Съдържание

Условие Часть 1. Угломерные шкалы.Часть 2. Исправные часы.Часть 3. Испорченные маятниковые часы.Решение

BelPhO 2019, Областен етап, 9–11 клас — Задача 9-2. · Часы.

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2019

Республиканская физическая олимпиада 2019 года — III этап, теоретический тур, 9–11 классы

Оригинальный заголовок

Республиканская физическая олимпиада 2019 года (III этап). Теоретический тур. =2019=

Условие

9 класс. Задача 9-2.

В данной задаче вам предстоит дать кинематическое описание движения стрелок часов и рассмотреть несколько эффектов, связанных с их движением. Будем рассматривать традиционные механические часы, в которых полный оборот разделен на 12 равных частей — часов.

Часть 1. Угломерные шкалы.

Стрелки часов бегают по кругу! Для описания их движения необходимо ввести единицы измерения углов. Вам знакома градусная шкала: один полный оборот равен $360^\circ$ . Но углы можно измерять и в единицах времени! Действительно, циферблат часов проградуирован в часах. Поэтому имеет смысл ввести единицу измерения угла — 1 угловой час (эту единицу обозначим $^\circ час$ ). За 1 временной час часовая стрелка поворачивается на 1 угловой час, поэтому угловая скорость движения часовой стрелки равна $\omega_h=1\,\frac{^\circ час}{час}$ .

Аналогично введем единицу измерения — угловая минута¹ ( $^\circ мин$ ) — угол, на который поворачивается минутная стрелка за 1 временную минуту.

1.1 Чему равны угловой час $^\circ час$ и угловая минута $^\circ мин$ в обычных угловых градусах?

1.2 Выразите «угловую минуту» $^\circ мин$ через угловой час $^\circ час$ .

1.3 Чему равна угловая скорость минутной стрелки $\omega_m$ в единицах $\frac{^\circ час}{час}$ ?

1.4 Чему равна скорость часовой стрелки $\omega_h$ в единицах $\frac{^\circ мин}{мин}$ ?

¹ Не путать с традиционной угловой минутой равной одной шестидесятой углового градуса $1'=\frac{1^\circ}{60}$ .

Часть 2. Исправные часы.

Углы поворота стрелок обозначим: часовой — $\varphi_h$ , минутной — $\varphi_m$ . Отметим, что эти углы определяются по циферблату часов, т.е. после полного оборота значения углов «обнуляются». Текущее время будем обозначать традиционно — $t$ . В данной части задачи углы следует измерять в часах $^\circ час$ . При записи законов движения, оцифровке осей используйте точные численные значения угловых скоростей стрелок.

2.1 Запишите законы движения часовой и минутной стрелок — зависимости их углов поворота от времени $\varphi_h(t)$ и $\varphi_m(t)$ .

2.2 Постройте графики законов движения $\varphi_h(t)$ и $\varphi_m(t)$ за один оборот часовой стрелки.

2.3 Рассчитайте моменты времени (выразите их в часах и минутах; с точностью до минуты), когда минутная и часовая стрелки совпадают.

Часть 3. Испорченные маятниковые часы.

За один период колебаний стрелки поворачиваются строго на один и тот же угол. В результате измерения температуры длина маятника увеличилась, в результате чего период его колебаний увеличился на $\eta=1{,}00\%$ .

3.1 Эти часы будут отставать или спешить? Ответ обоснуйте.

3.2 Какова будет ошибка показаний часов за сутки (в секундах). Определим ошибку как $\delta t=t-\hat t$ , где $t$ — истинное время, $\hat t$ — показания часов.

3.3 Пусть в момент времени $t=0$ часы показывают точное время. Через какой промежуток времени они опять покажут точное время?

Решение

9 класс. Часы.

Часть 1. Угломерные шкалы.

1.1 Угол одного оборота равен $360^\circ$ , а также $12\,{}^\circ час$ и $60\,{}^\circ мин$ . Поэтому

1\,{}^\circ час=\frac{360^\circ}{12}=30^\circ\qquad (1)

1\,{}^\circ мин=\frac{360^\circ}{60}=6^\circ\qquad (2)

1.2 Приравнивая угол одного оборота в обеих единицах, получим

60\,{}^\circ мин=12\,{}^\circ час\quad\Rightarrow\quad1\,{}^\circ мин=\frac{12}{60}\,{}^\circ час=\frac15\,{}^\circ час\qquad (3)

1.3 За 1 час минутная стрелка поворачивается на полный оборот, т.е. на $12\,{}^\circ час$ , поэтому

\omega_m=12\,\frac{^\circ час}{час}\qquad (4)

1.4 За 1 час (60 минут) часовая стрелка поворачивается на $1\,{}^\circ час$ или, как следует из соотношения (3) на $5\,{}^\circ мин$ , поэтому

\omega_h=\frac{5\,{}^\circ мин}{60мин}=\frac1{12}\,\frac{^\circ мин}{мин}\qquad (5)

Часть 2. Исправные часы.

