Съдържание

BelPhO 2019, Заключителен етап, 9,10,11 — Задача 11-1.1. 11 класс — 1.1. Разминка

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2019

Заключительный этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Полностью получены и прочитаны 60 оригинальных страниц: 24 страницы условий и 36 страниц соответствующего ключа заключительного этапа 2019 года. Девять напечатанных родительских заданий содержат 15 целых задач и 72 исходных запроса. Разминка 9 класса прямо названа четырьмя независимыми задачами, разминка 10 класса — тремя; их исходный общий контекст сохранен. Разминка 11 класса прямо названа двумя почти не связанными задачами; обе сохранены отдельно с общим исходным контекстом. Ссылка второго ключа на результат предыдущей задачи сохранена буквально. Все связанные задания сохранены целиком, с исходными частями и продолжениями ключей. Все напечатанные пустые бланки, графики, таблицы, схемы, альтернативные методы и дополнения для скептиков получены. Баллы, время и отдельная схема оценивания отсутствуют в полученных оригиналах. Экспериментальные оригиналы относятся к отдельно опубликованному туру.

В исходном ключе полосы сохранены t<v₀/(µg) в обеих ветвях (10), отсутствие +d во второй ветви (13) и tan α=v₀/u в (16). В ключе напряжений повторяется x=0 для обоих граничных потенциалов и номер (2), сопротивление напечатано с множителем S; расход (11) q=S₁v₁=2S₀v₁√[(2/3)(P₀−P₁)/ρ] противоречит указанным площадям и размерности. В ключе короткого толчка сохранены τ² в (9), повтор 1.2 и (20), ссылка на (10) как на уравнение колебаний, U вместо U₀. Вопрос 2.7 просит максимальное смещение в процессе движения, но ключ отвечает смещением к концу действия поля; недостающий ответ не дописан. В ключе насоса сохранено название третьего этапа для изменения давления, хотя диаграмма показывает участок 2–3.

В ключе ФЭУ сохранены слова «меньше длительности импульса», обратная η в интервале фотонов и интенсивность, пропорциональная η, несмотря на исходное описание квантового выхода и неперекрывающихся импульсов. Сохранена ссылка на условие (24), d вместо D и отличающаяся нумерация ответов 2.3/2.4/2.5. У отдельного неравенства на K30 знаменатель действительно пустой; он оставлен пустым и показан оригинальным изображением. Следующая формула (26) явно печатает τ/2. В условии звука 2.3 сохранено z=f(z); в ключе — повтор (12)/(35), 0,49·10⁻³ м в (27), отсутствие c в квадратичных коэффициентах (36)/(37) и последний номер 3.5 вместо 3.4. Это исходные научные и редакционные разночтения, а не предложенные исправления.

Оригинальная обложка

Республиканская физическая олимпиада 2019. Заключительный этап. Теоретический тур. Витебск 2019.

Условие

«Разминка» состоит из двух почти не связанным между собой задач.

Задача 1.1.

Две заряженные частицы движутся по круговым траекториям с постоянной угловой скоростью $\omega$ , расстояние между частицами равно $r$ , массы частиц равны $m_1$ и $m_2$ . Частицы взаимодействуют только между собой, внешних сил нет. Найдите полную энергию данной системы. Чему будет равна эта энергия, если $m_2\gg m_1$ ?

Оригинальный рисунок: все исходные обозначения, линии, стрелки, шкалы, данные и подписи сохранены.

Решение

Задача 1.1.

Сила взаимодействия между частицами центральная, то есть зависит только от расстояния между частицами и направлена вдоль прямой, соединяющей центры этих частиц.

Вращение частиц происходит вокруг их центра масс, который остается неподвижным, так как внешние силы отсутствуют. Полная энергия системы является суммой кинетической энергии частиц и потенциальной энергии их взаимодействия.

Кинетическая энергия частиц описывается формулой

E_k=\frac{m_1V_1^2}{2}+\frac{m_2V_2^2}{2}=\frac{m_1r_1^2\omega^2}{2}+\frac{m_2r_2^2\omega^2}{2}.\qquad (1)

Где $r_1,r_2$ - радиусы орбит частиц, или расстояния от соответствующей частицы до центра масс.

В формуле (1) кинетическая энергия выражена через угловую скорость, так как она одинакова для обеих частиц, кроме того, она задана в условии задачи.

Фигурирующие в формуле (1) расстояния удовлетворяют уравнениям

r_1+r_2=r,\qquad m_1r_1=m_2r_2.\qquad (2)

Второе уравнение следует из определения центра масс двух частиц.

Из уравнений (2) следует, что

r_1=\frac{m_2}{m_1+m_2}r,\qquad r_2=\frac{m_1}{m_1+m_2}r.\qquad (3)

Подставляя эти выражения в формулу для кинетической энергии (1), получим

\begin{aligned}E_k&=\frac{m_1r_1^2\omega^2}{2}+\frac{m_2r_2^2\omega^2}{2}=\frac{\omega^2}{2}\left(m_1\left(\frac{m_2}{m_1+m_2}r\right)^2+m_2\left(\frac{m_1}{m_1+m_2}r\right)^2\right)\\&=\frac12\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}r^2\omega^2.\end{aligned}\qquad (4)

В данной задаче силами взаимодействия могут быть сила кулоновского электростатического взаимодействия и сила гравитационного взаимодействия (в условии не оговорено, что ею следует пренебречь). Для этих взаимодействий выполняется простое соотношение между модулем силы $F(r)$ и потенциальной энергией взаимодействия $U(r)$ :

U(r)=-rF(r).\qquad (5)

Знак минус в этой формуле возникает из-за того, что результирующая сила взаимодействия есть сила притяжения (иначе бы описанное движение было невозможно!).

Для расчета потенциальной энергии запишем уравнение второго закона Ньютона для одной из частиц

m_1r_1\omega^2=F(r),\qquad (6)

И умножим его на $r$ , в результате чего получим:

rF(r)=m_1r_1\omega^2r=m_1\left(\frac{m_2}{m_1+m_2}r\right)\omega^2r=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}r^2\omega^2.\qquad (7)

При выводе использована формула (3) для расстояния $r_1$ .

Из полученного выражения следует (с учетом формул (4) и (5)), что потенциальная энергия взаимодействия отрицательна и по модулю в два раза больше энергии кинетической:

U=-2E_k.\qquad (8)

Таким образом, полная энергия рассматриваемой системы оказывается равной:

E=U+E_k=-E_k=-\frac12\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}r^2\omega^2.\qquad (9)

Если масса одной из частиц значительно превышает массу второй ( $m_2\gg m_1$ ), то в формулу (9) можно записать в виде

E=-\frac12\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}r^2\omega^2\approx-\frac12m_1r^2\omega^2.\qquad (10)

В этом приближении можно считать, что более тяжелая частица покоится, а более легкая вращается вокруг нее.

Также отметим, что формула (9) обычно интерпретируется следующим образом: «задача двух тел», всегда может быть сведена к задаче движения одного тела с приведенной массой

\mu=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\qquad (11)

вокруг неподвижного центра.

Оригинал в Архива: 2019_theoretical_problems.pdf · официални решения: 2019_theoretical_solutions.pdf