Съдържание

Условие Часть 1. Один движущийся шарик.Часть 2. Два движущихся шарика.Часть 3. Длинная цепочка.Гуманитарная помощь!Решение

BelPhO 2019, Областен етап, 9–11 клас — Задача 11-2. · Собственные колебания.

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2019

Республиканская физическая олимпиада 2019 года — III этап, теоретический тур, 9–11 классы

Оригинальный заголовок

Республиканская физическая олимпиада 2019 года (III этап). Теоретический тур. =2019=

Условие

11 класс. Задача 11-2.

В задаче рассматриваются собственные колебания симметричной цепочки, состоящей из $(2N+1)$ одинаковых шариков, соединенных одинаковыми пружинами. Масса каждого шарика $m$ , жесткость каждой пружины $\gamma$ , масса пружин пренебрежимо мала. Внешние силы на цепочку не действуют.

Исходная симметричная цепочка 2N+1 шариков, номера от −N до N.

Мы будем рассматривать только симметричные продольные колебания. Поэтому достаточно описать движение половины цепочки, полагая при этом, что центральный шарик неподвижен. Для описания движения будем использовать функции $x_k(t)$ — зависимость смещения $k$ -того шарика от его положения равновесия.

Собственным колебанием называется такое колебание, при котором все шарики колеблются по гармоническому закону с одной частотой, в одной фазе, но с разными амплитудами. Частоты таких колебаний называются собственными частотами.

Часть 1. Один движущийся шарик.

1.1 Найдите собственную круговую частоту $\omega_0$ колебаний цепочки, в которой движется только один шарик.

Исходная схема одного движущегося шарика, пружина γ и масса m.

Часть 2. Два движущихся шарика.

Рассмотрим цепочку, в которой движутся два шарика.

2.1 Запишите уравнения, описывающие движения шариков. В качестве единственного параметра этих уравнений используйте частоту $\omega_0$ , найденную в первой части задачи.

Исходная схема двух движущихся шариков, x₁(t) и x₂(t).

2.2 Определите собственные частоты колебаний шариков $\omega_1$ и $\omega_2$ . Найдите при каком отношении амплитуд колебаний каждого шарика их колебания будут проходить с одной частотой.

Часть 3. Длинная цепочка.

Рассмотрим собственные колебания цепочки, состоящей из $N$ движущихся шариков.

Исходная половина длинной цепочки: неподвижный 0 и движущиеся 1,…,N.

3.1 Запишите в общем виде уравнения, описывающие движение шарика номер $k$ . Укажите какие дополнительные условия следует наложить на крайние шарики $k=0$ и $k=N$ .

3.2 Определите все собственные частоты $\omega_j$ продольных колебаний данной цепочки. Сколько собственных частот имеет цепочка?

Гуманитарная помощь!

Для решения поставленной задачи следует выполнить следующую последовательность действий:

3.2.1 Представьте решение системы уравнений движения в виде $x_k=A_k\cos\omega t$ и получите систему уравнений для амплитуд колебаний шариков $A_k$ .

3.2.2 Зависимость амплитуд колебаний от номера шарика может быть записана в виде $A_k=A\sin(k\varphi)$ . Приведите качественные обоснования для поиска решений в таком виде. Получите уравнение для определения $\varphi$ в зависимости от частоты колебаний $\omega$ .

3.2.3 Используя уравнение для последнего шарика $k=N$ определите возможные значения параметра $\varphi$ , при котором это уравнение выполняется.

3.2.4 Сравнивая результаты, полученные в п.3.2.2 и 3.2.3, получите формулу для собственных частот колебаний.

Решение

11 класс. Собственные колебания.

Часть 1. Один движущийся шарик.

Уравнение движения шарика имеет вид

ma=-\gamma x\qquad (1)

Где $x$ — смещение шарика от положения равновесия, $a$ — его ускорение.

Это уравнение является уравнением гармонических колебаний с частотой

\omega_0=\sqrt{\frac\gamma m}.\qquad (2)

Часть 2. Два движущихся шарика.