2.1 Так как стрелки движутся равномерно, то углы их поворота (без «обнуления») описываются традиционными формулами, описывающими равномерное движение:

\begin{aligned}\tilde\varphi_h&=\omega_ht\\\tilde\varphi_m&=\omega_mt\end{aligned}\qquad (6)

Чтобы исключить полные обороты (провести «обнуление») удобно использовать функцию $y=\{x\}$ — дробная часть числа. С помощью этой функции можно провести «обнуление» любого угла (измеренного в $^\circ час$ ):

\varphi=12\left\{\frac{\tilde\varphi}{12}\right\}.\qquad (7)

Тогда, с учетом численных значений угловых скоростей стрелок, можно записать

\begin{aligned}\varphi_h&=12\left\{\frac t{12}\right\}\\\varphi_m&=12\{t\}\end{aligned}\qquad (8)

2.2 Графики законов движения $\varphi_h(t)$ и $\varphi_m(t)$ за один оборот часовой стрелки (т.е. за 12 часов) показаны на рисунке

Исходный график «Законы движения стрелок» за 12 часов: оба хода, обнуления, оси/единицы и сетка.

2.3 В заданном диапазоне времени, закон движения часовой стрелки записывается просто

\varphi_h=t\qquad (8)

Для описания движения минутной стрелки удобней записать ее закон движения в течение каждого часа (начиная от часа $n$ ), который изображается наклонной прямой

\varphi_m=12(t-n)\qquad t\in[n,n+1]\qquad (9)

Для определения моментов времени, когда стрелки часов совпадают, необходимо решить уравнение

\varphi_m=\varphi_h\quad\Rightarrow\quad12(t-n)=t\quad\Rightarrow\quad t_n=\frac{12}{11}n\qquad (10)

Эти времена можно представить в виде $t_n=\frac{12}{11}n=n+\frac n{11}$ . В этой записи: $n$ — время встречи (часы), а величину $\frac n{11}$ следует перевести в минуты. Эта добавка времени в минутах будет равна $\Delta t=\frac n{11}\cdot60$ . Расчеты времени приведены в таблице.

Исходная таблица времени встреч стрелок: n=0…11, часы/минуты, все напечатанные значения.

Часть 3. Испорченные маятниковые часы.

3.1 Часы будут отставать, так как на некоторый угол (определяющий показания часов) они повернутся за большее время.

3.2 Показания часов пропорциональны числу периодов колебаний. Пусть период колебаний исправных часов равен $T_0$ , тогда за время $t$ показания часов будут

\hat t_0=A\frac t{T_0}=t,\qquad (11)

где $A$ — некоторый коэффициент пропорциональности, зависящий от устройства часов. Для исправных часов показания часов равны истинному времени.

За тот же промежуток истинного времени испорченные часы покажут

\hat t=A\frac tT=A\frac t{T_0(1+\eta)}=\frac t{1+\eta}\qquad (12)

Тогда ошибка в показаниях часов будет равна

\delta t=t-\hat t=t-\frac t{1+\eta}=\frac\eta{1+\eta}t\qquad (13)

Подставим численные значения и вычислим

\delta t=\frac\eta{1+\eta}t=\frac{0{,}0100}{1+0{,}0100}24\cdot3600=855с\approx14мин.\qquad (14)

3.3 Часы покажут точное время, когда набежит ошибка в 12 часов.

Из формулы (13) находим

\delta t=\frac\eta{1+\eta}t\quad\Rightarrow\quad t=\frac{1+\eta}\eta\delta t=\frac{1{,}0100}{0{,}0100}12=1212час\approx50дней.\qquad (15)

Примечание к оригиналу

Сохранены все девять отдельно напечатанных задач 9, 10 и 11 классов со всеми частями, подсказками, полными официальными решениями и обоими дополнениями для скептиков. Численные баллы и авторы в доступном оригинале не напечатаны. Пустая страница 3 ключа не содержит недостающего решения. В исходном ключе есть печатные несогласованности: расчет изменения массы льда дает 0,064, а текст говорит 4,6%; горизонтальная скорость обозначена v₂y. Для магдебургских полушарий напечатаны9,9·10⁴Н и1,2·10⁴Н при подстановке диаметра0,355м. В газовой пружине последовательно стоят h−x и1+x/h; в ледяном двигателе промежуточный знаменатель T₁ сопровождается числом273. В ключе шарика на нити сохранены исходные плюсы,7−2cosφ и√(g/l) в формуле времени. В ключе колебаний сохранены индекс z₂₁, исходные тригонометрические функции граничного условия и серия частот. В задаче климата исходный ключ ссылается на(36)/(37), печатает cosωt⁴ в(29) и сохраняет остальные исходные коэффициенты. Эти формулы, числа и слова переданы буквально, без скрытого научного исправления.

Оригинал в Архива: 3_etap_2019_theoretical_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2019_theoretical_solutions.pdf