Съдържание

Условие 1.5 В чайник заливают воду при комнатной температуре и включают нагреватель, мощность которого установлена на величину

P_0=1500\,\mathrm{\text{Вт}}

.Решение

BelPhO 2020, Областен етап, 9,10,11 — Задача 9-1. 9 класс — 1. Физика на кухне

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2020

Третий этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Получены и полностью прочитаны все 22 страницы условий и 31 страница соответствующего теоретического ключа. Сохранены девять целых заданий: по три для 9, 10 и 11 классов, с 73 явно обозначенными запросами. Вводный пункт 1.5 первого задания не превращен в дополнительный запрос. Сохранены все исходные разделы, методы и альтернативные расчеты, числовые таблицы, сноски, графики и рисунки. Полностью получены таблица измерений и две сетки к задаче 9-3, а также пустой атмосферный бланк к задаче 11-2. Последний повернут для удобства чтения без изменения исходных данных. Время, баллы и отдельная шкала оценивания в оригиналах не напечатаны. Дополнительных теоретических приложений в исходной папке нет; экспериментальные оригиналы принадлежат отдельному туру.

Сохранены исходные научные и редакционные несогласованности. В задаче 9-1 первый запрос напечатан 10.3, тогда как ответ ключа обозначен 1.1. В задаче 9-2 пункт 1.1 дважды называет перевод из Фаренгейта в Цельсий; пункт 1.2 просит температуру в Кельвинах, но ключ дает только 97,9°F. Ответ в Кельвинах не дописан. Для опыта Джоуля условие содержит 772,7 футо-фунта, текст ключа — 838, а его формула — 773; все варианты сохранены. Разные задания используют свои исходные значения g. Ключ Торричелли ссылается на формулу 6 вместо 5 и утверждает, что время в η раз меньше, хотя формула содержит 1/η. В ключе к цепочке брусков третий этап таблицы повторяет F₁/x₁ в столбцах F₂/x₂; уравнение движения среднего бруска не содержит F₂, а удлинение первой пружины обозначено x₂. В ключе к газу повторен номер формулы 13.

В гравитационном ключе разложение (3) имеет степень +2; формула (7) сохраняет h=Rη/2 после отрицательного определения η. Формулы сил (11)/(12) печатают r²/R², тогда как исходное ускорение содержит R²/r². Орбитальная формула (21) теряет множитель 1/2 при подстановке; напечатанный конечный коэффициент 2 и полная сноска сохранены. Ключ электростатической пушки меняет знак между производной и силой и заканчивается силой: итоговая скорость незаряженного шарика, запрошенная в 2.2, не напечатана и не добавлена. В ключе шарльера формула (16) не содержит V по сравнению с (15), исходный график повторяет отметку 0,6; в части о монгольфьере сохранено утверждение о неизменности массы воздуха, повтор номера (19) и все различные приближенные высоты/альтернативные методы. В сейсмической таблице ключа значения t² сохранены такими, как напечатаны, хотя расходятся с квадратами указанных времен. Для наклонного пласта текст задает X=Lₖ², а график использует Lₖ, единицы коэффициента и знаки расходятся; отрицательный коэффициент −2,65 и положительные ответы 17,5°/2,3 км сохранены. Остальные исходные номера, обозначения и грамматические ошибки также не исправлены.

Оригинальная общая обложка

Республиканская физическая олимпиада. 2020 год. (III этап). Теоретический тур.

Условие

Нагреватель электрочайника находится внутри воды, поэтому все теплота, выделяемая нагревателем, идет на нагрев воды и корпуса чайника. Обозначим мощность нагревателя $P_0$ . Можно считать, что она не зависит от температуры воды в чайнике $t$ . Мощность нагревателя можно регулировать. Мощность теплоты, уходящей от чайника в окружающий воздух $P_1$ , пропорциональна разности температур воды и окружающего воздуха $t_0$ :

P_1=\beta(t-t_0),\qquad(1)

где $\beta$ — постоянный коэффициент теплоотдачи. При заданной мощности нагревателя температура воды достигает некоторого предельного значения $\bar t$ , которое будем называть стационарной температурой.

Оригинальный рисунок со всеми исходными стрелками, осями, шкалами, данными и обозначениями.

Температура воздуха (во всех частях задачи) считать равной $t_0=20^\circ\mathrm C$ . Теплоемкость¹ чайника с водой считайте постоянной и равной $C=4{,}5\cdot10^3\,\mathrm{\text{Дж}/\text{град}}$ . Температура кипения воды $t_{\mathrm{\text{кип}}}=100^\circ\mathrm C$ .

¹ Теплоемкость тела называется количество теплоты, которое требуется, чтобы нагреть тело на $1^\circ$ Цельсия. Не путайте с удельной теплоемкостью вещества.

² Будем обозначать время буквой $\tau$ , чтобы отличить от температуры $t$ .

10.3 При мощности нагревателя $P_0=400\,\mathrm{\text{Вт}}$ вода в чайнике достигает максимальной температуры, равной $\bar t_{\max}=60^\circ\mathrm C$ . Рассчитайте численное значение коэффициента теплоотдачи $\beta$ в формуле (1).

Далее считайте эту величину известной и используйте ее при решении задачи.

1.2 При какой минимальной мощности нагревателя вода в чайнике закипит?

