Съдържание

Условие Часть 1. Накачка.Часть 2. Откачка.Решение

BelPhO 2019, Заключителен етап, 9,10,11 — Задача 10-3. 10 класс — 3. Насос

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2019

Заключительный этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Полностью получены и прочитаны 60 оригинальных страниц: 24 страницы условий и 36 страниц соответствующего ключа заключительного этапа 2019 года. Девять напечатанных родительских заданий содержат 15 целых задач и 72 исходных запроса. Разминка 9 класса прямо названа четырьмя независимыми задачами, разминка 10 класса — тремя; их исходный общий контекст сохранен. Разминка 11 класса прямо названа двумя почти не связанными задачами; обе сохранены отдельно с общим исходным контекстом. Ссылка второго ключа на результат предыдущей задачи сохранена буквально. Все связанные задания сохранены целиком, с исходными частями и продолжениями ключей. Все напечатанные пустые бланки, графики, таблицы, схемы, альтернативные методы и дополнения для скептиков получены. Баллы, время и отдельная схема оценивания отсутствуют в полученных оригиналах. Экспериментальные оригиналы относятся к отдельно опубликованному туру.

В исходном ключе полосы сохранены t<v₀/(µg) в обеих ветвях (10), отсутствие +d во второй ветви (13) и tan α=v₀/u в (16). В ключе напряжений повторяется x=0 для обоих граничных потенциалов и номер (2), сопротивление напечатано с множителем S; расход (11) q=S₁v₁=2S₀v₁√[(2/3)(P₀−P₁)/ρ] противоречит указанным площадям и размерности. В ключе короткого толчка сохранены τ² в (9), повтор 1.2 и (20), ссылка на (10) как на уравнение колебаний, U вместо U₀. Вопрос 2.7 просит максимальное смещение в процессе движения, но ключ отвечает смещением к концу действия поля; недостающий ответ не дописан. В ключе насоса сохранено название третьего этапа для изменения давления, хотя диаграмма показывает участок 2–3.

В ключе ФЭУ сохранены слова «меньше длительности импульса», обратная η в интервале фотонов и интенсивность, пропорциональная η, несмотря на исходное описание квантового выхода и неперекрывающихся импульсов. Сохранена ссылка на условие (24), d вместо D и отличающаяся нумерация ответов 2.3/2.4/2.5. У отдельного неравенства на K30 знаменатель действительно пустой; он оставлен пустым и показан оригинальным изображением. Следующая формула (26) явно печатает τ/2. В условии звука 2.3 сохранено z=f(z); в ключе — повтор (12)/(35), 0,49·10⁻³ м в (27), отсутствие c в квадратичных коэффициентах (36)/(37) и последний номер 3.5 вместо 3.4. Это исходные научные и редакционные разночтения, а не предложенные исправления.

Оригинальная обложка

Республиканская физическая олимпиада 2019. Заключительный этап. Теоретический тур. Витебск 2019.

Условие

Поршневой насос состоит из цилиндрического сосуда с подвижным поршнем, соединенным с электромотором (на рисунке не показан). К цилиндру подключены два клапана 1 и 2. Каждый клапан можно считать идеальным: он пропускает газ (без сопротивления) в одну сторону и полностью перекрывает поток при изменении его направления. Насос подключают к сосуду, объем которого равен $V$ . Электродвигатель заставляет поршень периодически перемещаться от начального положения (когда объем камеры равен $v_0$ ), до конечного положения (в котором объем камеры равен $v_1$ ) и обратно.

Оригинальный рисунок: все исходные обозначения, линии, стрелки, шкалы, данные и подписи сохранены.

Численные значения параметров установки следующие:

объем сосуда $V=20{,}00$ л;
полный объем камеры насоса $v_0=1{,}00$ л;
объем камеры при вдвинутом поршне («мертвое» пространство) $v_1=0{,}20$ л;
атмосферное давление $P_0=1{,}0\,\text{атм}=1{,}0\cdot10^5\,\text{Па}$ .

Насос работает медленно, поэтому все процессы следует считать изотермическими. Трением и вязкостью воздуха можно пренебречь.

Часть 1. Накачка.

Для накачивания воздуха в сосуд клапаны устанавливают так, чтобы клапан 1 открывается, когда газ входит в сосуд (естественно, когда давление в камере насоса незначительно превышает давление в сосуде) и закрывается, не давая газу выходить из сосуда. Клапан два соединяет камеру насоса с атмосферой, он не дает выходить воздуху из камеры насоса и открывается, когда давление в камере насоса становиться чуть ниже атмосферного давления.

Обозначим $P_k$ - давление в сосуде после $k$ циклов работы насоса.

