Съдържание

Условие Часть 1. Ускорение свободного падения.Часть 2. Свободное падение.Часть 3. Орбитальная станция.Решение

BelPhO 2020, Областен етап, 9,10,11 — Задача 10-3. 10 класс — 3. Неоднородное гравитационное поле

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2020

Третий этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Получены и полностью прочитаны все 22 страницы условий и 31 страница соответствующего теоретического ключа. Сохранены девять целых заданий: по три для 9, 10 и 11 классов, с 73 явно обозначенными запросами. Вводный пункт 1.5 первого задания не превращен в дополнительный запрос. Сохранены все исходные разделы, методы и альтернативные расчеты, числовые таблицы, сноски, графики и рисунки. Полностью получены таблица измерений и две сетки к задаче 9-3, а также пустой атмосферный бланк к задаче 11-2. Последний повернут для удобства чтения без изменения исходных данных. Время, баллы и отдельная шкала оценивания в оригиналах не напечатаны. Дополнительных теоретических приложений в исходной папке нет; экспериментальные оригиналы принадлежат отдельному туру.

Сохранены исходные научные и редакционные несогласованности. В задаче 9-1 первый запрос напечатан 10.3, тогда как ответ ключа обозначен 1.1. В задаче 9-2 пункт 1.1 дважды называет перевод из Фаренгейта в Цельсий; пункт 1.2 просит температуру в Кельвинах, но ключ дает только 97,9°F. Ответ в Кельвинах не дописан. Для опыта Джоуля условие содержит 772,7 футо-фунта, текст ключа — 838, а его формула — 773; все варианты сохранены. Разные задания используют свои исходные значения g. Ключ Торричелли ссылается на формулу 6 вместо 5 и утверждает, что время в η раз меньше, хотя формула содержит 1/η. В ключе к цепочке брусков третий этап таблицы повторяет F₁/x₁ в столбцах F₂/x₂; уравнение движения среднего бруска не содержит F₂, а удлинение первой пружины обозначено x₂. В ключе к газу повторен номер формулы 13.

В гравитационном ключе разложение (3) имеет степень +2; формула (7) сохраняет h=Rη/2 после отрицательного определения η. Формулы сил (11)/(12) печатают r²/R², тогда как исходное ускорение содержит R²/r². Орбитальная формула (21) теряет множитель 1/2 при подстановке; напечатанный конечный коэффициент 2 и полная сноска сохранены. Ключ электростатической пушки меняет знак между производной и силой и заканчивается силой: итоговая скорость незаряженного шарика, запрошенная в 2.2, не напечатана и не добавлена. В ключе шарльера формула (16) не содержит V по сравнению с (15), исходный график повторяет отметку 0,6; в части о монгольфьере сохранено утверждение о неизменности массы воздуха, повтор номера (19) и все различные приближенные высоты/альтернативные методы. В сейсмической таблице ключа значения t² сохранены такими, как напечатаны, хотя расходятся с квадратами указанных времен. Для наклонного пласта текст задает X=Lₖ², а график использует Lₖ, единицы коэффициента и знаки расходятся; отрицательный коэффициент −2,65 и положительные ответы 17,5°/2,3 км сохранены. Остальные исходные номера, обозначения и грамматические ошибки также не исправлены.

Оригинальная общая обложка

Республиканская физическая олимпиада. 2020 год. (III этап). Теоретический тур.

Условие

Сила гравитационного взаимодействия зависит от расстояния между взаимодействующими телами. Поэтому гравитационные поля, в общем случае, являются неоднородными. Даже небольшие неоднородности этого поля могут приводить ко многим интересным и неожиданным эффектам, некоторые из которых рассматриваются в данной задаче.

Ускорение свободного падения на поверхности Земли обозначим $g_0=9{,}8\,\mathrm{\text{м}/\text{с}^2}$ . Землю будем считать однородным шаром радиуса $R=6{,}4\cdot10^6\,\text{м}$ . Вращением Земли вокруг собственной оси следует пренебрегать. Все ответы выражайте через эти заданные параметры, гравитационная постоянная и масса Земли в эти ответы входить не должны. Во всех пунктах задачи деформации тел следует считать пренебрежимо малыми.

Используйте приближенную формулу, справедливую при $\xi\ll1$ и любых степенях $\gamma$ :

(1+\xi)^\gamma\approx1+\gamma\xi\qquad(1)

Часть 1. Ускорение свободного падения.

1.1 Получите формулу для ускорения свободного падения $g_r$ на расстоянии $r$ от центра Земли ( $r>R$ ). Выразите его через ускорение свободного падения на поверхности Земли $g_0$ .

Оригинальный рисунок со всеми исходными стрелками, осями, шкалами, данными и обозначениями.

При малом радиальном отклонении от расстояния $r$ на малую величину $x$ можно считать, что ускорение свободного падения зависит линейно от малого смещения. Т.е. ускорение свободного падения на расстоянии $r+x$ от центра Земли $g_{r+x}$ можно приближенно представить в виде

g_{r+x}\approx g_r(1+\alpha x).\qquad(2)

1.2 Определите значение множителя $\alpha$ в формуле (2).

