Съдържание

Условие Часть 1. Заряженный шарик.Часть 2 Шарик не заряжается.Решение

BelPhO 2020, Областен етап, 9,10,11 — Задача 11-1. 11 класс — 1. Электростатическая пушка

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2020

Третий этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Получены и полностью прочитаны все 22 страницы условий и 31 страница соответствующего теоретического ключа. Сохранены девять целых заданий: по три для 9, 10 и 11 классов, с 73 явно обозначенными запросами. Вводный пункт 1.5 первого задания не превращен в дополнительный запрос. Сохранены все исходные разделы, методы и альтернативные расчеты, числовые таблицы, сноски, графики и рисунки. Полностью получены таблица измерений и две сетки к задаче 9-3, а также пустой атмосферный бланк к задаче 11-2. Последний повернут для удобства чтения без изменения исходных данных. Время, баллы и отдельная шкала оценивания в оригиналах не напечатаны. Дополнительных теоретических приложений в исходной папке нет; экспериментальные оригиналы принадлежат отдельному туру.

Сохранены исходные научные и редакционные несогласованности. В задаче 9-1 первый запрос напечатан 10.3, тогда как ответ ключа обозначен 1.1. В задаче 9-2 пункт 1.1 дважды называет перевод из Фаренгейта в Цельсий; пункт 1.2 просит температуру в Кельвинах, но ключ дает только 97,9°F. Ответ в Кельвинах не дописан. Для опыта Джоуля условие содержит 772,7 футо-фунта, текст ключа — 838, а его формула — 773; все варианты сохранены. Разные задания используют свои исходные значения g. Ключ Торричелли ссылается на формулу 6 вместо 5 и утверждает, что время в η раз меньше, хотя формула содержит 1/η. В ключе к цепочке брусков третий этап таблицы повторяет F₁/x₁ в столбцах F₂/x₂; уравнение движения среднего бруска не содержит F₂, а удлинение первой пружины обозначено x₂. В ключе к газу повторен номер формулы 13.

В гравитационном ключе разложение (3) имеет степень +2; формула (7) сохраняет h=Rη/2 после отрицательного определения η. Формулы сил (11)/(12) печатают r²/R², тогда как исходное ускорение содержит R²/r². Орбитальная формула (21) теряет множитель 1/2 при подстановке; напечатанный конечный коэффициент 2 и полная сноска сохранены. Ключ электростатической пушки меняет знак между производной и силой и заканчивается силой: итоговая скорость незаряженного шарика, запрошенная в 2.2, не напечатана и не добавлена. В ключе шарльера формула (16) не содержит V по сравнению с (15), исходный график повторяет отметку 0,6; в части о монгольфьере сохранено утверждение о неизменности массы воздуха, повтор номера (19) и все различные приближенные высоты/альтернативные методы. В сейсмической таблице ключа значения t² сохранены такими, как напечатаны, хотя расходятся с квадратами указанных времен. Для наклонного пласта текст задает X=Lₖ², а график использует Lₖ, единицы коэффициента и знаки расходятся; отрицательный коэффициент −2,65 и положительные ответы 17,5°/2,3 км сохранены. Остальные исходные номера, обозначения и грамматические ошибки также не исправлены.

Оригинальная общая обложка

Республиканская физическая олимпиада. 2020 год. (III этап). Теоретический тур.

Условие

Электростатическая пушка состоит из: проводящего кольца радиуса $R$ и тонкого непроводящего стержня (совпадающего с осью кольца). На стержне находится небольшой шарик радиуса $r$ , массы $m$ . Шарик может скользить по стержню без трения. На короткий промежуток времени $\tau$ кольцу и шарику сообщают одинаковые по модулю и противоположные по знаку заряды $\pm q$ . В результате чего шарик приобретает скорость $v$ .

Оригинальный рисунок со всеми исходными стрелками, осями, шкалами, данными и обозначениями.

Часть 1. Заряженный шарик.

1.1 Найдите напряженность электрического поля, создаваемого зарядами кольца на его оси на расстоянии $z$ от центра.

1.2 На каком расстоянии от центра кольца $z^*$ следует расположить шарик, чтобы он приобрел максимальную скорость? Чему равна эта максимальная скорость шарика $v_{\max}$ ?

Часть 2 Шарик не заряжается.

