Съдържание

Условие Часть 1. Свойства электромагнитных волн Часть 2. Движение электронов в металле и электрическое сопротивление Часть 3. Давление света на поверхность металла Решение

BelPhO 2018, Заключителен етап — Задача 11-3. Давление света

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2018

Белорусская республиканская олимпиада по физике 2018 — заключительный этап, теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Complete60native24Q36K pages:13whole tasks across9/10/11cohorts with83numbered and4unnumbered requests. All available archive keys and actual native diagrams/graphs/forms/photos. Seasonal Ohm request lacks key answer; separate referenced graph/construction blanks absent. Original numerical powers/signs/mass-unit/equation-label discrepancies and harmonic initial-condition gap preserved with attributed notes. No independently verified organizer provenance.

Условие

11 класс.

В некоторых книгах утверждается, что давление света подтверждает его квантовую природу. Однако, описать это явление можно точно и в рамках классической физики. Знаменитый исследователь давления света П.Н. Лебедев в своих экспериментах проверял теорию электромагнитную теорию Дж.К. Максвелла.

В данной задаче вам предстоит рассчитать величину давления света, используя законы классической физики.

Часть 1. Свойства электромагнитных волн

Свет представляет собой электромагнитную волну. Эта волна является поперечной: векторы напряженности электрического поля $\vec E$ и индукции магнитного поля $\vec B$ взаимно перпендикулярны и перпендикулярны направлению распространения волны $\vec c$ (см. рисунок). Колебания напряженности электрического поля и индукции магнитного поля происходят в одной фазе, поэтому в произвольной точке они могут быть описаны функциями

\begin{cases}E=E_0\cos\omega t,\\B=B_0\cos\omega t.\end{cases}\qquad (1)

Оригинальная электромагнитная волна, E, B и c

Амплитуды колебаний напряженности электрического поля и индукции магнитного поля связаны между собой так, что средняя объемная плотность энергии электрического поля равна средней объемной плотности энергии магнитного поля

\langle w_E\rangle=\langle w_B\rangle.\qquad (2)

Объемные плотности энергии электрического и магнитного полей определяются по формулам

w_E=\frac{\varepsilon_0E^2}2,\qquad w_B=\frac{B^2}{2\mu_0}.\qquad (3)

Скорость электромагнитной волны (скорость света) в вакууме рассчитывается по формуле

c=\frac1{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}},\qquad (4)

где $\varepsilon_0,\mu_0$ — электрическая и магнитная постоянные, соответственно.

1.1 Запишите соотношение между амплитудами колебаний напряженности электрического $E_0$ поля, индукции магнитного поля $B_0$ и скоростью света $c$ .

1.2 Выразите интенсивность света $I$ через амплитуду колебаний вектора напряженности электрического поля волны $E_0$ .

Интенсивностью света называется усредненное по времени количество энергии, переносимой волной в единицу времени через площадку единичной площади $I=\langle\Delta W\rangle/(\Delta t\Delta S)$ .

Часть 2. Движение электронов в металле и электрическое сопротивление

Как известно, носителями электрического тока в металлах являются свободные электроны.

2.1 Рассчитайте концентрацию свободных электронов $n$ в меди.

Считайте, что каждый атом меди отдает один электрон в облако свободных электронов. Молярная масса меди $M_{Cu}=63{,}5\,\text{г}/\text{моль}$ , плотность меди $\rho_{Cu}=8{,}92\,\text{г}/\text{см}^3$ , постоянная Авогадро $N_A=6{,}02\cdot10^{23}\,\text{моль}^{-1}$ , заряд электрона $e=1{,}60\cdot10^{-19}\,\text{Кл}$ , электрическая постоянная $\varepsilon_0=8{,}854\cdot10^{-12}\,\text{А}^2\cdot\text{с}^4/(\text{кг}\cdot\text{м}^3)$ .

2.2 Медная пластинка толщиной $h=1{,}0\,\text{см}$ помещена во внешнее однородное электростатическое поле напряженности $E=30\,\text{кВ}/\text{см}$ (в таких полях наступает электрический пробой воздуха). Вектор напряженности поля перпендикулярен поверхности пластинки.

Оригинальная пластинка толщиной h в поле E

Рассчитайте, какая доля свободных электронов создает индуцированный заряд на поверхности пластинки при заданной напряженности внешнего электрического поля.

