BelPhO 2020, Областен етап, 9,10,11 — Задача 11-2. 11 класс — 2. Монгольфьер и шарльер

Часть 1. Стандартная атмосфера.

1.1 Для расчета плотности воздуха следует воспользоваться уравнением состояния идеального газа

Из которого следует, что плотность газа рассчитывается по формуле

Подстановка численных значений для уровня моря дает следующее численное значение:

1.2 Описание стандартной атмосферы позволяет записать зависимость температуры от высоты в виде

Сравнивая с формулой $T(z)=T_0(1-z/h)$, приведенной в условии задачи, видим, что параметр $h$ определяется формулой

Величина $T_0=15{,}00+273{,}16=288{,}16\,\mathrm K$ — абсолютная температура на уровне моря.

1.3 Для получения зависимости давления от высоты следует учесть, что плотность воздуха также изменяется с высотой. Однако при изменении высоты на малую величину $\Delta z$ изменением плотности в пределах слоя $\Delta z$ можно пренебречь. В этом случае уменьшение давления с высотой описывается формулой (для гидростатического давления)

Здесь $\rho$ — плотность воздуха на высоте $z$. Для плотности воздуха следует воспользоваться формулой (2) и найденной зависимостью температуры от высоты, поэтому

Таким образом, уравнение для определения зависимости давления от высоты имеет вид:

1.4 Используем указанную зависимость давления от высоты. Не сложно получить, что если $P(z)=P_0(1-z/h)^\alpha$, то

Отметим, что эту формулу можно получить как производную от функции $P(z)$, так и с помощью приближенной формулы, приведенной в условии задачи. С помощью этой формулы можно найти, что

Откуда и следует формула (9)

Подставляя найденные выражения в уравнение (8), получим:

Из этой формулы следует, что, во-первых, указанная в условии функция, действительно является решением уравнения (8); во-вторых, показатель степени в этой формуле равен

Зависимость плотности от высоты описывает следующая функция

Следовательно, показатель степени в этой зависимости равен

1.5 Требуемые графики показаны на рисунке.

Часть 2. Шарльер.

2.1 В соответствии с законом Архимеда максимальная масса шара равна массе воздуха, вытесненного шаром, т.е.

2.2 Так как оболочка закрыта, то масса водорода остается неизменной. Кроме того, в условии оговорено, что объем оболочки остается постоянным, поэтому и средняя плотность воздушного шара также остается неизменной. На максимальной высоте масса вытесненного воздуха равна $(m_{\max}-m_1)$, при этом выполняется условие:

из которого следует уравнение:

Разделим это уравнение на равенство (14), в результате чего получим

Откуда находим максимальную высоту подъема

Допустимо и приближенное решение уравнения (16), с использованием приближенной формулы $(1-z_{\max}/h)^\beta\approx1-\beta z_{\max}/h$. В этом приближении уравнение имеет вид $1-\beta z_{\max}/h=1-m_1/m_{\max}$, а его решение $z_{\max}=\frac h\beta\frac{m_1}{m_{\max}}=1{,}9\,\mathrm{\text{км}}$.

Также можно воспользоваться построенным графиком зависимости $\rho(z)$. Для этого нужно рассчитать среднюю плотность шара $\bar\rho=(m_{\max}-m_1)/V\approx1{,}00\,\mathrm{\text{кг}/\text{м}^3}$ и ее отношение к плотности воздуха на уровне моря $\bar\rho/\rho_0\approx0{,}82$. По графику не сложно найти, что плотность воздуха опускается до этого значения на высоте примерно равной 2,0 км.

Отметим, что согласно историческим данным Ж. Шарль поднялся на высоту в 3 км, возможно, наша оценка оказалась заниженной, потому что при расчетах не принималось во внимание расширение оболочки шара по мере подъема.

Часть 3. Монгольфьер.

3.1 Так как оболочка монгольфьера открыта, то на любой высоте одинаковыми будут давления воздуха внутри шара и снаружи. Масса воздуха внутри оболочки не будет изменяться при изменении его температуры и давления.

Используя закон Архимеда, можно записать условие равновесия шара на произвольной высоте

Где $\rho$ — плотность атмосферного воздуха на произвольной высоте $z$, $\rho_1$ — плотность воздуха внутри шара на той же высоте, $V=2200\,\mathrm{\text{м}^3}$ — объем шара, $m$ — масса шара без массы воздуха внутри его. Это соотношение удобно переписать в виде

Так как давления воздуха внутри и вне оболочки одинаковы, то разность плотностей можно представить в виде

Тогда условие равновесия шара принимает вид

В частности, на уровне моря, это выражение позволяет рассчитать общую массу монгольфьера

3.2 С помощью соотношений (21) и (22) можно получить уравнение для нахождения максимальной высоты подъема:

Преобразуем его к виду

Это уравнение слишком сложно для аналитического решения. Поэтому необходимо использовать приближенные методы. Одним из возможных способов такого решения является графический. Заметим, что функция, стоящая в правой части, является линейной

Рассчитаем коэффициенты этой линейной зависимости

Далее на Бланке с графиком зависимости плотности атмосферы от высоты следует построить график этой функции $f(z)$ (см. на рисунке) и найти точку их пересечения. Координата этой точки и дает максимальную высоту подъема монгольфьера

Другой способ приближенного расчета — воспользоваться приближением для функции

Тогда уравнение (24) становиться линейным и решается элементарно. Значение высоты в этом приближении оказывается равным $z_{\max}\approx2{,}8\,\mathrm{\text{км}}$.