2.1 Уравнения движения шариков следуют из второго закона Ньютона и закона Гука

\begin{aligned}ma_1&=-\gamma x_1+\gamma(x_2-x_1)\\ma_2&=-\gamma(x_2-x_1)\end{aligned}\qquad (3)

Или

\begin{aligned}a_1&=-2\omega_0^2x_1+\omega_0^2x_2\\a_2&=\omega_0^2x_1-\omega_0^2x_2\end{aligned}.\qquad (4)

Чтобы найти частоты собственных колебаний представим решение уравнений (4) в виде

\begin{aligned}x_1&=A_1\cos\omega t\\x_2&=A_2\cos\omega t\end{aligned}.\qquad (5)

Где $A_1,A_2$ — амплитуды колебаний первого и второго шариков. Подстановка функций (5) в уравнения (4) дает уравнения для амплитуд

\begin{aligned}-\omega^2A_1&=-2\omega_0^2A_1+\omega_0^2A_2\\-\omega^2A_2&=\omega_0^2A_1-\omega_0^2A_2\end{aligned}\qquad (6)

Выразим из обоих уравнений (6) отношение амплитуд

\frac{A_1}{A_2}=\frac{\omega_0^2}{2\omega_0^2-\omega^2},\qquad\frac{A_1}{A_2}=\frac{\omega_0^2-\omega^2}{\omega_0^2}.\qquad (7)

Чтобы система уравнений (6) была совместна необходимо, чтобы найденные отношения (7) были равны, что дает уравнение для определения собственных частот колебаний

\frac{\omega_0^2}{2\omega_0^2-\omega^2}=\frac{\omega_0^2-\omega^2}{\omega_0^2}\quad\Rightarrow\quad\frac1{2-z}=1-z.\qquad (8)

Здесь обозначено $z=\frac{\omega^2}{\omega_0^2}$ . Решая это уравнение, получим

\begin{aligned}(2-z)(1-z)&=1\quad\Rightarrow\quad z^2-3z+1=0\quad\Rightarrow\\z_{1,2}&=\frac{3\pm\sqrt{9-4}}2\quad\Rightarrow\quad z_1=\frac{3+\sqrt5}2,\quad z_{21}=\frac{3-\sqrt5}2.\end{aligned}\qquad (9)

Таким образом, собственные частоты собственных колебаний данной системы равны

\omega_1=\omega_0\sqrt{\frac{3+\sqrt5}2},\qquad\omega_2=\omega_0\sqrt{\frac{3-\sqrt5}2}.\qquad (10)

Отношения амплитуд колебаний шариков при этих колебаниях будут соответственно равны

\frac{A_1}{A_2}=\frac{\omega_0^2-\omega^2}{\omega_0^2}=1-z;\quad\Rightarrow\quad\left(\frac{A_1}{A_2}\right)_1=-\frac{1+\sqrt5}2;\quad\left(\frac{A_1}{A_2}\right)_2=\frac{\sqrt5-1}2.\qquad (11)

Часть 3. Длинная цепочка.

3.1 Уравнение движения произвольного шарика имеет вид

ma_k=\gamma(x_{k+1}-x_k)-\gamma(x_k-x_{k-1}).\qquad (12)

Или

a_k=\omega_0^2(x_{k+1}-2x_k+x_{k-1}).\qquad (13)

Для $k=0$ следует положить $x_0=0$ . Для крайнего шарика можно отбросить первое слагаемое в уравнении (12). Но проще и красивее распространить уравнение (13) на фиктивный $(N+1)$ шарик, причем считать, что $x_{N+1}=x_N$ .

3.2 Последуем по пути, подсказанному «гуманитарной помощью».

Подставим пробное решение $x_k=A_k\cos\omega t$ в уравнение (13). После сокращения получим уравнение для амплитуд

-\omega^2A_k=\omega_0^2(A_{k+1}-2A_k+A_{k-1}),\qquad (14)

Которое перепишем в симметричном виде

A_{k+1}-\left(2-\frac{\omega^2}{\omega_0^2}\right)A_k+A_{k-1}=0.\qquad (15)

Теперь подставим пробное решение для этого уравнения $A_k=A\sin(k\varphi)$ .