2.3 Для описания электрического сопротивления металлов в классической физике предполагается, что на движущийся в металле электрон действует тормозящая сила, пропорциональная его скорости

\vec F=-\beta\vec v.\qquad (5)

Выразите коэффициент пропорциональности $\beta$ в формуле (5), через удельное электрическое сопротивление металла $\rho$ и концентрацию свободных электронов $n$ .

Не путайте с плотностью!

Часть 3. Давление света на поверхность металла

Для расчета давления света рассмотрите следующую модель. Плоская электромагнитная волна падает нормально на очень тонкую металлическую пластинку толщиной $h$ . Отражение волны не учитывать. Изменением амплитуды волны при прохождении через пластинку можно пренебречь, поэтому во всех точках пластинки поля описываются уравнениями (1).

Оригинальная тонкая пластинка в падающей волне, E, B, c и h

Движение электронов описывается на основании закона Ньютона, причем в первом приближении можно пренебречь влиянием магнитного поля волны на движение электрона. Начальную скорость электрона считайте равной нулю.

В дальнейшем считайте известными следующие величины: $n$ — концентрация свободных электронов в пластинке, коэффициент сопротивления движению $\beta$ для этих электронов, $E_0$ — амплитуда напряженности электрического поля волны, $\omega$ — круговая частота волны, $h,S$ — толщина и площадь пластинки, $m,e$ — масса и заряд электрона, $c$ — скорость света. Ответы на последующие вопросы выражайте через эти величины.

3.1 Пренебрегая силой сопротивления, действующей на электрон, найдите зависимость скорости электрона от времени, при действии на него электромагнитной волны $v(t)$ .

3.2 Рассчитайте среднее значение силы Лоренца, действующей на электрон в этом случае.

3.3 Далее следует учитывать действие силы сопротивления (4) на электрон.

Найдите зависимость скорости электрона от времени $v(t)$ при действии на него электрического поля волны.

Подсказка. Представьте эту зависимость в виде $v(t)=C_1\cos\omega t+C_2\sin\omega t$ , найдите значения коэффициентов этой зависимости.

3.4 Найдите усредненное по времени значение силы Лоренца, действующей на электрон. Укажите направление этой силы.

3.5 Найдите силу, действующую на всю пластинку со стороны падающей волны.

3.6 Рассчитайте коэффициент поглощения электромагнитной волны пластинкой $K$ .

Коэффициентом поглощения называется отношение поглощенной энергии к энергии падающей волны.

3.7 Получите формулу для давления света на пластинку, выразите это давление через интенсивность волны и коэффициент поглощения пластинки.

Решение

Задача 11-3. Давление света. (Решение).

1. Свойства электромагнитных волн.

1.1 В условии задачи подсказано, что средние плотности энергии электрического и магнитного полей волны равны. Поэтому вычислим усредненные значения плотностей этих энергий. Мгновенное значение плотности энергии электрического поля описывается функцией

w_E(t)=\frac{\varepsilon_0}2(E(t))^2=\frac{\varepsilon_0E_0^2}2\cos^2\omega t.\qquad (1)

Усреднение по промежутку времени, значительно превышающему период световых колебаний, дает

\langle w_E\rangle=\frac{\varepsilon_0E_0^2}2\langle\cos^2\omega t\rangle=\frac{\varepsilon_0E_0^2}4.\qquad (2)

При выводе учтено, что среднее значение квадрата косинуса равно $\langle\cos^2t\rangle=1/2$ . Аналогичные рассуждения дают аналогичный результат:

\langle w_B\rangle=\frac{B_0^2}{2\mu_0}\langle\cos^2\omega t\rangle=\frac{B_0^2}{4\mu_0}.\qquad (3)

Из равенства этих величин следует очень простое и красиво соотношение между амплитудами полей

\frac{\varepsilon_0E_0^2}4=\frac{B_0^2}{4\mu_0}\ \Rightarrow\ E_0=\frac1{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}B_0=cB_0.\qquad (4)

1.2 Рассмотрим небольшую прямоугольную площадку площади $\Delta S$ на которую нормально падает электромагнитная волна. На этой площадке, как на основании построим параллелепипед длиной $c\Delta t$ . Вся энергия волны, заключенная в этом параллелепипеде за время $\Delta t$ успеет проскочить через выделенную площадку. Поэтому за время $\Delta t$ через площадку пройдет энергия равная

