Съдържание

Условие Часть 1. Постоянная сила.Часть 2. Сила упругости.Часть 3. Кулоновская сила.Решение

BelPhO 2019, Заключителен етап, 9,10,11 — Задача 10-2. 10 класс — 2. Короткий толчок

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2019

Заключительный этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Полностью получены и прочитаны 60 оригинальных страниц: 24 страницы условий и 36 страниц соответствующего ключа заключительного этапа 2019 года. Девять напечатанных родительских заданий содержат 15 целых задач и 72 исходных запроса. Разминка 9 класса прямо названа четырьмя независимыми задачами, разминка 10 класса — тремя; их исходный общий контекст сохранен. Разминка 11 класса прямо названа двумя почти не связанными задачами; обе сохранены отдельно с общим исходным контекстом. Ссылка второго ключа на результат предыдущей задачи сохранена буквально. Все связанные задания сохранены целиком, с исходными частями и продолжениями ключей. Все напечатанные пустые бланки, графики, таблицы, схемы, альтернативные методы и дополнения для скептиков получены. Баллы, время и отдельная схема оценивания отсутствуют в полученных оригиналах. Экспериментальные оригиналы относятся к отдельно опубликованному туру.

В исходном ключе полосы сохранены t<v₀/(µg) в обеих ветвях (10), отсутствие +d во второй ветви (13) и tan α=v₀/u в (16). В ключе напряжений повторяется x=0 для обоих граничных потенциалов и номер (2), сопротивление напечатано с множителем S; расход (11) q=S₁v₁=2S₀v₁√[(2/3)(P₀−P₁)/ρ] противоречит указанным площадям и размерности. В ключе короткого толчка сохранены τ² в (9), повтор 1.2 и (20), ссылка на (10) как на уравнение колебаний, U вместо U₀. Вопрос 2.7 просит максимальное смещение в процессе движения, но ключ отвечает смещением к концу действия поля; недостающий ответ не дописан. В ключе насоса сохранено название третьего этапа для изменения давления, хотя диаграмма показывает участок 2–3.

В ключе ФЭУ сохранены слова «меньше длительности импульса», обратная η в интервале фотонов и интенсивность, пропорциональная η, несмотря на исходное описание квантового выхода и неперекрывающихся импульсов. Сохранена ссылка на условие (24), d вместо D и отличающаяся нумерация ответов 2.3/2.4/2.5. У отдельного неравенства на K30 знаменатель действительно пустой; он оставлен пустым и показан оригинальным изображением. Следующая формула (26) явно печатает τ/2. В условии звука 2.3 сохранено z=f(z); в ключе — повтор (12)/(35), 0,49·10⁻³ м в (27), отсутствие c в квадратичных коэффициентах (36)/(37) и последний номер 3.5 вместо 3.4. Это исходные научные и редакционные разночтения, а не предложенные исправления.

Оригинальная обложка

Республиканская физическая олимпиада 2019. Заключительный этап. Теоретический тур. Витебск 2019.

Условие

Если на тело действует некоторая сила в течение малого промежутка времени $\Delta t$ , очень часто используют теорему об изменении импульса тела (которая равносильна второму закону Ньютона): изменение импульса тела равно импульсу действующей силы:

\Delta\vec P=\vec F\Delta t.\qquad (1)

При этом пренебрегают смещением тела за время действия силы. Но в этом подходе скрыто противоречие: если скорость тела изменилась, то изменилась его кинетическая энергия. С другое стороны, справедлива теорема о кинетической энергии: изменение кинетической энергии тела, равно работе внешних сил:

\Delta E_{\text{кин.}}=\vec F\cdot\Delta\vec r.\qquad (2)

Но если пренебречь смещением тела за время действия силы, то работа оказывается равной нулю (!), следовательно, энергия тела и его скорость не изменяется!

Продемонстрируйте свое понимание физики и используемых приближенных методов: покажите, что между этими теоремами никаких противоречий не возникает.