1.1 После совершения $k$ циклов работы насоса давление в сосуде поднялось до значения $P_k$ . Постройте схематический график процессов в камере насоса на диаграмме $(P,v)$ , где $P,v$ - давление и объем газа в камере. Началом цикла считайте положение полностью выдвинутого поршня ( $v_0$ ) и давления в камере $P_0$ . Запишите уравнения всех процессов $P(V)$ , укажите начальные и конечные значения параметров газа на каждом участке цикла. Все результаты (в виде формул) занесите в таблицу 1.

Таблица 1. Цикл накачки.

1.2 Перед началом работы насоса давление в сосуде равно атмосферному давлению $P_0$ . На бланке 1 постройте графики двух первых циклов. Оцифровку оси давления проведите самостоятельно. В таблице укажите численные значения параметров в вершинах цикла.

1.3 Пусть давление в сосуде после $k$ циклов равно $P_k=2{,}0$ атм. На бланке 2 постройте график одного следующего цикла. Оцифровку оси давления проведите самостоятельно, она может отличаться от оцифровки предыдущего графика. В таблице укажите численные значения параметров в вершинах цикла.

1.4 Покажите, что давление в сосуде после $k$ циклов $P_k$ , может быть выражено через давление после $(k-1)$ цикла $P_{k-1}$ с помощью рекуррентной формулы

P_k=\gamma P_{k-1}+a.\qquad (1)

Где $\gamma,a$ - постоянные величины. Выразите значения параметров $\gamma,a$ через характеристики установки $v_0,v_1,V$ и атмосферное давление $P_0$ .

1.5 Найдите, до какого максимального давления $\overline P$ можно поднять давление в сосуде.

1.6 Обозначим $\delta_k=\overline P-P_k$ - отклонение давления в сосуде после $k$ циклов от максимально возможного. Выразите величину $\delta_k$ через $\delta_{k-1}$ и параметры $\gamma,a$ из формулы (1).

1.7 Получите формулу, описывающую в явном виде давление в сосуде $P_k$ в зависимости от числа совершенных циклов $k$ . Постройте схематический график этой зависимости.

1.8 Рассчитайте, сколько циклов должен совершить насос, чтобы давление в сосуде достигло значения $0{,}95\overline P$ .

Часть 2. Откачка.

Насос может, как накачивать воздух в сосуд, так и откачивать его из сосуда. Для этого только необходимо изменить направление пропускания клапанов (см. рис).

2.1 Пусть после $k$ циклов давление в сосуде опустилось до значения $P_k$ . Постройте схематический график цикла откачки воздуха из сосуда $(P,v)$ , где $P,v$ - давление и объем газа в камере. Началом цикла считайте положение полностью задвинутого поршня ( $v_1$ ) и давление в камере насоса $P_0$ . Запишите уравнения всех процессов $P(V)$ , укажите начальные и конечные значения параметров газа на каждом участке цикла. Все результаты (в виде формул) занесите в Таблицу 2, аналогичную Таблице 1.

2.2 Получите формулу, описывающую давление в сосуде $P_k$ в зависимости от числа совершенных циклов $k$ .

2.3 Рассчитайте, до какого значения понизится давление в сосуде после 50 циклов работы насоса.

2.4 До какого минимального значения можно понизить давление в сосуде?

Бланк к задаче 10-3 «Насос».

Полный оригинальный незаполненный бланк, все таблицы, оси, единицы и координатные сетки.

Решение

Часть 1. Накачивание воздуха.

1.1 В начальном состоянии положении (точка 1) поршень находится в крайнем правом положении, объем газа - $v_0$ , давление $P_0$ .

Поршень начинает двигаться влево, сжимая газ в камере. Пока давление газа в камере насоса не достигнет давления газа в сосуде, оба клапана будут закрыты, поэтому процесс сжатия будет описываться уравнением

P_0v_0=Pv\quad\Rightarrow\quad P=\frac{P_0v_0}{v}.\qquad (1)

Давление газа в камере достигнет значения давления в сосуде $P_k$ , года объем уменьшится до значения $v'$ (точка 2), которое определяется выражением

P_k=\frac{P_0v_0}{v'}\quad\Rightarrow\quad v'=\frac{P_0v_0}{P_k}.\qquad (2)

После этого откроется клапан 1 и газ начнет поступать в сосуд.

На этом участке происходит сжатие газа в объеме сосуда и камеры насоса, поэтому описывается уравнением

P_k(V+v')=P(V+v)\quad\Rightarrow\quad P=P_k\frac{V+v'}{V+v}.\qquad (3)

Такое сжатие будет продолжаться до тех пор, пока поршень не достигнет крайнего левого положения (точка 3), в котором объем газа в камере насоса равен $v_1$ , давление достигнет значения

P_{k+1}=P_k\frac{V+v'}{V+v_1}=P_k\frac{V}{V+v_1}+\frac{P_kv'}{V+v_1}=P_k\frac{V}{V+v_1}+\frac{P_0v_0}{V+v_1}.\qquad (4)

Это же давление будет и в сосуде, на остальных участках цикла оно изменяться не будет.