\Delta W=(w_E+w_B)\Delta S\cdot c\Delta t.\qquad (5)

Оригинальный параллелепипед ΔS, cΔt и поток волны

Усредняя по времени, получим $\langle\Delta W\rangle=\langle w_E+w_B\rangle\Delta S\cdot c\Delta t$ . Тогда интенсивность волны (по определению) будет равна

I=\frac{\langle\Delta W\rangle}{\Delta S\cdot\Delta t}=c\langle w_E+w_B\rangle.\qquad (6)

Принимая во внимание полученные выражения для средних плотностей энергии электрического и магнитного полей, получим выражение для интенсивности волны:

I=c\langle w_E+w_B\rangle=2c\langle w_E\rangle=c\frac{\varepsilon_0E_0^2}2.\qquad (7)

2. Движение электронов в металле и их электрическое сопротивление.

2.1 Считайте, что каждый атом меди отдает один электрон в облако свободных электронов. Молярная масса меди $M_{Cu}=63{,}5\,\text{г}/\text{моль}$ , плотность меди $\rho_{Cu}=8{,}92\,\text{г}/\text{м}^3$ , постоянная Авогадро $N_A=6{,}02\cdot10^{23}\,\text{моль}^{-1}$ .

2.1 Концентрация свободных электронов равна концентрации атомов в меди, которая рассчитывается элементарно:

n=\frac{\rho_{Cu}}{m_{Cu}}=\frac{\rho_{Cu}}{M_{Cu}}N_A=\frac{8{,}92\cdot10^3\,\frac{\text{кг}}{\text{м}^3}}{63{,}5\cdot10^{-3}\,\frac{\text{кг}}{\text{моль}}}\,6{,}02\cdot10^{23}\,\frac1{\text{моль}}=8{,}46\cdot10^{28}\,\text{м}^{-3}.\qquad (8)

2.2 Напряженность электрического поля внутри металла равна нулю, так как внешнее поле компенсируется полем индуцированных зарядов. В данном случае индуцированные заряды локализуются на поверхности пластины, поэтому поверхностная плотность индуцированных зарядов связана с напряженностью создаваемого поля следующим соотношением

\sigma=\varepsilon_0E.\qquad (9)

Здесь $E$ — напряженность внешнего поля и она же напряженность поля индуцированных зарядов. Если площадь части пластинки равна $S$ , то число электронов, находящихся на этой площадке равно $N'=\sigma S/e$ ( $e$ — заряд электрона), в то время как общее число свободных электронов в пластинке $N=nSh$ . Таким образом, доля электронов, которые под действием внешнего поля переместились на поверхность, равна

Оригинальные индуцированные заряды на двух поверхностях пластинки

\eta=\frac{N'}N=\frac\sigma{enh}=\frac{\varepsilon_0E}{enh}.\qquad (10)

Подставляя численные значения параметров этой формулы (заметим, что $E=30\,\text{кВ}/\text{см}=3{,}0\cdot10^6\,\text{В}/\text{м}$ ), получим

\eta=\frac{\varepsilon_0E}{enh}=\frac{8{,}85\cdot10^{-12}\cdot3{,}0\cdot10^6}{1{,}60\cdot10^{-19}\cdot8{,}46\cdot10^{28}\cdot1{,}0\cdot10^{-2}}=2{,}0\cdot10^{-13}.\qquad (10)

Очень маленькая доля!

2.3 При установившемся значении силы тока электроны движутся с постоянной скоростью (конечно, в среднем), в этом случае сила, действующая на электрон со стороны электрического поля, уравновешивается силой сопротивления

eE=\beta v.\qquad (11)

Отсюда следует, что средняя скорость движения электронов равна

v=\frac{eE}\beta.\qquad (12)

Тогда плотность тока равна

j=env=\frac{e^2n}\beta E.\qquad (13)

Эта формула выражает закон Ома в дифференциальной форме, который традиционно записывается в виде

j=\frac1\rho E.\qquad (14)

Сравнивая эти выражения, находим, что искомый и не совсем понятный коэффициент может быть рассчитан по вполне измеряемым параметрам

\beta=\frac\rho{ne^2}.\qquad (15)

3. Давление света на поверхность металла.