Во всех частях задачи рассматривается движение небольшой частицы (материальной точки) массы $m$ , имеющей постоянный электрический заряд $q$ . Силой тяжести, силой сопротивления воздуха следует пренебрегать.

В ходе решения вам необходимо использовать единственную приближенную формулу, справедливую при малых значениях безразмерной величины $x\ll1$ :

(1+x)^\gamma\approx1+\gamma x.\qquad (3)

Эта формула справедлива при любых значениях показателя степени $\gamma$ .

Часть 1. Постоянная сила.

Частица свободна и находится в состоянии покоя. На короткий промежуток времени $\tau$ включается постоянное электростатическое поле, напряженность которого равна $E$ .

Оригинальный рисунок: все исходные обозначения, линии, стрелки, шкалы, данные и подписи сохранены.

1.1 Используя теорему об изменении импульса (1), найдите скорость $v_0$ , которую приобретет частица за время включения электрического поля. Постройте схематический график зависимости скорости частицы от времени.

1.2 Найдите скорость частицы после выключения поля $v_0$ , используя теорему о кинетической энергии (2). Постройте схематический график зависимости скорости частицы от ее координаты.

1.3 Совпадают ли значения скорости $v_0$ , полученные в пп. 1.1 – 1.2?

Часть 2. Сила упругости.

Частицу прикрепили с помощью легкой непроводящей пружины жесткостью $k$ к неподвижной стенке. Частица находится в состоянии покоя, затем на короткий промежуток времени $\tau$ включается постоянное электростатическое поле, напряженность которого постоянна (в течение указанного промежутка) равна $\vec E$ и направлена вдоль пружины.

При решении этой задачи вам следует использовать два приближения (и сравнить их между собой).

Первое приближение: пренебрегаем смещением частицы за время действия поля $\tau$ .

Второе приближение: учитываем смещение частицы, но пренебрегаем изменением ее ускорения, т.е. считаем, что она движется с постоянным ускорением, равным ускорению в начальный момент времени.

2.1 Используя первое приближение, найдите приближенное значение скорости частицы сразу после выключения поля $\widetilde v_0$ .

2.2 Используя теорему об изменении импульса (1), найдите значение скорости частицы сразу после выключения поля $v_0$ во втором приближении.

2.3 Разность между найденными значениями служит оценкой погрешности первого приближения. Найдите (в виде формулы) относительную погрешность значения скорости $\widetilde v_0$ :

\varepsilon_v=\frac{v_0-\widetilde v_0}{\widetilde v_0}.\qquad (4)

2.4 Получите формулу для значения скорости $v_0$ с помощью теоремы о кинетической энергии (2) во втором приближении.

2.5 Упростите формулу, полученную в п. 2.4, используя приближенную формулу (3). Сравните ее с формулой, полученной на основе теоремы об изменении импульса (п. 2.2). Совпадают ли они?

2.6 Какая из формул (п. 2.2 или п. 2.4) является правильной?

2.7 Найдите максимальное смещение частицы $\widetilde X$ в процессе движения в первом приближении.

2.8 Найдите относительную погрешность найденного смещения, используя второе приближение.

Еще одна математическая подсказка: Если ускорение тела изменяется от времени по закону $a=bt^2$ , то зависимость скорости от времени имеет вид $v=bt^3/3$ , при этом зависимость координаты от времени $x=bt^4/12$ . Предполагается, что начальная скорость и начальная координаты равны нулю.

Часть 3. Кулоновская сила.

Частицу поместили между обкладками сферического конденсатора. Конденсатор образован двумя концентрическими проводящими сферами, радиусы которых равны $r_1,r_2$ . Сначала частица касается внутренней сферы и находится в покое, затем на короткий промежуток времени $\tau$ обкладки подключают к источнику постоянного напряжения $U_0$ . При этом тело приходит в движение.

3.1 Чему равна напряженность поля у поверхности внутренней сферы $E_0$ ?

3.2 Выразите напряженность поля в точке $E(r)$ , находящейся между сферами на расстоянии $r$ от их центра, через величину $E_0$ и геометрические размеры конденсатора. В дальнейших пунктах ответы выражайте через значение $E_0$ .