1.3 Рассчитайте, на какой высоте $h$ над поверхностью Земли ускорение свободного падения уменьшается на 1,0% по сравнению с ускорением на поверхности Земли.

Часть 2. Свободное падение.

В данной части рассматривается движения тела, состоящего из двух массивных шаров (масса каждого $m=10\,\mathrm{\text{кг}}$ , радиус $b\approx10\,\mathrm{\text{см}}$ , каждый из них можно рассматривать как материальную точку), соединенных легким (с пренебрежимо малой массой) стержнем длины $l=10\,\text{м}$ .

Стержень свободно падает в поле тяжести Земли, оставаясь в вертикальном положении. Сопротивлением воздуха следует пренебрегать. В некоторый момент времени середина стержня находится на расстоянии $r$ от центра Земли.

2.1 Получите формулу для силы натяжения стержня $F$ в процессе его падения, возникающую вследствие неоднородности гравитационного поля Земли. В этом пункте гравитационным взаимодействием шаров следует пренебрегать.

2.2 Укажите, будет стержень растянут или сжат. Рассчитайте численное значение силы натяжения стержня $F$ , если центр стержня находится на высоте $h=10\,\mathrm{\text{км}}$ над поверхностью Земли.

2.3 Найдите отношение найденной силы $F$ к силе гравитационного взаимодействия между шариками $F_G$ . В расчетах можно принять, что плотность материала шариков равна средней плотности Земли. Оцените численное значение этого отношения $F/F_G$ .

Часть 3. Орбитальная станция.

Орбитальная станция состоит из двух одинаковых сферических отсеков, соединенных между собой длинным стрежнем. Масса каждого отсека равна $m$ , длина стержня $l$ . Отсеки можно считать материальными точками, масса стержня пренебрежимо мала. Станция вращается вокруг Земли по круговой траектории, так, что середина стержня находится на расстоянии $r$ от центра Земли (очевидно, что $r\gg l$ ). Станция движется так, что ее ось все время направлена к центру Земли.

3.1 Найдите силу упругости $F$ стержня, соединяющего отсеки станции. Укажите, сжат или растянут этот стержень.

Решение

Часть 1. Ускорение свободного падения.

1.1 В соответствии с законом всемирного тяготения Ньютона, ускорение свободного падения на расстоянии $r$ от центра Земли равно

g_r=G\frac M{r^2}\qquad(1)

Это выражение можно представить в виде

g_r=G\frac M{r^2}=G\frac M{R^2}\frac{R^2}{r^2}=g_0\frac{R^2}{r^2},\qquad(2)

где $g_0=GM/R^2$ — ускорение на поверхности Земли, $M$ — масса Земли, $R$ — ее радиус.

1.2 На расстоянии $r+x$ ускорение свободного падения можно описать формулой

g_{r+x}=g_0\frac{R^2}{(r+x)^2}=g_0\frac{R^2}{r^2}\left(1+\frac xr\right)^2\approx g_r\left(1-2\frac xr\right),\qquad(3)

при выводе которой использована приближенная формула (1) из условия задачи. Таким образом, требуемый коэффициент $\alpha$ оказывается равным

\alpha=-\frac2r.\qquad(4)

1.3 Так как изменение ускорения свободного падения мало, то и искомая высота будет малой по сравнению с радиусом Земли. Поэтому можно воспользоваться приближенной формулой (3), полагая в ней $r=R$ :

g\approx g_0\left(1-2\frac hR\right).\qquad(5)

Из этой формулы следует, что относительное изменение ускорения свободного падения на высоте $h$ равно

\eta=\frac{g-g_0}{g_0}=-2\frac hR.\qquad(6)

Из этой формулы находим

h=\frac R2\eta=\frac{6{,}4\cdot10^6\,\text{м}}2\cdot0{,}010=3{,}2\cdot10^4\,\text{м}.\qquad(7)

Т.е. ускорение свободного падения уменьшается на 1% на высоте 32 километра.

Часть 2. Свободное падение.

2.1 Земля притягивает шары, строго говоря, с разной силой, так как они находятся на разных расстояниях от центра Земли: сила тяжести, действующая на нижний шар, больше силы, действующей на верхний шар. Но так как шары соединены стержнем, то ни падают с одинаковым ускорением. Это возможно только в том случае, когда на нижний шар со стороны стержня будет действовать «тормозящая» сила упругости $\vec F_1$ , направленная вверх, а на верхний шар «разгоняющая» сила $\vec F_2$ , направленная вниз. Эти простые рассуждения позволяют сделать вывод, что стержень должен быть растянут. Так как масса стержня пренебрежимо мала, то модули этих сил будут равны, т.е. $|\vec F_1|=|\vec F_2|=F$ . Таким образом, неоднородность гравитационного поля, приводит к появлению сил, стремящихся растянуть стержень.