3.1 Уравнение движение свободного электрона по второму закону Ньютона имеет вид

ma=eE_0\cos\omega t.\qquad (16)

$m$ — масса электрона, $a$ — его ускорение. Из этого уравнения следует, что скорость электрона зависит от времени по закону

v(t)=\frac{eE_0}{m\omega}\sin\omega t.\qquad (17)

Вектор скорости лежит в той же плоскости, что и вектор напряженности электрического поля.

3.2 Так как вектор скорости электрона и вектор индукции магнитного поля взаимно перпендикулярны, сила Лоренца равна произведению модулей этих векторов, т.е.

F_{\text{Л}}=evB=e\frac{eE_0}{m\omega}\sin\omega t\cdot B_0\cos\omega t.\qquad (18)

Среднее по времени значение этой силы равно нулю, так как $\langle\sin\omega t\cdot\cos\omega t\rangle=\frac12\langle\sin2\omega t\rangle=0$ . Итак, в этом случае

\langle F_{\text{Л}}\rangle=0.\qquad (19)

3.3 При наличии силы сопротивления уравнение движение электрона имеет вид

ma=eE_0\cos\omega t-\beta v.\qquad (20)

Используя подсказку, запишем

v(t)=C_1\cos\omega t+C_2\sin\omega t.\qquad (21)

Ускорение электрона находим, вычисляя производную от этой функции

a=-C_1\omega\sin\omega t+C_2\omega\cos\omega t.\qquad (22)

Подставим эти функции в уравнение (20)

-C_1m\omega\sin\omega t+C_2m\omega\cos\omega t=eE_0\cos\omega t-C_1\beta\cos\omega t-C_2\beta\sin\omega t.\qquad (23)

Так как это выражение должно быть справедливым в любой момент времени, можно приравнять коэффициенты, стоящие «при синусах и косинусах», в результате чего получаем систему уравнений для определения коэффициентов функции (21)

\begin{cases}-C_1m\omega=-C_2\beta,\\C_2m\omega=eE_0-C_1\beta.\end{cases}\qquad (24)

Решение этой системы элементарно:

C_2=eE_0\frac{m\omega}{(m\omega)^2+\beta^2};\qquad C_1=eE_0\frac\beta{(m\omega)^2+\beta^2}.\qquad (25)

Подставляя эти выражение в функцию (21), получим искомую функцию

v(t)=eE_0\frac\beta{(m\omega)^2+\beta^2}\cos\omega t+eE_0\frac{m\omega}{(m\omega)^2+\beta^2}\sin\omega t.\qquad (26)

3.4 Так как в выражении для скорости присутствует слагаемое изменяющееся по закону косинуса, среднее значение силы Лоренца, действующее на один электрон, оказывается отличным от нуля. Действительно,

\begin{aligned} \langle F_{\text{Л}}^{(1)}\rangle&=\langle evB\rangle=\left\langle e\left(eE_0\frac\beta{(m\omega)^2+\beta^2}\cos\omega t+eE_0\frac{m\omega}{(m\omega)^2+\beta^2}\sin\omega t\right)B_0\cos\omega t\right\rangle\\ &=e^2\frac{E_0B_0}2\frac\beta{(m\omega)^2+\beta^2}=e^2\frac{E_0^2}{2c}\frac\beta{(m\omega)^2+\beta^2}. \end{aligned}\qquad (27)

Легко показать, что эта сила направлена по направлению распространения волны.

3.5 Так как в пластинке содержится $N=nhS$ электронов, то суммарная средняя сила, действующая на пластинку оказывается равной

\langle F_{\text{Л}}\rangle=nhSe^2\frac{E_0^2}{2c}\frac\beta{(m\omega)^2+\beta^2}.\qquad (28)

3.6 Поглощение волны происходит только потому, что на электроны действует тормозящая сила (равносильно — потому, что есть электрическое сопротивление). Мощность поглощенной одним электроном энергии есть мощность силы сопротивления

p^{(1)}=F_{\text{сопр.}}v=\beta v^2.\qquad (29)

Проводя усреднение по времени, получим

\begin{aligned} \langle p_1\rangle&=\beta\langle v^2\rangle=\beta\left\langle\left(eE_0\frac{m\omega}{(m\omega)^2+\beta^2}\cos\omega t+eE_0\frac\beta{(m\omega)^2+\beta^2}\sin\omega t\right)^2\right\rangle\\ &=\frac{(eE_0)^2}2\frac\beta{(m\omega)^2+\beta^2}. \end{aligned}\qquad (28)

При выводе учтено, что $\langle\cos^2\omega t\rangle=\langle\sin^2\omega t\rangle=1/2$ , $\langle\cos\omega t\cdot\sin\omega t\rangle=0$ .