3.3 Найдите скорость частицы после выключения поля во втором приближении $v_0$ .

3.4 Используя первое приближение, найдите время пролета частицы между обкладками конденсатора $\widetilde T$ . Во втором приближении время движения может быть представлено в виде $T=\widetilde T+\beta\tau^n$ , где $\beta$ - некоторая константа. Чему равен порядок степени поправки $n$ ? Доказывать приведенную формулу и определять коэффициент $\beta$ не требуется.

Решение

Часть 1. Постоянная сила.

1.1 Сил, действующая на частицу, во время включения поля, равна

F=qE.\qquad (1)

Так как начальная скорость частицы равна нулю, поэтому уравнение теоремы об изменении импульса имеет вид

mv_0=qE\tau.\qquad (2)

Из этого уравнения находим скорость частицы

v_0=\frac{qE}{m}\tau.\qquad (3)

График этой зависимости показан на рисунке.

1.2 Уравнение теоремы о кинетической энергии имеет вид

\frac{mv_0^2}{2}=qEx.\qquad (4)

Так как движение тела является равноускоренным, то смещение тела за время действия поля $\tau$ равно

x_0=\frac{qE}{2m}\tau^2.\qquad (5)

Подставляя это выражение в формулу (4), получаем значение скорости

v_0=\sqrt{\frac{2qE}{m}\left(\frac{qE}{2m}\tau^2\right)}=\frac{qE}{m}\tau.\qquad (6)

График зависимости скорости от координаты показан на рисунке.

1.2 Полученные формулы полностью совпадают.

Примечание. Формулы совпадают, так обе получены безо всяких приближений.

Часть 2. Сила упругости.

2.1 Пренебрежение смещением частицы за время действия поля равносильно пренебрежением силы упругости. Поэтому в этом приближении скорость частицы описывается тоже формулой, что и в Части 1:

\widetilde v_0=\frac{qE}{m}\tau.\qquad (7)

2.2 В начальный момент времени ускорение частицы определяется только электрическим полем, поэтому в используемом приближении закон движения частицы описывается формулой

x=\frac{qE}{2m}t^2.\qquad (8)

Тогда уравнение (1) в указанном приближении сводится к виду

m\frac{\Delta v}{\Delta t}=qE-kx\quad\Rightarrow\quad\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{qE}{m}-\frac{k}{m}\cdot\left(\frac{qE}{2m}\tau^2\right).\qquad (9)

Используя математическую подсказку, легко получить выражение для скорости частицы сразу после выключения поля:

v_0=\frac{qE}{m}\tau-\frac{kqE}{6m^2}\tau^3=\frac{qE}{m}\tau\left(1-\frac16\frac{k}{m}\tau^2\right).\qquad (10)

2.3 Относительная погрешность значения скорости, найденного в первом приближении, равна

\varepsilon_v=\frac{v_0-\widetilde v_0}{\widetilde v_0}=-\frac16\frac{k}{m}\tau^2.\qquad (11)

2.4 Запишем уравнение, следующее из теоремы о кинетической энергии, выразим из него значение искомой скорости

\frac{mv_0^2}{2}=qEx-\frac{kx^2}{2}\quad\Rightarrow\quad v_0=\sqrt{\frac{2qE}{m}x-\frac{k}{m}x^2}.\qquad (12)

Подставляя значение координаты в момент выключения поля (8), получим

v_0=\sqrt{\frac{2qE}{m}x-\frac{k}{m}x^2}=\sqrt{\frac{2qE}{m}\left(\frac{qE}{2m}\tau^2\right)-\frac{k}{m}\left(\frac{qE}{2m}\tau^2\right)^2}=\frac{qE}{m}\tau\sqrt{1-\frac14\frac{k}{m}\tau^2}.\qquad (13)

2.5 Наконец, используем приближенную формулу (для корня $\gamma=\frac12$ ):

v_0=\frac{qE}{m}\tau\sqrt{1-\frac14\frac{k}{m}\tau^2}\approx\frac{qE}{m}\tau\left(1-\frac18\frac{k}{m}\tau^2\right).\qquad (14)

