Съдържание

BelPhO 2019, Заключителен етап, 9,10,11 — Задача 11-1.2. 11 класс — 1.2. Разминка

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2019

Заключительный этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Полностью получены и прочитаны 60 оригинальных страниц: 24 страницы условий и 36 страниц соответствующего ключа заключительного этапа 2019 года. Девять напечатанных родительских заданий содержат 15 целых задач и 72 исходных запроса. Разминка 9 класса прямо названа четырьмя независимыми задачами, разминка 10 класса — тремя; их исходный общий контекст сохранен. Разминка 11 класса прямо названа двумя почти не связанными задачами; обе сохранены отдельно с общим исходным контекстом. Ссылка второго ключа на результат предыдущей задачи сохранена буквально. Все связанные задания сохранены целиком, с исходными частями и продолжениями ключей. Все напечатанные пустые бланки, графики, таблицы, схемы, альтернативные методы и дополнения для скептиков получены. Баллы, время и отдельная схема оценивания отсутствуют в полученных оригиналах. Экспериментальные оригиналы относятся к отдельно опубликованному туру.

В исходном ключе полосы сохранены t<v₀/(µg) в обеих ветвях (10), отсутствие +d во второй ветви (13) и tan α=v₀/u в (16). В ключе напряжений повторяется x=0 для обоих граничных потенциалов и номер (2), сопротивление напечатано с множителем S; расход (11) q=S₁v₁=2S₀v₁√[(2/3)(P₀−P₁)/ρ] противоречит указанным площадям и размерности. В ключе короткого толчка сохранены τ² в (9), повтор 1.2 и (20), ссылка на (10) как на уравнение колебаний, U вместо U₀. Вопрос 2.7 просит максимальное смещение в процессе движения, но ключ отвечает смещением к концу действия поля; недостающий ответ не дописан. В ключе насоса сохранено название третьего этапа для изменения давления, хотя диаграмма показывает участок 2–3.

В ключе ФЭУ сохранены слова «меньше длительности импульса», обратная η в интервале фотонов и интенсивность, пропорциональная η, несмотря на исходное описание квантового выхода и неперекрывающихся импульсов. Сохранена ссылка на условие (24), d вместо D и отличающаяся нумерация ответов 2.3/2.4/2.5. У отдельного неравенства на K30 знаменатель действительно пустой; он оставлен пустым и показан оригинальным изображением. Следующая формула (26) явно печатает τ/2. В условии звука 2.3 сохранено z=f(z); в ключе — повтор (12)/(35), 0,49·10⁻³ м в (27), отсутствие c в квадратичных коэффициентах (36)/(37) и последний номер 3.5 вместо 3.4. Это исходные научные и редакционные разночтения, а не предложенные исправления.

Оригинальная обложка

Республиканская физическая олимпиада 2019. Заключительный этап. Теоретический тур. Витебск 2019.

Условие

«Разминка» состоит из двух почти не связанным между собой задач.

Задача 1.2

В учебнике физики (В.В. Жилко, Л.Г. Маркович: Физика учебное пособие для 11 классов…) приведена формула для энергий стационарных состояний атома водорода

E_n=-\frac{2\pi^2k^2m_e e^4}{h^2}\cdot\frac1{n^2}.\qquad (1)

Далее на основании этой формулы рассчитывается спектр излучения атома водорода. Из приведенной формулы следует, что спектр излучения водорода и его тяжелого изотопа дейтерия должны совпадать. Однако тщательно проведенные измерения показали, что длины волн излучения водорода и его изотопа дейтерия незначительно, но все же отличаются.

Рассчитайте относительное изменение длины волны, соответствующей переходу из состояния $n=3$ в состояние $n=2$ (основная линия серии Бальмера), при замене обычного водорода на дейтерий:

\varepsilon=\frac{\lambda_D-\lambda_H}{\lambda_H}.\qquad (2)

где $\lambda_H,\lambda_D$ - длины волн указанной линии для обычного водорода и дейтерия соответственно.

Дейтерий – изотоп водорода, ядро которого состоит из одного протона и одного нейтрона. Считайте, что массы протона и нейтрона равны, а отношение массы электрона к массе протона равно $\beta=\frac{m_e}{m_p}\approx5{,}5\cdot10^{-4}$ .

Решение

Задача 1.2

Приведенная в учебнике формула получена в приближении, что электрон в атоме водорода вращается вокруг неподвижного ядра (как водорода, так и дейтерия). Однако взаимодействующие частицы движутся вокруг общего центра масс.

В предыдущей задаче было показано, что учет этого обстоятельства приводит к тому, что в формуле для энергии вместо массы легкой частицы (в этой задаче – электрона) следует подставлять значение приведенной массы. Именно учет этой поправки приводит к тому, что энергии уровней, а, следовательно, и спектры этих изотопов различаются.

Рассчитаем приведенные массы для водорода и дейтерия (учитывая малость отношения массы электрона к массе протона)

Для водорода:

\mu_H=\frac{m_pm_e}{m_p+m_e}=\frac{m_e}{1+m_e/m_p}\approx m_e\left(1-\frac{m_e}{m_p}\right)=m_e(1-\beta);\qquad (1)

для дейтерия

\mu_D=\frac{2m_pm_e}{2m_p+m_e}=\frac{m_e}{1+m_e/(2m_p)}\approx m_e\left(1-\frac{m_e}{2m_p}\right)=m_e\left(1-\frac\beta2\right).\qquad (2)

Не сложно получить формулу для длины волны перехода, однако для расчета относительного сдвига это не требуется. Достаточно заметить, что рассматриваемая длина волны обратно пропорциональна приведенной массе. Действительно, энергия излучаемого фотона равна разности энергий уровней (которая пропорциональна приведенной массе).

Следовательно, частота излучения также пропорциональна приведенной массе, поэтому длина волны обратно пропорциональна ей. Итак,

\lambda=\frac C\mu.\qquad (3)

Так как различие в приведенных массах мало, то и различие меду длинами волн также мало, поэтому можно записать приближенное выражение

\Delta\lambda=-\frac C{\mu^2}\Delta\mu.\qquad (4)

А для относительных величин

\frac{\Delta\lambda}{\lambda}=-\frac{\Delta\mu}{\mu}.\qquad (5)

Подставляя найденные значения приведенных масс, получим требуемый результат:

\varepsilon=\frac{\lambda_D-\lambda_H}{\lambda_H}=-\frac{\mu_D-\mu_H}{\mu_H}=-\frac{m_e(1-\beta/2)-m_e(1-\beta)}{m_e(1-\beta)}\approx-\frac\beta2=-2{,}7\cdot10^{-4}.\qquad (6)

То есть все длины волн в спектре дейтерия оказываются примерно на три сотых процента меньше длин волн в спектре обычного водорода: и этот изотопический сдвиг точно измерен!

Оригинал в Архива: 2019_theoretical_problems.pdf · официални решения: 2019_theoretical_solutions.pdf