Съдържание

BelPhO 2021, Областен етап, 10. клас — Задача 10-1. Упругий жгут

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2021

Республиканская физическая олимпиада 2021 год. (III этап). Теоретический тур. 10 класс.

Внимание: Бележка към темата

Восстановлен официальный ключ для жюри того же класса, тура и варианта. В нём сохранены печатные несогласованности: коэффициент k для половины жгута, ссылка «из (12)» и повтор «угловая скорость»; коэффициенты 5/3 и 2/2 в термодинамической формуле (4), коэффициент 3 для второго газа в (6)/(11), положительный член αT₀ΔT в таблице и знаменатель 5R+RαT₀+qα в (16), не согласующийся с (15); множитель 2πdL в формуле сопротивления изоляции и порядок 10⁻⁸ для отклонения корня при ε=3,6·10⁻⁴. Страницы 5–6 ключа содержат незавершённый блок решения кабеля; страницы 7–8 повторяют полный блок, дополнительный ответ 2.5 и оборванный повтор текста. Сохранены оба печатных блока и оригинальные грамматические ошибки. В условии последним является вопрос 2.4; дополнительный ответ ключа не превращён в новый вопрос. Числовые баллы, отдельные схемы оценивания и чистые бланки ответов не получены.

Правила выполнения

Полный комплект состоит из трех заданий.
Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.
При оформлении работы каждое задание начинайте с новой страницы. При недостатке бумаги обращайтесь к организаторам!
Подписывать рабочие листы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады.

Постарайтесь внимательно прочитать условия задач! Может, вам покажется, что условия задач слишком длинные. Но мы сочинили их такими, чтобы Вам было легче решать. Поверьте, иногда решения короче таких условий! Не теряйте присутствия духа, смело беритесь за решение каждой задачи. Помните, оцениваются не только полные решения, но и их отдельные части и даже отдельные здравые мысли.

Пакет заданий содержит:

титульный лист (1 стр.);
условия 3 теоретических задач (5 стр.);

Решения задач. 10 класс

X класс. Теоретический тур. Вариант 1.

Решения задач. Бланк для жюри.

Условие

Упругий жгут длиной $l_0$ выдерживает максимальную силу натяжения равную $F_{max}$ (при большей силе он разрывается). Масса жгута равна $m_0$ . Можно считать, что вплоть до разрыва деформация шнура (удлинение) $x$ связана с возникающей силой упругости $F$ по закону Гука

F = kx. \qquad (1)

где $k$ - известный коэффициент упругости жгута.

Жгут закреплён между двумя стенками (кирпичная кладка); исходное горизонтальное положение показано тонкой линией длины $l_0$, к середине провисшего жгута подвешен груз $m$; стрелкой отмечено провисание $h$, у правой опоры отмечен угол $\alpha$.

1. Провисание шнура

Жгут закреплен горизонтально между двумя точками подвеса, находящимися на расстоянии $l_0$ (равному длине жгута в недеформированном состоянии). К середине жгута подвешивают груз массы $m$ .

1.1 Найдите величину провисания жгута $h$ .

1.2 Какую максимальную массу груза может выдержать жгут при таком подвесе?

В данной части задачи массой жгута следует пренебречь, величину провисания, а также угол отклонения жгута $\alpha$ можно считать малыми. При малых углах справедливы следующие приближенные формулы

\begin{aligned} &\sin\alpha \approx \mathrm{tg}\,\alpha \approx \alpha \\ &\cos\alpha \approx 1 - \frac{\alpha^2}{2} \end{aligned} \qquad (2)

Кольцо из жгута (эллипс в перспективе) с вертикальной штрихпунктирной осью через центр; слева изогнутая стрелка вращения с обозначением $\omega$.

2. Вращающийся жгут

Из описанного жгута сделали круглое кольцо и раскрутили его до угловой скорости $\omega$ вокруг собственной оси.

2.1 Чему равна сила упругости (сила натяжения) жгута в этом случае?

2.2 До какой максимальной угловой скорости можно раскрутить жгут, чтобы он еще не разорвался?

2.3 Чему равна максимальная скорость вращения нерастяжимого кольца (при той же предельной силе натяжения)?

Решение

Решения задач. 10 класс

Задача 10-1. Упругий жгут

Часть 1. Провисание шнура

1.1 На рисунке показаны силы, действующие на точку крепления груза. Сила натяжения жгута обозначена $\vec T$ . Условие равновесия в проекции на вертикальную ось выражается уравнением

Оригинальная схема сил натяжения T, тяжести mg и провисания h с углами α и длиной l₀/2.

mg=2T\sin\alpha.\qquad (1)

Силу упругости жгута также можно выразить из закона Гука

T=kx=k\left(\frac{l_0}{2\cos\alpha}-\frac{l_0}2\right)=\frac{kl_0}2\left(\frac1{\cos\alpha}-1\right)\qquad (2)

Из этих выражений получаем уравнение для определения угла $\alpha$ :

mg=2\frac{kl_0}2\left(\frac1{\cos\alpha}-1\right)\sin\alpha\quad\Rightarrow\quad\frac{1-\cos\alpha}{\cos\alpha}\sin\alpha=\frac{mg}{kl_0}.\qquad (3)