Для расчета силы упругости в стержне запишем уравнения 2 закона Ньютона для каждого из шаров в проекции на вертикальную ось

\begin{aligned}ma&=mg_1-F\\ma&=mg_2+F\end{aligned}.\qquad(8)

В этих уравнениях $g_1,g_2$ — ускорения свободного падения на расстояниях $(r-l/2)$ и $(r+l/2)$ , соответственно. Из этой системы уравнений следует, что искомая сила определяется как

F=m\frac{g_1-g_2}2.\qquad(9)

Так как длина стержня мала по сравнению с радиусом Земли, то эти ускорения можно выразить с помощью формулы (3):

g_{r\pm l/2}=g_r\left(1\mp\frac lr\right).\qquad(10)

Подстановка этих выражений в формулу (9) дает окончательный результат

F=mg_r\frac lr=mg_0\frac{r^2}{R^2}\frac lr.\qquad(11)

2.2 Для численного расчета при $r=R+h$ можно заметить, что не высокая точность исходных данных (две значащие цифры) позволяет пренебречь высотой $h$ по сравнению с радиусом Земли (т.к. на этой высоте ускорение свободного падения изменяется менее чем на 1%), поэтому

\begin{aligned}F&=mg_0\frac{r^2}{R^2}\frac lr=mg_0\frac{R+h}R\frac lR=mg_0\left(1+\frac hR\right)\frac lR\approx mg_0\frac lR\\&=10\,\mathrm{\text{кг}}\cdot9{,}8\,\mathrm{\text{м}/\text{с}^2}\cdot\frac{10\,\text{м}}{6{,}4\cdot10^6\,\text{м}}=1{,}5\cdot10^{-4}\,\text{Н}.\end{aligned}\qquad(12)

2.3 Как и следовало ожидать, сила, растягивающая стержень в процессе его падения, крайне мала. Однако, следует ее сравнить с силой гравитационного взаимодействия шаров

F_G=G\frac{m^2}{l^2}.\qquad(13)

Их отношение выражается следующим образом

\frac F{F_G}=\frac{mg_0\frac lR}{G\frac{m^2}{l^2}}=\frac{G\frac M{R^2}\frac lR}{G\frac m{l^2}}=\frac Mm\frac{l^3}{R^3}=\frac{R^3}{b^3}\frac{l^3}{R^3}=\left(\frac lb\right)^3.\qquad(14)

При выводе учтено, что отношение масс шаров при одинаковой плотности равно отношению кубов их радиусов $M/m=R^3/b^3$ . При заданных численных параметрах это отношение равно

\frac F{F_G}=\left(\frac lb\right)^3=\left(\frac{10}{0{,}10}\right)^3=1{,}0\cdot10^6.\qquad(15)

Таким образом, найденная «разрывающая сила» в миллион (!) раз превышает силу гравитационного притяжения.

Часть 3. Орбитальная станция.

Решение этой части полностью аналогично решению предыдущей. Только необходимо учесть, что в данном случае ускорения, с которыми движутся отсеки станции, являются центростремительными, зависящими от радиусов их орбит. При описанном характере движения одинаковыми являются угловые скорости движения отсеков. Поэтому уравнения 2 закона Ньютона в проекции на радиальное направление для каждого из отсеков имеют вид

\begin{aligned}m\omega^2\left(r-\frac l2\right)&=mg_1-F\\m\omega^2\left(r+\frac l2\right)&=mg_2+F\end{aligned}\qquad(16)

Здесь, как и ранее $g_1,g_2$ , — ускорения свободного падения на расстояниях $(r-l/2)$ и $(r+l/2)$ от центра Земли:

g_1=g_r\left(1+\frac lr\right),\quad g_2=g_r\left(1-\frac lr\right)\qquad(17)

Вычитая из второго уравнения системы (16) первое, получим

m\omega^2l=mg_2-mg_1+2F.

или

F=\frac{m\omega^2l}2+\frac{mg_1-mg_2}2.\qquad(18)

Угловую скорость движения станции можно определить из уравнения Ньютона для центра масс станции

2m\omega^2r=mg_1+mg_2.\qquad(19)

Из которого следует

\omega^2=\frac{g_1+g_2}2\frac1r.\qquad(20)

Подстановка выражений для ускорений и угловой скорости в формулу (18) дает:

F=\frac{m\omega^2l}2+\frac{mg_1-mg_2}2=m\left(\frac{g_1+g_2}2\frac lr+\frac{g_1-g_2}2\right)=m\left(g_r\frac lr+g_r\frac lr\right)=2mg_0\frac{r^2}{R^2}\frac lr.\qquad(21)

Заметим, что полученный результат в два раза превышает полученный ранее в формуле (11). Это связано с тем, что помимо различия в силах тяжести, существует различие в ускорениях связанных тел¹.

¹ Это же различие легко объяснить, если перейти во вращающуюся неинерциальную систему отсчета, связанной с самой станцией. В этой системе отсчета, на отсеки действуют различные центробежные силы, помимо сил гравитационных.

Оригинал в Архива: 3_etap_2020_theoretical_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2020_theoretical_solutions.pdf