Съдържание

Условие Часть 1. Газовая пружина Часть 2. Ледяной двигатель.Решение

BelPhO 2019, Областен етап, 9–11 клас — Задача 10-1. · Разминка.

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2019

Республиканская физическая олимпиада 2019 года — III этап, теоретический тур, 9–11 классы

Оригинальный заголовок

Республиканская физическая олимпиада 2019 года (III этап). Теоретический тур. =2019=

Условие

10 класс. Задание 10-1.

Часть 1. Газовая пружина

1.1 В вертикальном цилиндрическом сосуде под подвижным поршнем находится газ. Площадь поперечного сечения сосуда равна $S$ . Поршень находится в равновесии на высоте $h$ , давление газа при этом равно $P_0$ . При смещении поршня на расстояние $x$ на него со стороны воздуха действует возвращающая сила, которая при малых смещениях может быть описана формулой $F=-kx$ . Чему равно численное значение «коэффициента упругости» $k$ ? Все процессы считать изотермическими.

1.2 Какой параметр газа может выступать в роли его модуля Юнга?

Часть 2. Ледяной двигатель.

Какую максимальную работу может совершить тепловая машина, использующая в качестве нагревателя 1,0 кг водяного пара, находящегося при температуре $100^\circ C$ , а в качестве холодильника 1,0 кг льда при температуре $0{,}0^\circ C$ ? Двигатель работает, пока не сконденсируется весь пар, или не растает весь лед.

Удельная теплота плавления льда $\lambda=330\,\frac{кДж}{кг}$ , удельная теплота испарения воды $L=2{,}2\,\frac{МДж}{кг}$ . Ответ выразите в киловатт-часах $квт\cdot час$ .

Решение

10 класс. Разминка.

Часть 1. Газовая пружина.

1.1 При уменьшении объема газа возрастает его давление, что и приводит к появлению возвращающей силы, которую можно представить в виде

F=\Delta PS\qquad (1)

Так как все процессы происходят при постоянной температуре, то для газа под поршнем справедливо уравнение (закон Бойля)

P_0h=(P_0+\Delta P)(h-x)\qquad (2)

Из этого уравнения следует, что относительное изменение давления связано с относительным изменением объема простым соотношением

\left(1+\frac{\Delta P}{P_0}\right)\left(1+\frac xh\right)=1\qquad (3)

Исходный цилиндр с поршнем, x, h и вектором возвращающей силы F.

Так как эти изменения малы, то после раскрытия скобок можно пренебречь произведением относительных изменений, тогда из уравнения (3) следует, что

\frac{\Delta P}{P_0}=-\frac xh.\qquad (4)

Теперь уравнение (1) можно записать в виде, формально совпадающим с законом Гука:

F=\Delta PS=-\frac{P_0S}h x.\qquad (5)

Таким образом, коэффициент упругости газа равен

k=\frac{P_0S}h.\qquad (6)

1.2 Перепишем еще раз выражение (5):

\frac FS=-P_0\frac xh\qquad (7)

И сравним его с законом Гука для деформации сжатии твердых тел

\sigma=E\varepsilon,\qquad (8)

Где $\sigma$ — механическое напряжение, $\varepsilon$ — относительная деформация, $E$ — модуль Юнга твердого вещества.

Опять наблюдается полная аналогия, которая позволяет утверждать, что модулем Юнга для газа при изотермическом процессе является его давление!

Часть 2. Ледяной двигатель.

Максимальная работа при заданных температурах нагревателя (которым в данном случае является водяной пар при температуре $T_1=373К$ ) и холодильника (в роли которого может выступать лед при температуре $T_2=273К$ ) совершается идеальной машиной, работающей по циклу Карно. Для цикла Карно справедливо соотношение

\frac{Q_1}{T_1}=\frac{Q_2}{T_2}.\qquad (1)

Где $Q_1$ — теплота, полученная от нагревателя, $Q_2$ — теплота, отданная холодильнику. Рассчитаем численные значения этих величин (так называемых приведенных теплот)

\begin{aligned}\frac{Q_1}{T_1}&=\frac{Lm}{T_1}=\frac{2{,}2\cdot10^6}{373}=5{,}9\cdot10^3\,\frac{Дж}{К}\\\frac{Q_2}{T_2}&=\frac{\lambda m}{T_1}=\frac{0{,}33\cdot10^6}{273}=1{,}2\cdot10^3\,\frac{Дж}{К}\end{aligned}\qquad (2)

Расчет показывает, что сначала расплавится весь лед (машине «не хватает» холода!), поэтому ответ следует выражать через теплоту $Q_2$ .

Работа, совершенная двигателем, может быть выражена через КПД

A=\eta Q_1=\frac{\Delta T}{T_1}Q_1=\Delta T\frac{Q_2}{T_2},\qquad (3)

Где $\Delta T=100К$ — разность температур нагревателя и холодильника.

Подстановка численных значений дает требуемый результат

A=\eta Q_1=\frac{\Delta T}{T_1}Q_1=\Delta T\frac{Q_2}{T_2}=1{,}2\cdot10^5\,Дж\approx0{,}033кВт\cdot час.\qquad (4)

Примечание к оригиналу

Сохранены все девять отдельно напечатанных задач 9, 10 и 11 классов со всеми частями, подсказками, полными официальными решениями и обоими дополнениями для скептиков. Численные баллы и авторы в доступном оригинале не напечатаны. Пустая страница 3 ключа не содержит недостающего решения. В исходном ключе есть печатные несогласованности: расчет изменения массы льда дает 0,064, а текст говорит 4,6%; горизонтальная скорость обозначена v₂y. Для магдебургских полушарий напечатаны9,9·10⁴Н и1,2·10⁴Н при подстановке диаметра0,355м. В газовой пружине последовательно стоят h−x и1+x/h; в ледяном двигателе промежуточный знаменатель T₁ сопровождается числом273. В ключе шарика на нити сохранены исходные плюсы,7−2cosφ и√(g/l) в формуле времени. В ключе колебаний сохранены индекс z₂₁, исходные тригонометрические функции граничного условия и серия частот. В задаче климата исходный ключ ссылается на(36)/(37), печатает cosωt⁴ в(29) и сохраняет остальные исходные коэффициенты. Эти формулы, числа и слова переданы буквально, без скрытого научного исправления.

Оригинал в Архива: 3_etap_2019_theoretical_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2019_theoretical_solutions.pdf