Съдържание

BelPhO 2021, Областен етап, 10. клас — Задача 10-2. Термодинамика в химии

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2021

Республиканская физическая олимпиада 2021 год. (III этап). Теоретический тур. 10 класс.

Внимание: Бележка към темата

Восстановлен официальный ключ для жюри того же класса, тура и варианта. В нём сохранены печатные несогласованности: коэффициент k для половины жгута, ссылка «из (12)» и повтор «угловая скорость»; коэффициенты 5/3 и 2/2 в термодинамической формуле (4), коэффициент 3 для второго газа в (6)/(11), положительный член αT₀ΔT в таблице и знаменатель 5R+RαT₀+qα в (16), не согласующийся с (15); множитель 2πdL в формуле сопротивления изоляции и порядок 10⁻⁸ для отклонения корня при ε=3,6·10⁻⁴. Страницы 5–6 ключа содержат незавершённый блок решения кабеля; страницы 7–8 повторяют полный блок, дополнительный ответ 2.5 и оборванный повтор текста. Сохранены оба печатных блока и оригинальные грамматические ошибки. В условии последним является вопрос 2.4; дополнительный ответ ключа не превращён в новый вопрос. Числовые баллы, отдельные схемы оценивания и чистые бланки ответов не получены.

Правила выполнения

Полный комплект состоит из трех заданий.
Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.
При оформлении работы каждое задание начинайте с новой страницы. При недостатке бумаги обращайтесь к организаторам!
Подписывать рабочие листы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады.

Постарайтесь внимательно прочитать условия задач! Может, вам покажется, что условия задач слишком длинные. Но мы сочинили их такими, чтобы Вам было легче решать. Поверьте, иногда решения короче таких условий! Не теряйте присутствия духа, смело беритесь за решение каждой задачи. Помните, оцениваются не только полные решения, но и их отдельные части и даже отдельные здравые мысли.

Пакет заданий содержит:

титульный лист (1 стр.);
условия 3 теоретических задач (5 стр.);

Решения задач. 10 класс

X класс. Теоретический тур. Вариант 1.

Решения задач. Бланк для жюри.

Условие

В данной задаче рассматривается ряд процессов, (в т.ч. химических) с участием газов. Во всех частях задачи газы считать идеальными. Молярные теплоемкости газов при постоянном объеме считать не зависящими от температуры и равными ( $R$ - универсальная газовая постоянная):

одноатомного газа $c_1 = \frac{3}{2}R$ :

двухатомного газа $c_2 = \frac{5}{2}R$ ;

водяного пара $c_3 = \frac{6}{2}R$ .

При решении задачи можете пользоваться приближенной формулой

\frac{1+x}{1+y} \approx 1 + x - y,

справедливой при $x, y \ll 1$

1. Введение

Два одинаковых теплоизолированных сосуда объема $V$ соединены трубкой с краном. В одном сосуде находится одноатомный газ при температуре $T_1$ и под давлением $P_1$ ; во втором - двухатомный газ при температуре $T_2$ и под давлением $P_2$ .

1.1 Какая температура установится в сосудах, если открыть кран.

1.2 Найдите относительное изменение давления газовой смеси $\frac{\Delta P}{P}$ , если газам сообщить малое количество теплоты $Q$ .

2. Диссоциация газа

В сосуде находится один моль двухатомного газа при температуре $T_0$ . Газу сообщают небольшое количество теплоты $Q$ .

2.1 На сколько повысится температура газа $\Delta T_0$ , если его химический состав в процессе нагрева не изменяется.

Теперь вам необходимо учесть, что при нагревании двухатомного газа может происходить его диссоциация – молекула распадается на два атома. Пусть диссоциация начинается при температуре $T_0$ (той, при которой находится газ). В небольшом диапазоне температур больших $T_0$ степень диссоциации зависит от температуры по линейному закону

\eta = \alpha (T - T_0), \qquad (1)

где $\alpha$ - известный постоянный коэффициент. Степенью диссоциации называется отношение числа двухатомных молекул, распавшихся на атомы, к начальному числу таких молекул.
Для «развала» молекулы требуется дополнительная энергия (энергия диссоциации). Для данного газа молярная энергия диссоциации (энергия необходимая, чтобы разорвать один моль двухатомных молекул) равна $q$ .

2.2 Найдите изменение температуры $\Delta T$ одного моля двухатомного газа при сообщении ему некоторого количества теплоты $Q$ при учете частичной диссоциации молекул.
Считайте, что $\Delta T \ll T_0$ .

2.3 Какая из величин $\Delta T_0$ или $\Delta T$ больше? Укажите причины возникновения различия меду этими величинами.

3. Горение водорода.

В термоизолированном сосуде большого объема (чтоб его не разорвало) находится смесь, состоящая из одного моля кислорода и одного моля водорода, находящаяся при температуре $T_0$ . В сосуде происходит химическая реакции горения по схеме

2\mathrm{H_2} + \mathrm{O_2} = 2\mathrm{H_2O} + q. \qquad (2)

Реакция идет до конца (пока имеются необходимые реагенты). В уравнении химической реакции $q$ - количество теплоты, которое выделяется, при использовании 1 моля кислорода.

3.1 Найдите, какая температура установится в сосуде после прекращения реакции.

3.2 Предположим (чисто гипотетически), что тепловой выход реакции $q = 0$ . Что произойдет с температурой в этом случае, повысится или понизится? Кратко объясните почему.

Решение

Задача 10-2 Термодинамика в химии.