2.6 Полученные формулы (10) и (14) имеют одинаковую структуру, но отличаются коэффициентом относительной погрешности. Можно показать, что правильной формулой является формула (10). Для этого достаточно проанализировать порядок малых поправок. Поправка к скорости, учитывающая смещение тела, равна 3 (т.е. пропорциональна $\tau^3$ ), поэтому поправка к смещению должна быть пропорциональна $\tau^4$ . Следовательно, в формуле (13) величина $x$ должна быть рассчитана с точностью до 4 порядка.

Примечания для скептиков.

Докажем последнее утверждение. Если зависимость скорости от времени имеет вид (10):

v_0=\frac{qE}{m}\tau-\frac{kqE}{6m^2}\tau^3;

то смещение, рассчитанное в рамках того же приближения, равно

x=\frac{qE}{2m}\tau^2-\frac{kqE}{24m^2}\tau^4.

Подставим это выражение в формулу (13) и проведем разложение (оставляя все слагаемые 4 порядка), в результате чего получим

\begin{aligned}v_0&=\sqrt{\frac{2qE}{m}x-\frac{k}{m}x^2}\\&=\sqrt{\frac{2qE}{m}\left(\frac{qE}{2m}\tau^2-\frac{kqE}{24m^2}\tau^4\right)-\frac{k}{m}\left(\frac{qE}{2m}\tau^2\right)^2}\\&=\sqrt{\left(\frac{qE}{m}\tau\right)^2-\frac1{12}\left(\frac{qE}{m}\tau\right)^2\left(\frac{k}{m}\tau^2\right)-\frac14\left(\frac{qE}{m}\tau\right)^2\left(\frac{k}{m}\tau^2\right)}\\&=\frac{qE}{m}\tau\sqrt{1-\frac13\left(\frac{k}{m}\tau^2\right)}\approx\frac{qE}{m}\tau\left(1-\frac16\left(\frac{k}{m}\tau^2\right)\right).\end{aligned}

А эта формула полностью совпадает с выражением (10).

Уравнение (10) имеет точное решение (так является уравнением гармонических колебаний). С учетом начальных условий это решение задается функцией

ma=qE-kx\quad\Rightarrow\quad x(t)=\frac{qE}{k}(1-\cos\omega t),

Где обозначено $\omega=\sqrt{k/m}$ - круговая частота гармонических колебаний частицы на пружине. Используя разложение косинуса $\cos x\approx1-x^2/2!+x^4/4!-\ldots$ , эта функция представляется в виде

x(t)=\frac{qE}{k}(1-\cos\omega t)\approx\frac{qE}{k}\left(\frac12(\omega t)^2-\frac1{24}(\omega t)^4\right).

Что полностью совпадает с решением, полученным приближенным методом.

Из уравнения (10) следует, что зависимость скорости от времени во втором приближении имеет вид

v=\frac{qE}{m}t-\frac{kqE}{6m^2}t^3.\qquad (10*)

Тогда в соответствии с математической подсказкой зависимость координаты от времени будет описываться функцией

x=\frac{qE}{m}\frac{t^2}{2}-\frac{kqE}{6m^2}\cdot\frac{t^4}{4}=\frac{qE}{2m}t^2\left(1-\frac1{12}\frac{k}{m}t^2\right).\qquad (11*)

2.7 Отсюда следует, что смещение в первом приближении равно

\widetilde x=\frac{qE}{2m}\tau^2.\qquad (12*)

2.8 Относительная поправка во втором приближении задается формулой

\varepsilon=-\frac1{12}\frac{k}{m}\tau^2.\qquad (13*)

Часть 3. Кулоновская сила.