На следующем этапе поршень начинает обратное движение (вправо), при этом оба клапана опять оказываются закрытыми, пока давление в камере насоса не опустится до атмосферного давления. На этом участке уравнение процесса имеет вид

P_{k+1}v_1=Pv\quad\Rightarrow\quad P=\frac{P_{k+1}v_1}{v}.\qquad (5)

Давление в камере насоса станет равным атмосферному, когда объем газа увеличится до значения $v''$ , которое определяется формулой

P_0=\frac{P_{k+1}v_1}{v''}\quad\Rightarrow\quad v''=\frac{P_{k+1}v_1}{P_0}.\qquad (6)

При дальнейшем смещении поршня откроется клапан 2 и атмосферный воздух будет поступать в камеру насоса, при этом давление воздуха в камере насоса будет оставаться равным атмосферному $P=P_0$ .

Для наглядности все характеристики цикла сведены в таблицу и показаны на графике.

Цикл накачки.

Процесс	Начальное состояние: Объем	Начальное состояние: Давление	Уравнение процесса	Конечное состояние: Объем	Конечное состояние: Давление
1–2	$v_0$	$P_0$	$P=P_0v_0/v$	$v'=P_0v_0/P_k$	$P_k$
2–3	$v'$	$P_k$	$P=P_k(V+v')/(V+v)$	$v_1$	$P_{k+1}=P_kV/(V+v_1)+P_0v_0/(V+v_1)$
3–4	$v_1$	$P_{k+1}$	$P=P_{k+1}v_1/v$	$v''=P_{k+1}v_1/P_0$	$P_0$
4–1	$v''$	$P_0$	$P=P_0$	$v_0$	$P_0$

1.2 – 1.3 Расчеты параметров требуемых циклов, проведенные по формулам таблицы 1 приведены в соответствующих таблицах и на графиках.

Циклы 1, 2. Таблица состояний.

Точка	Объем $v$ (л)	Давление $P$ (атм.)
Цикл 1
1	1,00	1,00
2	1,00	1,00
3	0,20	1,04
4	0,21	1,00

Цикл 2
1	1,00	1,00
2	0,96	1,04
3	0,20	1,08
4	0,22	1,00

Цикл $(k+1)$ . Таблица состояний.

Точка	Объем $v$ (л)	Давление $P$ (атм.)
1	1,00	1,00
2	0,50	2,00
3	0,20	2,03
4	0,41	1,00

1.4 Фактически требуемая формула получена в пункте 1.1 – формула (4):

P_{k+1}=P_k\frac{V}{V+v_1}+\frac{P_0v_0}{V+v_1}.\qquad (4')

Из сравнения с формулой, приведенной в условии ( $P_k=\gamma P_{k-1}+a$ ), следует, что ее параметры задаются формулами

\gamma=\frac{V}{V+v_1},\qquad (7)

a=\frac{P_0v_0}{V+v_1}.\qquad (8)

1.5 Предельное давление может быть найдено как путем чисто физических рассуждений, так и формально математически.

Физические рассуждения. Максимально возможное сжатие воздуха в камере насоса достигается, когда поршень приходит в крайнее левое положение, а при этом клапан сосуда еще не открывается

В этом случае из выражения (1) следует формула для максимального давления

\overline P=P_0\frac{v_0}{v_1}.\qquad (9)

Формально математически этот же результат можно получить из рекуррентной формулы, полагая в ней, что давление перестало изменяться, т.е. $P_{k+1}=P_k=\overline P$ . В этом случае получаем

\overline P=\gamma\overline P+a\quad\Rightarrow\quad\overline P=\frac{a}{1-\gamma}=P_0\frac{v_0}{v_1}.\qquad (9')

1.6 Из обозначения $\delta_k=\overline P-P_k$ выразим значение давления $P_k=\overline P-\delta_k$ и подставим в рекуррентную формулу

\overline P-\delta_k=\gamma(\overline P-\delta_{k-1})+a.\qquad (10)

С учетом выражения (9’), получаем, что

\delta_k=\gamma\delta_{k-1}.\qquad (11)

1.7 Формула (11), указывает, что величины $\delta_k$ образуют геометрическую прогрессию, поэтому

\delta_k=\delta_0\gamma^k.\qquad (12)

С помощью обратной подстановки $P_k=\overline P-\delta_k$ получим

P_k=\overline P-\delta_0\gamma^k=P_0\frac{v_0}{v_1}-\left(P_0\frac{v_0}{v_1}-P_0\right)\left(\frac{V}{V+v_1}\right)^k.\qquad (13)

График этой зависимости имеет вид кривой, монотонно стремящейся к предельному значению.