Мощность энергии, поглощенной всеми электронами равна

P_{\text{погл}}=N\langle p_1\rangle=nhS\frac{(eE_0)^2}2\frac\beta{(m\omega)^2+\beta^2}.\qquad (29)

Мощность энергии падающей на пластинку равна

P_{\text{пад.}}=IS=I=c\frac{\varepsilon_0E_0^2}2S.\qquad (30)

Следовательно, коэффициент поглощения волны равен

K=\frac{P_{\text{погл}}}{P_{\text{пад}}}=\frac{nhe^2}{c\varepsilon_0}\frac\beta{(m\omega)^2+\beta^2}.\qquad (31)

3.7 Давление света равно отношению силы (28) к площади пластинки

p=\frac{\langle F_{\text{Л}}^{(1)}\rangle}S=nhe^2\frac{E_0^2}{2c}\frac\beta{(m\omega)^2+\beta^2}.\qquad (32)

Поэтому осталось выразить эту формулу через интенсивность падающей волны и коэффициент поглощения, что делается достаточно просто: просто переставим слагаемые в формуле (28)

p=\frac{\langle F_{\text{Л}}^{(1)}\rangle}S=nhSe^2\frac{E_0^2}{2c}\frac\beta{(m\omega)^2+\beta^2}=\left(\frac{nhSe^2}{c\varepsilon_0}\frac\beta{(m\omega)^2+\beta^2}\right)\left(\frac{\varepsilon_0E_0^2}2c\right)\frac1c=K\frac Ic.\qquad (33)

Заметим, что в точности такое же выражение для давления света следует и из квантовой теории.

Оригинальный титульный лист

Республиканская физическая олимпиада 2018. Заключительный этап. Теоретический тур. Полоцк 2018. Event photograph and emblem remain in the exact retained native PDF.

Source scope and authority

no separate theory schemes, grading or organizer clarifications listed. Carbon blank-layer response forms and model photo Q6 and every available key graph/construction retained. Separately referenced mirror and graph blanks are genuinely absent from the complete pair/folder. Ohm seasonal winter/summer request has no key entry and remains honestly incomplete; every other available key is retained. Archive event authority only; no independent organizer URL established and all solutions attributed archive.

Original-reader source caveat

p2 response sheet graphite label 2.2 differs from requested 2.1; figure6 repeated for tetrahedron and model photo. Key graphite analytical formula uses a0 while numerical uses a1; decimal-density range connector absent; diamond-density heading says graphite and numerical denominators omit explicit powers though preceding analytical powers are present. Native conductivity explanation wording retained.

Original-reader source caveat

p3 question has two different requests labelled3.6. Seasonal winter/summer request has no key entry; solution remains incomplete. Localized original-pixel reopening confirms first brass X=111.50 in both Q9/K10, inverse.0090; preliminary11.50 reading withdrawn. A2=2.85e-3 differs from reciprocal a2=5.41e2; brass b3=1.12 later1.18. Every literal value and label preserved.

Original-reader source caveat

p4 parallel-system divided second row prints I1 where earlier equations use I2. Charged-ball explanation says internal forces influence COM (missing negation), yet immediately uses free fall. No silent correction.

Original-reader source caveat

p5 Q says mass of air inside «нее» remains unchanged; «нее» is a pronoun, not negation. Preliminary opposite reading withdrawn; key uses constant molecule number. Q asks gamma=beta T^z though thermal coefficient is lambda. Metal lead heat uses QAg and both composite heats Q1. K18eq24 prints5/3 while23 and33 use5/2; K19eq32 omits l on left while28 includes it. Temperature-axis Celsius vs Kelvin scope retained.

Original-reader source caveat

p6 leakage Delta f=f(alpha-Delta alpha)-f(alpha) coexists with Delta alpha=-1deg and reported negative fractional change; approximate and numerical estimates differ. Preserve printed formula/sign/result without invented adjudication. Q15 specifies mass1/16grain per foot while K19 numerical diameter uses that mass with28inch length; exact original preserved. Approximate K23equilibrium uses extra alpha lever beside priorr0description.

