Съдържание

Условие Часть 1.Часть 2. Одномерная цепочка.Решение

BelPhO 2019, Областен етап, 9–11 клас — Задача 10-3. · Давление на глубине.

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2019

Республиканская физическая олимпиада 2019 года — III этап, теоретический тур, 9–11 классы

Оригинальный заголовок

Республиканская физическая олимпиада 2019 года (III этап). Теоретический тур. =2019=

Условие

10 класс. Задание 10-3.

Часть 1.

1.1 Запишите формулу, описывающую зависимость давления воды в океане от глубины погружения $P(h)$ . Плотность жидкости $\rho$ , глубина погружения значительно меньше радиуса Земли, ускорение свободного падения $g$ . Атмосферным давлением пренебречь.

Часть 2. Одномерная цепочка.

В данной части рассматривается длинная одномерная цепочка одинаковых соприкасающихся шариков, массы которых равны $m$ , диаметр — $D$ . Между шариками действуют силы гравитационного притяжения и силы упругости. Цепочка шариков находится в равновесии. Внешние силы отсутствуют. Нумерация шариков начинается с нуля.

Исходная одномерная цепочка шариков, номера k=0, 1, 2, ….

При решении задачи вам может понадобиться следующая математическая формула для бесконечной суммы

\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}

2.1 Чему равна сила взаимодействия двух соприкасающихся шариков? Обозначим модуль этой силы $f_0$ . Далее будем рассчитывать все силы, нормируя их на значение $f_0$ .

Исходная схема силы f₀ для двух соприкасающихся шариков.

2.2 Чему равна сила $f_k$ взаимодействия крайнего шарика с шариком номер $k$ ?

Рассчитайте численные значения отношений $\frac{f_k}{f_0}$ для $k=1,2,3\ldots10$ . К какому значению стремится это отношение при $k\to\infty$ ?

Результаты расчетов запишите в таблицу 1.

Исходная схема силы fₖ между крайним шариком 0 и шариком k.

2.3 Чему равна сила $F_k$ гравитационного взаимодействия крайнего шарика с цепочкой, состоящей из $k$ шариков?

Рассчитайте численные значения отношений $\frac{F_k}{f_0}$ для $k=1,2,3\ldots10$ . К какому значению стремится это отношение при $k\to\infty$ ?

Результаты расчетов запишите в таблицу 1.

Исходная схема силы Fₖ между крайним шариком 0 и цепочкой до k.

2.4 Теперь рассмотрим бесконечную (в одну сторону) цепочку. Чему равна сила упругости $P_k$ , действующая на шарик номер $k$ со стороны предыдущего шарика?

Рассчитайте численные значения отношений $\frac{P_k}{f_0}$ для $k=1,2,3\ldots10$ .

Результаты расчетов запишите в таблицу 1.

Исходная схема силы упругости Pₖ в бесконечной цепочке.

2.5 Как зависит отношение $\frac{P_k}{f_0}$ от $k$ при $k\to\infty$ ?

Таблица 1.

Численные расчеты проведите с точностью до третьего знака после запятой ( $10^{-3}$ ).

При необходимости таблицу можете расширить.

Таблица 1: исходный незаполненный бланк, k=1,…,10,∞; строки fₖ/f₀, Fₖ/f₀, Pₖ/f₀.

Решение

10 класс. Давление на глубине.

Часть 1.

1.1 Давление описывается известной формулой

P=\rho gh\qquad (1)

Часть 2.

2.1 Сила взаимодействия определяется законом всемирного тяготения И. Ньютона

f_0=G\frac{m^2}{D^2}.\qquad (2)

2.2 Сила взаимодействия между нулевым и $k$ -тым шариками равна

f_k=G\frac{m^2}{(kD)^2}=\frac1{k^2}f_0.\qquad (3)

При $k\to\infty$ сила взаимодействия стремится к нулю $f_\infty=0$ .