1.8 для расчета числа циклов удобно воспользоваться формулой (12). Проведем численный расчет ее параметров:

знаменатель прогрессии $\gamma=\frac{V}{V+v_1}=\frac{20{,}00}{20{,}20}=0{,}990$ ;
максимальное давление $\overline P=P_0v_0/v_1=5{,}00P_0$ ;
начальное отклонение $\delta_0=\overline P-P_0=4{,}00P_0$ ;
конечное отклонение $\delta_k=\overline P-0{,}95\overline P=0{,}25P_0$ .

Теперь из формулы (12) найдем

\delta_k=\delta_0\gamma^k\quad\Rightarrow\quad k=\frac{\ln(\delta_k/\delta_0)}{\ln\gamma}=276\approx280.\qquad (14)

Часть 2. Откачка.

2.1 Решение этой части полностью аналогично решению первой части задачи, поэтому приведем его кратко.

Цикл откачки также состоит из четырех этапов. В соответствии с условием начнем с состояния, когда поршень находится в крайнем левом положении (давление в этом состоянии равно атмосферному) и начинает двигаться вправо. При этом оба клапана закрыты: газ в камере насоса расширяется, давление падает. Когда давление в камере становится равным давлению в сосуде, открывается клапан 1 и газ частично начинает выходить из сосуда. Поршень смещается в крайнее правое положение и начинает возвращаться обратно, при этом клапан 1 закрывается. Давление в камере растет и когда достигает атмосферного открывается клапан 2 и газ частично выбрасывается в атмосферу.

Полный оригинальный составной рисунок четырех стадий откачки: 1), 2), 3), 4), все клапаны, стрелки, объемы v, v′, v″ и подписи сохранены.

Эти стадии показаны на рисунке, начальные, конечные значения параметров газа в камере насоса и уравнения процессов приведены в Таблице 2. Схематическая диаграмма цикла показана на рисунке.

Таблица 2. Цикл откачки.

Процесс	Начальное состояние: Объем	Начальное состояние: Давление	Уравнение процесса	Конечное состояние: Объем	Конечное состояние: Давление
1–2	$v_1$	$P_0$	$P=P_0v_1/v$	$v'=P_0v_1/P_k$	$P_k$
2–3	$v'$	$P_k$	$P=P_k(V+v')/(V+v)$	$v_0$	$P_{k+1}=P_k(V+v')/(V+v_0)$
3–4	$v_0$	$P_{k+1}$	$P=P_{k+1}v_0/v$	$v''=P_{k+1}v_0/P_0$	$P_0$
4–1	$v''$	$P_0$	$P=P_0$	$v_1$	$P_0$

2.2 Уменьшение давления в сосуде происходит на 3 этапе цикла откачки, уравнение процесса на этом этапе позволяет получить рекуррентное соотношение, связывающее давления до и после очередного цикла

P_{k+1}=P_k\frac{V+v'}{V+v_0}.\qquad (15)

Подставляя значения для объема $v'$ (при котором начинается выход газа из сосуда), получим

P_{k+1}=P_k\frac{V+v'}{V+v_0}=P_k\frac{V+P_0v_1/P_k}{V+v_0}=P_k\frac{V}{V+v_0}+\frac{P_0v_1}{V+v_0}.\qquad (16)

Это соотношение полностью аналогично соотношению (4’), проанализированному в первой части задачи. Поэтому можно переписать полученные ранее решения, только при этом надо поменять местами значения объемов $v_0$ и $v_1$ . Тогда зависимость давления в камере от числа проведенных циклов опишется формулой, аналогичной формуле (13):

P_k=P_0\frac{v_1}{v_0}-P_0\left(\frac{v_1}{v_0}-1\right)\left(\frac{V}{V+v_0}\right)^k.\qquad (17)

2.3 Подстановка численных значений параметров в эту формулу и последующий расчет дает значение давления в камере после 50 циклов откачки:

P_{50}=P_0\left(\frac{v_1}{v_0}-\left(\frac{v_1}{v_0}-1\right)\left(\frac{V}{V+v_0}\right)^k\right)=P_0\left(0{,}20+0{,}80\left(\frac{20}{21}\right)^{50}\right)=0{,}27\,\text{атм}.\qquad (18)

2.4 Предельное минимальное значение давления воздуха в сосуде равно.

P_k=P_0\frac{v_1}{v_0}=0{,}20\,\text{атм}.\qquad (19)

Оригинал в Архива: 2019_theoretical_problems.pdf · официални решения: 2019_theoretical_solutions.pdf