Часть 1. Введение

1.1 Так как сосуды теплоизолированные, и при смешивании газов работа не совершается, то внутренняя энергия газов сохраняется, что позволяет записать следующее балансное уравнение

c_1\nu_1T_1+c_2\nu_2T_2=(c_1\nu_1+c_2\nu_2)\bar T\qquad (1)

Используя уравнение состояния идеального газа

PV=\nu RT,\qquad (2)

можно выразить

\nu T=\frac{PV}R\quad\text{и}\quad\nu=\frac{PV}{RT}.\qquad (3)

Подставим в уравнение значения теплоемкостей газов и выражения (3), в результате получим

\frac32P_1V+\frac53P_2V=\left(\frac32\frac{P_1V}{T_1}+\frac22\frac{P_2V}{T_2}\right)\bar T.\qquad (4)

Из этого уравнения находим значение установившейся температуры:

\bar T=\frac{3P_1+5P_2}{3\dfrac{P_1}{T_1}+5\dfrac{P_2}{T_2}}.\qquad (5)

1.2 Суммарная теплоемкость смеси газов равна

C=\frac32R\nu_1+\frac52R\nu_2=\frac32\frac{P_1V}{T_1}+\frac32\frac{P_2V}{T_2}.\qquad (6)

Поэтому изменение температуры смеси при получении дополнительного количества теплоты равно

\Delta T=\frac QC\qquad (7)

Изменение давления можно связать с изменением температуры с помощью уравнения изохорного процесса

\frac{P+\Delta P}{T+\Delta T}=\frac PT.\qquad (8)

При малом количестве полученной теплоты изменения температуры и давления также могут быть малыми. Поэтому уравнение (8) можно упростить

\frac{P+\Delta P}{T+\Delta T}=\frac PT\frac{1+\dfrac{\Delta P}P}{1+\dfrac{\Delta T}T}\approx\frac PT\left(1+\frac{\Delta P}P-\frac{\Delta T}T\right).\qquad (9)

Из формул (8) и (9) следует, что на малом участке изохорного процесса выполняется соотношение

\frac{\Delta P}P=\frac{\Delta T}T\qquad (10)

Поэтому относительное изменение давления оказывается равным

\frac{\Delta P}P=\frac{\Delta T}{\bar T}=\frac{Q}{\dfrac32\dfrac{P_1V}{T_1}+\dfrac32\dfrac{P_2V}{T_2}}\frac{3\dfrac{P_1}{T_1}+5\dfrac{P_2}{T_2}}{3P_1+5P_2}=\frac{2Q}{(3P_1+5P_2)V}\qquad (11)

Часть 2. Диссоциация газа

2.1 В рассматриваемом случае вся поступившая теплота пошла на увеличение внутренней энергии газа, поэтому

\frac52R\Delta T_0=Q\quad\Rightarrow\quad\Delta T_0=\frac{2Q}{5R}.\qquad (12)

Пусть температура газа увеличилась на величину $\Delta T$ . Тогда в образовавшейся смеси образовалось

\nu_1=2\eta\nu_0=2\alpha\Delta T\qquad (13)

молей одноатомных молекул (напомним, $\nu_0=1$ ); и осталось

\nu_2=(1-\eta)\nu_0=1-\alpha\Delta T\qquad (14)

двухатомных молекул.

Для получения уравнение энергетического баланса в этом процессе должно включать следующие слагаемые (для наглядности мы его представим в виде бухгалтерской таблицы):

Полная оригинальная бухгалтерская таблица энергетического баланса: приход, расход, преобразования, все формулы и пустые клетки.

Приход	Расход	Преобразования
Начальная внутренняя энергия газа $\frac52RT_0$
Количество поступившей теплоты $Q$
	Внутренняя энергия смеси после нагревания $\frac32R\cdot2\alpha\Delta T(T_0+\Delta T)+\frac52R(1-\alpha\Delta T)(T_0+\Delta T)$	$\approx3R\alpha T_0\Delta T+\frac52R(T_0+\Delta T+\alpha T_0\Delta T)=\frac52RT_0+\frac52R\Delta T+\frac{11}2R\alpha T_0\Delta T$
	расход энергии на диссоциацию $q\alpha\Delta T$

При проведении преобразований мы пренебрегли величинами пропорциональными $(\Delta T)^2$ ввиду малости изменения температуры. Таким образом, уравнение энергетического баланса имеет вид

\frac52RT_0+Q=\frac52RT_0+\frac52R\Delta T+\frac{11}2R\alpha T_0\Delta T+q\alpha\Delta T.\qquad (15)

Из этого уравнения находим

\Delta T=\frac{2Q}{5R+R\alpha T_0+q\alpha}.\qquad (16)

2.3 Полученное значение оказывается меньше, чем рассчитанное без учета диссоциации. Это уменьшение разности температур обусловлено двумя причинами:

часть энергии израсходовано на диссоциацию молекул;
теплоемкость образовавшейся смеси больше, чем теплоемкость исходного газа.

Часть 3. Горение водорода.

3.1 В описанной реакции горения принимают участие 2 моля водорода и 1 моль кислорода. Так как, в сосуде изначально имеется только один моль водорода, то в реакцию вступит только 0,5 моля кислорода. Следовательно. после завершения реакции в сосуде будет содержаться один моль водяного пара и 0,5 моля кислорода.

Уравнение энергетического баланса в этом случае практически очевидно:

2\cdot\frac52RT_0+\frac12q=\frac62RT+\frac12\cdot\frac52RT.\qquad (17)

Из этого уравнения следует, что в сосуде установится температура

T=\frac{20RT_0+2q}{17R}.\qquad (18)

3.2 Из полученной формулы следует, что даже при $q=0$ температура в ходе реакции повышается. Причиной этого является уменьшение теплоемкости газов в ходе реакции.

Оригинал в Архива: mgo-2021-tt10-var1-uslovija.pdf · официални решения: mgo-2021-tt10-var1-reshenija.pdf