2.3 Так как для гравитационных сил справедлив принцип суперпозиции. То сила, действующая на крайний шарик, равна сумме сил, действующих со стороны всех шариков

F_k=\sum_{i=1}^k f_i=f_0\sum_{i=1}^k\frac1{i^2}\qquad (4)

Для численного расчета удобно провести последовательное суммирование по рекуррентной формуле

\frac{F_k}{f_0}=\frac{F_{k-1}}{f_0}+\frac{f_k}{f_0}.\qquad (5)

При $k\to\infty$ сила взаимодействия стремится к предельному значению

F_\infty=f_0\sum_{i=1}^\infty\frac1{i^2}=f_0\frac{\pi^2}6.\qquad (6)

2.4 Рассмотрим первых $k$ шариков. Так как они находятся в равновесии, то сила упругого взаимодействия между $k$ -тым и предыдущим шариком равна силе гравитационного взаимодействия первых $k$ шариков с полубесконечной цепочкой

Исходная схема первых k шариков и всех векторов T₁,T₂,T₃.

P_k=T_1+T_2+\ldots T_k,\qquad (7)

Здесь $T_i$ ( $i=1,2\ldots k$ ) сила притяжения шарика номер $i$ с полубесконечной цепочкой.

Нумерацию по $i$ удобно вести в обратном направлении.

Исходная схема взаимодействия i-го шарика с полубесконечной цепочкой, обратные номера3,2,1 и скобка k.

Очевидно, что

\begin{aligned}T_1&=F_\infty\\T_2&=F_\infty-F_1\\T_3&=F_\infty-F_2\\&\ldots\\T_i&=F_\infty-F_{i-1}\end{aligned}\qquad (8)

Результаты расчетов приведены в Таблице 1, в которой добавлена строка для расчета сил $T_k$ .

2.4 Запишем в явном виде выражение для силы $P_k$ при больших $k$ , используя непосредственно закон всемирного тяготения

\begin{aligned}\frac{P_k}{f_0}&=\frac1{1^2}+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\frac1{4^2}+\ldots\\&\quad+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\frac1{4^2}+\ldots\\&\qquad+\frac1{3^2}+\frac1{4^2}+\ldots\\&\ldots\end{aligned}\qquad (9)

Из этой записи следует, при очень больших $k$ данное отношение ведет себя так же, как гармонический ряд, т.е.

\frac{P_k}{f_0}=\frac11+\frac12+\frac13+\frac14+\ldots=\sum_{i=1}^k\frac1i.\qquad (10)

Известно, что сумма такого ряда стремится к бесконечности, причем так же, как $\ln k$ , иными словами

P_k\approx f_0\ln k.\qquad (11)

Таблица 1. Результаты расчетов.

Таблица 1. Исходная строка заголовков результатов: k=1,…,10,∞.

Таблица 1, продолжение: исходные все4строки fₖ/f₀,Fₖ/f₀,Tₖ/f₀,Pₖ/f₀, все11столбцов чисел и пределов.

Примечание к оригиналу

Сохранены все девять отдельно напечатанных задач 9, 10 и 11 классов со всеми частями, подсказками, полными официальными решениями и обоими дополнениями для скептиков. Численные баллы и авторы в доступном оригинале не напечатаны. Пустая страница 3 ключа не содержит недостающего решения. В исходном ключе есть печатные несогласованности: расчет изменения массы льда дает 0,064, а текст говорит 4,6%; горизонтальная скорость обозначена v₂y. Для магдебургских полушарий напечатаны9,9·10⁴Н и1,2·10⁴Н при подстановке диаметра0,355м. В газовой пружине последовательно стоят h−x и1+x/h; в ледяном двигателе промежуточный знаменатель T₁ сопровождается числом273. В ключе шарика на нити сохранены исходные плюсы,7−2cosφ и√(g/l) в формуле времени. В ключе колебаний сохранены индекс z₂₁, исходные тригонометрические функции граничного условия и серия частот. В задаче климата исходный ключ ссылается на(36)/(37), печатает cosωt⁴ в(29) и сохраняет остальные исходные коэффициенты. Эти формулы, числа и слова переданы буквально, без скрытого научного исправления.

Оригинал в Архива: 3_etap_2019_theoretical_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2019_theoretical_solutions.pdf