В этой части задачи заряд $q$ сообщается только кольцу. Шарик находится на расстоянии $z$ , которое значительно больше радиуса кольца $z\gg R$ . Под действием электрического поля напряженности $E$ на шарике индуцируется дипольный момент, величина которого равна

p=4\pi\varepsilon_0r^3E\qquad(1)

Электрический диполь — система из двух точечных зарядов, одинаковых по величине и противоположных по знаку $\pm q$ , находящихся на малом расстоянии $a$ . Дипольным моментом называется величина $p=qa$ .

2.1 Покажите, что сила, действующая на диполь, помещенный в неоднородное электрическое поле (ось диполя направлена вдоль оси $z$ ) равна

F=p\frac{\Delta E_z}{\Delta z}.\qquad(2)

где $\Delta E_z/\Delta z$ — производная от проекции вектора напряженности на ось $z$ по координате $z$ .

2.2 Какую скорость приобретет незаряженный проводящий шарик, если он находится на расстоянии $z$ от центра кольца, а кольцо заряжается на малый промежуток времени $\tau$ .

Решение

1.1 Вектор напряженности электростатического поля кольца направлен вдоль его оси. Модуль вектора напряженности легко находится с помощью закона Кулона и принципа суперпозиции

E=\frac q{4\pi\varepsilon_0}\frac z{(z^2+R^2)^{3/2}}.\qquad(1)

1.2 В промежутке времени, когда шарик и кольцо заряжены, на шарик действует электрическая сила

F=qE.\qquad(2)

Так время действия силы мало, то можно пренебречь смещением шарика за время действия силы. В этом случае скорость шарика может быть найдена из 2 закона Ньютона в импульсной форме

mv=qE\tau\Rightarrow v=\frac{q\tau}mE.\qquad(3)

Как следует из последнего равенства, скорость шарика будет максимальна, если он находится в точке с максимальной напряженностью. Для того, чтобы найти эту точку вычислим производную от функции (1)

\left(\frac z{(z^2+R^2)^{3/2}}\right)'=\frac{(z^2+R^2)^{3/2}-z\frac32(z^2+R^2)^{1/2}\cdot2z}{(z^2+R^2)^3}=\frac{(z^2+R^2)^{1/2}(z^2+R^2-3z^2)}{(z^2+R^2)^3}=0

И приравняем ее к нулю. Из этого условия следует, что напряженность поля максимальна на расстоянии

z^*=\frac R{\sqrt2}\qquad(4)

от центра кольца. Это максимальное значение равно

E_{\max}(z^*)=\frac q{4\pi\varepsilon_0}\frac{R/\sqrt2}{(R^2/2+R^2)^{3/2}}=\frac q{6\sqrt3\pi\varepsilon_0R^2}.\qquad(5)

Подставляя это выражение в формулу (3) для скорости, получим ответ на поставленный вопрос:

v_{\max}=\frac\tau m\frac{q^2}{6\sqrt3\pi\varepsilon_0R^2}.\qquad(6)

Часть 2 Шарик не заряжается.

2.1 Сила, действующая на диполь, также находится с помощью принципа суперпозиции:

F=qE(z+a)-qE(z)=qa\frac{\Delta E}a=p\frac{\Delta E}{\Delta z}\qquad(7)

2.2 Сила, действующая на шарик с индуцированным дипольным моментом, рассчитывается по формуле

F=p\frac{dE}{dz}=4\pi\varepsilon_0r^3E\frac{dE}{dz}.\qquad(8)

На больших расстояниях напряженность поля кольца совпадает с напряженностью поля точечного заряда (что следует из формулы (1)):

E\approx\frac q{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac1{z^2}\qquad(9)

Производная от этой функции равна

\frac{dE}{dz}=-\frac q{2\pi\varepsilon_0}\cdot\frac1{z^3}.\qquad(10)

Собирая все записанные формулы воедино, получим выражение для силы, действующей на незаряженный проводящий шарик

F=p\frac{dE}{dz}=4\pi\varepsilon_0r^3\left(\frac q{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac1{z^2}\right)\left(\frac q{2\pi\varepsilon_0}\cdot\frac1{z^3}\right)=\frac{q^2r^3}{2\pi\varepsilon_0}\cdot\frac1{z^5}.\qquad(11)

Оригинал в Архива: 3_etap_2020_theoretical_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2020_theoretical_solutions.pdf