира сдвиг полос должен составить 0,478 ширины интерференционной полосы.

В результате измерений И. Физо получил значение сдвига

\Delta m_{\text{exp}}=\frac{1{,}2}5\approx0{,}24,\qquad (21)

что почти в 2 раза меньше теоретического сдвига.

2.6 Для объяснение наблюдаемого сдвига следует предположить, что коэффициент увлечения эфира водой равен

\gamma=\frac{0{,}24}{0{,}47}\approx0{,}51.\qquad (22)

Часть 3. Но эфира то нет!

3.1 Используя формулу для сложения скоростей в СТО для скорости света в движущейся среде получим

v=\frac{c/n+V}{1+(c/n)V/c^2}=\frac cn\frac{1+nV/c}{1+V/(nc)}\approx\frac cn\left(1+n\frac Vc-\frac1n\frac Vc\right)=\frac cn+\left(1-\frac1{n^2}\right)V.\qquad (23)

3.2 Из формулы (23) следует, что коэффициент увлечения связан с показателем преломления соотношением

\gamma=1-\frac1{n^2}.\qquad (24)

Его численное значение для воды равно

\gamma=1-\frac1{1{,}33^2}=0{,}435.\qquad (25)

Это значение близко к значению, найденному экспериментально.

3.3 При рассчитанном значении коэффициента увлечения сдвиг полос должен быть равен $\Delta m=0{,}472\gamma\approx0{,}205$ , что несколько меньше полученного экспериментально. Основной причиной такого расхождения является метод измерения скорости жидкости. Использованное значение скорости является средней скоростью по площади поперечного сечения труб. В действительности свет проходил вблизи оси трубы, где скорость течения больше, чем среднее по сечению значение. В результате чего реальный сдвиг оказался немного больше рассчитанного. Это повлияло и на значение коэффициента увлечения.

Оригинальный титульный лист

Республиканская физическая олимпиада 2018. Заключительный этап. Теоретический тур. Полоцк 2018. Event photograph and emblem remain in the exact retained native PDF.

Source scope and authority

no separate theory schemes, grading or organizer clarifications listed. Carbon blank-layer response forms and model photo Q6 and every available key graph/construction retained. Separately referenced mirror and graph blanks are genuinely absent from the complete pair/folder. Ohm seasonal winter/summer request has no key entry and remains honestly incomplete; every other available key is retained. Archive event authority only; no independent organizer URL established and all solutions attributed archive.

Original-reader source caveat

p2 response sheet graphite label 2.2 differs from requested 2.1; figure6 repeated for tetrahedron and model photo. Key graphite analytical formula uses a0 while numerical uses a1; decimal-density range connector absent; diamond-density heading says graphite and numerical denominators omit explicit powers though preceding analytical powers are present. Native conductivity explanation wording retained.

Original-reader source caveat

p3 question has two different requests labelled3.6. Seasonal winter/summer request has no key entry; solution remains incomplete. Localized original-pixel reopening confirms first brass X=111.50 in both Q9/K10, inverse.0090; preliminary11.50 reading withdrawn. A2=2.85e-3 differs from reciprocal a2=5.41e2; brass b3=1.12 later1.18. Every literal value and label preserved.

Original-reader source caveat

p4 parallel-system divided second row prints I1 where earlier equations use I2. Charged-ball explanation says internal forces influence COM (missing negation), yet immediately uses free fall. No silent correction.

Original-reader source caveat

p5 Q says mass of air inside «нее» remains unchanged; «нее» is a pronoun, not negation. Preliminary opposite reading withdrawn; key uses constant molecule number. Q asks gamma=beta T^z though thermal coefficient is lambda. Metal lead heat uses QAg and both composite heats Q1. K18eq24 prints5/3 while23 and33 use5/2; K19eq32 omits l on left while28 includes it. Temperature-axis Celsius vs Kelvin scope retained.

Original-reader source caveat

p6 leakage Delta f=f(alpha-Delta alpha)-f(alpha) coexists with Delta alpha=-1deg and reported negative fractional change; approximate and numerical estimates differ. Preserve printed formula/sign/result without invented adjudication. Q15 specifies mass1/16grain per foot while K19 numerical diameter uses that mass with28inch length; exact original preserved. Approximate K23equilibrium uses extra alpha lever beside priorr0description.