Это уравнение может быть сведено к алгебраическому уравнению степени, большей, чем два. Поэтому для его решения проще воспользоваться приближением малых углов. В этом приближении (с учетом формул, приведенных в условии задачи) левую часть уравнения преобразуем к виду:

\frac{1-\cos\alpha}{\cos\alpha}\sin\alpha\approx\frac{1-\left(1-\frac{\alpha^2}2\right)}{1-\frac{\alpha^2}2}\alpha\approx\frac{\alpha^3}2

Тогда из уравнения (3) следует, что угол отклонения жгута от горизонтали задается формулой

\alpha=\sqrt[3]{\frac{2mg}{kl_0}}\qquad (4)

А провисание жгута оказывается равным

h=\frac{l_0}2\operatorname{tg}\alpha\approx\frac{l_0}2\alpha=\frac{l_0}2\sqrt[3]{\frac{2mg}{kl_0}}.\qquad (5)

1.2 Жгут разорвется, если сила его натяжения станет $T$ (формула (1)) равной максимальной силе $F_{max}$ . В формулах (1)-(2) воспользуемся приближением малых углов и решим полученную систему уравнений относительно массы груза, а затем вместо произвольной силы натяжения подставим ее предельное значение:

\begin{cases}mg=2T\sin\alpha\\T=\dfrac{kl_0}2\left(\dfrac1{\cos\alpha}-1\right)\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}mg=2T\alpha\\T=\dfrac{kl_0}2\dfrac{\alpha^2}2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}(mg)^2=4T^2\alpha^2\\T=\dfrac{kl_0}2\dfrac{\alpha^2}2\end{cases}\Rightarrow\frac{(mg)^2}T=\frac{16T^2}{kl_0}

Откуда следует окончательный результат:

\boxed{m_{max}=\frac4g\sqrt{\frac{F_{max}^3}{kl_0}}}\qquad (6)

Часть 2. Вращающийся жгут

2.1 Выделим мысленно на кольце небольшой участок $AB$ , видимый из центра кольца $O$ под малым углом $\Delta\varphi$ . Он движется по окружности с центростремительным ускорением

Полный выделенный участок AB вращающегося кольца, центр O, радиус R, угол Δφ/2 и стрелки сил T.

a=\omega^2R.\qquad (7)

Это ускорение ему сообщают силы упругости кольца $\vec T$ , приложенные к концам выделенного участка.

Запишем уравнение второго закона Ньютона для выделенного участка кольца в проекции на радиальное направление (с учетом малости угла $\Delta\varphi$ )

\Delta m\omega^2R=2T\frac{\Delta\varphi}2.\qquad (8)

Здесь $\Delta m=\frac{m_0}{2\pi}\Delta\varphi$ - масса выделенного участка. Заметим, что это выражение для массы не зависит от того, растянуто кольцо, или нет.

Подставляя это выражение для массы участка, получим выражение для силы натяжения кольца

T=\frac{m_0}{2\pi}\omega^2R.\qquad (9)

Это выражение не является окончательным ответом, так как в нем остается неизвестным радиус кольца, который увеличивается по мере раскручивания. Поэтому запишем формулу для силы натяжения, используя закон Гука:

T=k(2\pi R-l_0)\qquad (10)

Решая совместно уравнения (9)-(10) относительно силы натяжения $T$ , получим следующую формулу:

T=\frac{kl_0}{\dfrac{4\pi^2k}{m_0\omega^2}-1}\qquad (11)

Эта формула справедлива только при $\frac{4\pi^2k}{m_0\omega^2}-1>0$ , или при

\widetilde\omega_1<2\pi\sqrt{\frac{k}{m_0}}\qquad (12)

При больших угловых скоростях кольцо начнет расширяться вплоть до разрыва, так как силы упругости не в состоянии обеспечить нужное центростремительное ускорение всем частям кольца.

2.2 Итак, первое условие разрыва кольца – нарушение неравенства (12).

Считая, что неравенство (12) выполняется, а сила упругости, определяемая формулой (11) достигла максимального значения $F_{max}$ , выразим из (12) угловую скорость, при которой достигается эта сила натяжения:

F_{max}=\frac{kl_0}{\dfrac{4\pi^2k}{m_0\omega^2}-1}\quad\Rightarrow\quad\widetilde\omega_2=2\pi\sqrt{\frac{k}{m_0\left(1+\dfrac{kl_0}{F_{max}}\right)}}\qquad (13)

Заметим, что угловая скорость, определяемая по формуле (13) всегда меньше, скорости, задаваемой формулой (12). Поэтому окончательным ответом на поставленный вопрос является формула (13).

2.3 Переход к нерастяжимому жгуту может быть формально проведен с помощью формулы (13), если считать, что $k\Rightarrow\infty$ . В этом пределе максимальная угловая скорость угловая скорость описывается формулой

\widetilde\omega=2\pi\sqrt{\frac{F_{max}}{m_0l_0}}\qquad (14)

Впрочем, этот же результат непосредственно следует из уравнения (9), если положить, что длина окружности кольца равна длине жгута.

Оригинал в Архива: mgo-2021-tt10-var1-uslovija.pdf · официални решения: mgo-2021-tt10-var1-reshenija.pdf