1.3 Постройте график зависимости стационарной температуры воды $\bar t$ в чайнике от мощности нагревателя $P_0$ .

Теперь рассмотрим процесс нагревания чайника, т.е. зависимость его температуры $t$ от времени² $\tau$ .

1.4 Получите уравнение, описывающее малое изменение температуры воды $\Delta t$ за малый промежуток времени $\Delta\tau$ . Понятно, что величина $\Delta t$ должна зависеть от температуры воды в чайнике $t$ .

1.5 В чайник заливают воду при комнатной температуре и включают нагреватель, мощность которого установлена на величину $P_0=1500\,\mathrm{\text{Вт}}$ .

1.5.1 Постройте схематический график зависимости температуры воды от времени $t(\tau)$ . Приближенно эту зависимость можно заменить на два прямолинейных участка. Постройте такой приближенный график на этом же рисунке.

1.5.2 Оцените время нагревания воды от комнатной температуры до температуры кипения.

1.5.3 Оцените, какая доля теплоты (в процентах) уйдет в окружающее пространство за время закипания воды в чайнике.

Решение

1.1 В установившемся режиме мощность поступающей теплоты равна мощности теплоты, уходящей в окружающую среду:

P_0=\beta(\bar t_{\max}-t_0).\qquad(1)

Из этого равенства определяем коэффициент теплоотдачи

\beta=\frac{P_0}{\bar t_{\max}-t_0}=10\,\mathrm{\text{Вт}/\text{град}}.\qquad(2)

1.2 Из уравнения (1) находим мощность, необходимую для закипания воды

P_0^{(\mathrm{\text{кипения}})}=\beta(t_{\mathrm{\text{кипения}}}-t_0)=10\cdot(100-20)=800\,\mathrm{\text{Вт}}.\qquad(3)

1.3 Все из того же уравнения (1) находим установившуюся температуру:

\bar t=t_0+\frac{P_0}\beta\qquad(4)

Если установившаяся температура достигнет точки кипения $100^\circ$ , то при дальнейшем увеличении мощности температура воды расти не будет. График этой зависимости показан на рисунке.

1.4 Требуемое уравнение есть уравнение теплового баланса: количество теплоты, которое поступает от нагревателя $P_0\Delta\tau$ , равно сумме теплот, которое идет на нагревание чайника с водой $C\Delta t$ , и уходит в окружающую среду $\beta(t-t_0)\Delta\tau$ :

P_0\Delta\tau=C\Delta t+\beta(t-t_0)\Delta\tau\qquad(5)

Это уравнение для удобства дальнейшего анализа удобно переписать в виде

\frac{\Delta t}{\Delta\tau}=\frac{P_0}C-\frac\beta C(t-t_0)\qquad(6)

1.5.1 В начальный момент времени скорость изменения температуры максимальна и равна

\left(\frac{\Delta t}{\Delta\tau}\right)_0=\frac{P_0}C\approx0{,}33\,\mathrm{\text{град}/\text{с}}.\qquad(7)

При увеличении температуры воды увеличивается мощность теплоотдачи, поэтому скорость роста температуры уменьшается. Когда температура воды достигает температуры кипения, скорость роста становится равной

\left(\frac{\Delta t}{\Delta\tau}\right)_1=\frac{P_0-\beta(t_k-t_0)}C=\frac{1500-10(100-20)}{4500}\approx0{,}16\,\mathrm{\text{град}/\text{с}}.\qquad(8)

Если бы вода не закипала, то ее температура достигла бы установившегося значения, равного

\bar t=t_0+\frac{P_0}\beta=170^\circ\mathrm C\qquad(9)

Поэтому график зависимости должен был стремиться к этому значению, если бы воды не закипела. Схематически этот график показан на рисунке:

При отсутствии закипания — кривая 0–1–2; с учетом закипания 0–1–3; Примерный график для проведения дальнейших оценок: 0–4–3.

1.5.2 Приближенную зависимость, состоящую из двух отрезков прямых, можно построить следующим образом. Можно приближенно считать, что температура воды возрастает по линейному закону. В качестве средней скорости роста температуры можно взять среднее арифметическое этой величины (среднее между (7) и (8)): $V\approx0{,}24\,\mathrm{\text{град}/\text{с}}$ . Тогда до температуры закипания зависимость температуры воды от времени описывается функцией:

t=t_0+V\tau.\qquad(10)

Из этой формулы легко оценить время закипания

\tau_1=\frac{t_{\mathrm{\text{кмп}}}-t_0}V\approx330\,\text{с}.\qquad(11)

Заметим, что строгий расчет дает значение 340 с. Кстати, и график на рисунке построен точный!

1.5.3 Используя полученную оценку времени закипания, не сложно оценить долю потерь. Так, за время нагревания чайник получил количество теплоты, равное

Q_0=P_0\tau_1\approx500\,\mathrm{\text{кДж}},\qquad(12)

из них на нагревание пошло

Q_1=C\Delta t\approx360\,\mathrm{\text{кДж}}.\qquad(13)

Следовательно, доля потерь составила

\eta=\frac{Q_0-Q_1}{Q_0}=28\%.\qquad(14)

Оригинал в Архива: 3_etap_2020_theoretical_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2020_theoretical_solutions.pdf