Original-reader source caveat

p7 repeated equation8 has final ax=-3g cos(alpha) missing sin compared preceding expression. K26 frame described downward g/2 despite native axis/hodograph center sign. K27 initial finite-n potential expression squares some terms before next line unsquared sum. Key break-distance prose one third retained beside graph zero at2n/3.

Original-reader source caveat

p8 key equation0.472gamma is followed by prose0.478; repeated tags3/9 retained. All historical ether hypotheses and quotations are original source content, separately contextualized.

Original-reader source caveat

p9 K34 repeated copper density has g/m3 while Q uses g/cm3; numerical n uses SI8.92e3. K35beta=rho/(ne2) differs from previous current expressions; stationary harmonic solution does not satisfy imposed initial v0=0 without a transient, absent from key. K36 heat-average swaps cosine/sine coefficients relative26; repeated tags28/29, Pincident=IS=I and pressure single-electron/surface factors retained. No source solution repaired or transient invented.

Примечание транскрипции к архивному оригиналу — 10-3. Опыты Ш. Кулона

В условии масса $1/16$ грана относится к одному футу нити; в численной подстановке ключа (3) эта масса стоит вместе с длиной 28 дюймов. В формуле изменения $f$ напечатано $\alpha-\Delta\alpha$ , при этом далее $\Delta\alpha=-1^\circ$ и итог отрицателен. Приближенная формула равновесия содержит множитель $r_0\alpha$ , хотя предшествующий текст называет плечом $r_0$ . Напечатанные исходные величины, формулы и оба результата изменения заряда сохранены без подмены исправленным расчетом.

Примечание транскрипции к архивному оригиналу — 11-1. Шарики на спице и как ломаются трубы

В последнем выражении для $a_x$ в повторно обозначенной формуле (8) на K25 отсутствует $\sin\alpha$ ; последующая (9) содержит его. Описание системы отсчета сохраняет слово «вниз» рядом с оригинальным годографом. В первой строке (18) правая сумма печатает квадраты после первого члена, а следующая строка использует $\sum k$ . В (19) промежуточное равенство не содержит $\sin\alpha$ , хотя конечная формула его содержит. Формулировка «на одной трети» и график с $2n/3$ воспроизведены вместе, без добавленного направления отсчета.

Примечание транскрипции к архивному оригиналу — 11-2. Опыт Физо

В (20) напечатано $0{,}472\gamma$ , а следующий текст дает 0,478. Повторные номера (3) и (9), все три исторические гипотезы и последующая часть о СТО сохранены как исходное содержание.

Примечание транскрипции к архивному оригиналу — 11-3. Давление света

Повтор плотности меди на K34 печатает г/м³, хотя Q23 дает г/см³ и численная подстановка использует $8{,}92\cdot10^3$ кг/м³. Формула (15) печатает $\rho/(ne^2)$ рядом с предыдущими выражениями тока. Гармоническое решение (26) не содержит переходного слагаемого для заданной в условии нулевой начальной скорости; оно не добавлено в архивный ключ. В усреднении мощности переставлены коэффициенты косинуса и синуса относительно (26). В (30) есть дополнительное равенство $=I$ ; (32)–(33) содержат обозначение силы одного электрона и различающиеся множители $S$ . Повторные номера (10), (28), (29), ссылка на (4) вместо формулы силы (5) и все напечатанные результаты сохранены.

Повторный номер в задаче «Опыты Георга Ома»

На странице 9 оригинала два последовательных, различных вопроса в одной части имеют номер 3.6. Первый номер 3.6 сохранен; второй показан как «3.6 (повтор)» для различения. Обе формулировки, исходный порядок и общее число вопросов сохранены без перенумерации. Сезонный вопрос о зиме и лете не имеет ответа в полном архивном ключе.

Оригинальное указание к разминке 9-1

9 класс. Условия задач.

Задание состоит из трех не связанных между собой задач!

Оригинальное указание к разминке 10-1

10 класс.

Задание состоит из трех не связанных между собой задач.

Оригинал в Архива: 2018_theoretical_problems.pdf · решение от архива: 2018_theoretical_solutions.pdf