3.1 Напряженность поля необходимо выразить через заданное значение напряжения (разности потенциалов) $U_0$ . Электрическое поле между обкладками сферического конденсатора эквивалентно полю точечного заряда, помещенного в центр сфер. Поэтому разность потенциалов и напряженность поля описываются формулами

U_0=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac1{r_1}-\frac1{r_2}\right)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{r_2-r_1}{r_2r_1},\qquad E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}.\qquad (15)

Из которых не сложно получить зависимость напряженности поля от расстояния $r$

E(r)=U\frac{r_2r_1}{r_2-r_1}\cdot\frac1{r^2}.\qquad (16)

Напряженность поля у поверхности внутренней сферы равна

E_0=E(r=r_1)=U\frac{r_2r_1}{r_2-r_1}\cdot\frac1{r_1^2}=\frac{U}{r_1}\frac{r_2}{r_2-r_1}.\qquad (17)

3.2 Наконец выражение для напряженности поля в произвольной точке имеет вид

E(r)=E_0\frac{r_1^2}{r^2}.\qquad (18)

3.3 Так как поле включают на малый промежуток времени $\tau$ , то и смещение частицы за этот промежуток времени будет мало. Поэтому представим $r=r_1+x$ , причем $x\ll r_1$ . Тогда вблизи поверхности внутренней сферы напряженность поля может быть описана приближенной формулой

E(r)=E_0\frac{r_1^2}{(r_1+x)^2}=E_0\left(1+\frac{x}{r_1}\right)^{-2}\approx E_0\left(1-2\frac{x}{r_1}\right).\qquad (19)

Тогда уравнение движения тела в течение промежутка времени $\tau$ имеет вид

ma=qE=qE_0-\frac{2qE_0}{r_1}x.\qquad (20)

Это уравнение полностью совпадает с рассмотренным уравнением (9), в котором следует положить $k=2qE_0/r_1$ . Скорость, которую приобретает тело за время включения поля, описывается формулой (10)

v_0=\frac{qE_0}{m}\tau\left(1-\frac16\frac{k}{m}\tau^2\right)=\frac{qE_0}{m}\tau\left(1-\frac13\frac{qE_0}{mr_1}\tau^2\right).\qquad (20)

В первом приближении время движения частицы между обкладками описывается формулой

\widetilde T=\frac{r_2-r_1}{\widetilde v_0}=\frac{m(r_2-r_1)}{qE_0\tau}.\qquad (21)

Для определения порядка погрешности обозначим $qE_0/m=a$ - ускорение, с которым разгонялась частица. Тогда время движения во втором приближении можно записать в виде:

T=\tau+\frac{(r_2-r_1)-\frac a2\tau^2}{a\tau\left(1-\frac13\frac a{r_1}\tau^2\right)}.\qquad (22)

Упростим эту формулу, учитывая малость времени $\tau$ :

\begin{aligned}T&=\tau+\frac{(r_2-r_1)-\frac a2\tau^2}{a\tau\left(1-\frac13\frac a{r_1}\tau^2\right)}=\frac{r_2-r_1}{a\tau}\frac{1-\frac a{2(r_2-r_1)}\tau^2}{1-\frac13\frac a{r_1}\tau^2}+\tau\\&\approx\frac{r_2-r_1}{a\tau}\left(1-\frac a{2(r_2-r_1)}\tau^2+\frac13\frac a{r_1}\tau^2\right)+\tau=\widetilde T+\beta\tau.\end{aligned}\qquad (23)

Из этого выражения видно, что порядок поправки – первый, т.е. $n=1$ .

Этот же результат можно получить из простых рассуждений. Во втором приближении все относительные поправки имеют второй порядок, поэтому и относительная погрешность формулы для расчета времени движения также имеет второй порядок. Так как время движения обратно пропорционально $\tau$ , то абсолютная погрешность должна имеет первый порядок:

\frac{\Delta T}{\widetilde T}\propto\tau^2\quad\Rightarrow\quad\Delta T\propto\widetilde T\tau^2=\frac{\Delta r}{a\tau}\tau^2\propto\tau.\qquad (24)

Оригинал в Архива: 2019_theoretical_problems.pdf · официални решения: 2019_theoretical_solutions.pdf