Обоснование такого предсказания заключается в том, что фактически свободные колебания являются стоячими волнами на цепочке. Кроме того, синус выбран, чтобы удовлетворить условию $x_0=0$ .

Указанная подстановка дает:

\sin((k+1)\varphi)+\sin((k-1)\varphi)=\left(2-\frac{\omega^2}{\omega_0^2}\right)\sin(k\varphi).\qquad (16)

Используя известную тригонометрическую формулу для суммы синусов, получим

2\sin\frac{(k+1)\varphi+(k-1)\varphi}2\cos\frac{(k+1)\varphi-(k-1)\varphi}2=\left(2-\frac{\omega^2}{\omega_0^2}\right)\sin(k\varphi)

2\sin(k\varphi)\cos\varphi=\left(2-\frac{\omega^2}{\omega_0^2}\right)\sin(k\varphi).\qquad (17)

\cos\varphi=1-\frac{\omega^2}{2\omega_0^2}

Теперь подставим пробное решение во второе граничное условие $x_{N+1}=x_N$ и преобразуем его

\sin((N+1)\varphi)=\sin(N\varphi)\quad\Rightarrow\quad\sin((N+1)\varphi)-\sin(N\varphi)=0\quad\Rightarrow

2\sin\left(\left(N+\frac12\right)\varphi\right)\cos\frac\varphi2=0\quad\Rightarrow\qquad (18)

Так $\cos\frac\varphi2$ отличен от нуля (иначе цепочка не колеблется!), то

\sin\left(\left(N+\frac12\right)\varphi\right)=0\quad\Rightarrow\quad(2N+1)\varphi_j=2\pi j\quad(j=1,2,3\ldots)\qquad (19)

Итак, параметр $\varphi$ может принимать только дискретный ряд значений

\varphi_j=\frac{2\pi}{2N+1}j\qquad (20)

Наконец, с помощью формулы (17) находим частоты собственных колебаний

\cos\varphi=1-\frac{\omega^2}{2\omega_0^2}\quad\Rightarrow\quad\frac{\omega^2}{2\omega_0^2}=1-\cos\varphi=2\sin^2\frac\varphi2\quad\Rightarrow\quad\omega_j=2\omega_0\sin\frac{\varphi_j}2,

После подстановки выражения (20), получаем окончательную формулу для частот колебаний

\omega_j=2\omega_0\sin\frac{\varphi_j}2=2\omega_0\sin\left(\frac\pi{2N+1}j\right)\qquad (21)

В этой формуле $j$ изменяется в пределах от 1 до $N$ , т.к. дальнейшее увеличение этого параметра приведет к повторению частот. Поэтому число собственных частот равно числу подвижных шариков, т.е. $N$

Примечание к оригиналу

Сохранены все девять отдельно напечатанных задач 9, 10 и 11 классов со всеми частями, подсказками, полными официальными решениями и обоими дополнениями для скептиков. Численные баллы и авторы в доступном оригинале не напечатаны. Пустая страница 3 ключа не содержит недостающего решения. В исходном ключе есть печатные несогласованности: расчет изменения массы льда дает 0,064, а текст говорит 4,6%; горизонтальная скорость обозначена v₂y. Для магдебургских полушарий напечатаны9,9·10⁴Н и1,2·10⁴Н при подстановке диаметра0,355м. В газовой пружине последовательно стоят h−x и1+x/h; в ледяном двигателе промежуточный знаменатель T₁ сопровождается числом273. В ключе шарика на нити сохранены исходные плюсы,7−2cosφ и√(g/l) в формуле времени. В ключе колебаний сохранены индекс z₂₁, исходные тригонометрические функции граничного условия и серия частот. В задаче климата исходный ключ ссылается на(36)/(37), печатает cosωt⁴ в(29) и сохраняет остальные исходные коэффициенты. Эти формулы, числа и слова переданы буквально, без скрытого научного исправления.

Оригинал в Архива: 3_etap_2019_theoretical_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2019_theoretical_solutions.pdf