Original-reader source caveat

p7 repeated equation8 has final ax=-3g cos(alpha) missing sin compared preceding expression. K26 frame described downward g/2 despite native axis/hodograph center sign. K27 initial finite-n potential expression squares some terms before next line unsquared sum. Key break-distance prose one third retained beside graph zero at2n/3.

Original-reader source caveat

p8 key equation0.472gamma is followed by prose0.478; repeated tags3/9 retained. All historical ether hypotheses and quotations are original source content, separately contextualized.

Original-reader source caveat

p9 K34 repeated copper density has g/m3 while Q uses g/cm3; numerical n uses SI8.92e3. K35beta=rho/(ne2) differs from previous current expressions; stationary harmonic solution does not satisfy imposed initial v0=0 without a transient, absent from key. K36 heat-average swaps cosine/sine coefficients relative26; repeated tags28/29, Pincident=IS=I and pressure single-electron/surface factors retained. No source solution repaired or transient invented.

Примечание транскрипции к архивному оригиналу — 10-3. Опыты Ш. Кулона

В условии масса $1/16$ грана относится к одному футу нити; в численной подстановке ключа (3) эта масса стоит вместе с длиной 28 дюймов. В формуле изменения $f$ напечатано $\alpha-\Delta\alpha$ , при этом далее $\Delta\alpha=-1^\circ$ и итог отрицателен. Приближенная формула равновесия содержит множитель $r_0\alpha$ , хотя предшествующий текст называет плечом $r_0$ . Напечатанные исходные величины, формулы и оба результата изменения заряда сохранены без подмены исправленным расчетом.

Примечание транскрипции к архивному оригиналу — 11-1. Шарики на спице и как ломаются трубы

В последнем выражении для $a_x$ в повторно обозначенной формуле (8) на K25 отсутствует $\sin\alpha$ ; последующая (9) содержит его. Описание системы отсчета сохраняет слово «вниз» рядом с оригинальным годографом. В первой строке (18) правая сумма печатает квадраты после первого члена, а следующая строка использует $\sum k$ . В (19) промежуточное равенство не содержит $\sin\alpha$ , хотя конечная формула его содержит. Формулировка «на одной трети» и график с $2n/3$ воспроизведены вместе, без добавленного направления отсчета.

Примечание транскрипции к архивному оригиналу — 11-2. Опыт Физо

В (20) напечатано $0{,}472\gamma$ , а следующий текст дает 0,478. Повторные номера (3) и (9), все три исторические гипотезы и последующая часть о СТО сохранены как исходное содержание.

Примечание транскрипции к архивному оригиналу — 11-3. Давление света

Повтор плотности меди на K34 печатает г/м³, хотя Q23 дает г/см³ и численная подстановка использует $8{,}92\cdot10^3$ кг/м³. Формула (15) печатает $\rho/(ne^2)$ рядом с предыдущими выражениями тока. Гармоническое решение (26) не содержит переходного слагаемого для заданной в условии нулевой начальной скорости; оно не добавлено в архивный ключ. В усреднении мощности переставлены коэффициенты косинуса и синуса относительно (26). В (30) есть дополнительное равенство $=I$ ; (32)–(33) содержат обозначение силы одного электрона и различающиеся множители $S$ . Повторные номера (10), (28), (29), ссылка на (4) вместо формулы силы (5) и все напечатанные результаты сохранены.

Повторный номер в задаче «Опыты Георга Ома»

На странице 9 оригинала два последовательных, различных вопроса в одной части имеют номер 3.6. Первый номер 3.6 сохранен; второй показан как «3.6 (повтор)» для различения. Обе формулировки, исходный порядок и общее число вопросов сохранены без перенумерации. Сезонный вопрос о зиме и лете не имеет ответа в полном архивном ключе.

Оригинальное указание к разминке 9-1

9 класс. Условия задач.

Задание состоит из трех не связанных между собой задач!

Оригинальное указание к разминке 10-1

10 класс.

Задание состоит из трех не связанных между собой задач.

Оригинал в Архива: 2018_theoretical_problems.pdf · решение от архива: 2018_theoretical_solutions.pdf