Съдържание

BelPhO 2021, Областен етап, 10. клас — Задача 10-3. Подводный телеграфный кабель

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2021

Республиканская физическая олимпиада 2021 год. (III этап). Теоретический тур. 10 класс.

Внимание: Бележка към темата

Восстановлен официальный ключ для жюри того же класса, тура и варианта. В нём сохранены печатные несогласованности: коэффициент k для половины жгута, ссылка «из (12)» и повтор «угловая скорость»; коэффициенты 5/3 и 2/2 в термодинамической формуле (4), коэффициент 3 для второго газа в (6)/(11), положительный член αT₀ΔT в таблице и знаменатель 5R+RαT₀+qα в (16), не согласующийся с (15); множитель 2πdL в формуле сопротивления изоляции и порядок 10⁻⁸ для отклонения корня при ε=3,6·10⁻⁴. Страницы 5–6 ключа содержат незавершённый блок решения кабеля; страницы 7–8 повторяют полный блок, дополнительный ответ 2.5 и оборванный повтор текста. Сохранены оба печатных блока и оригинальные грамматические ошибки. В условии последним является вопрос 2.4; дополнительный ответ ключа не превращён в новый вопрос. Числовые баллы, отдельные схемы оценивания и чистые бланки ответов не получены.

Правила выполнения

Полный комплект состоит из трех заданий.
Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.
При оформлении работы каждое задание начинайте с новой страницы. При недостатке бумаги обращайтесь к организаторам!
Подписывать рабочие листы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады.

Постарайтесь внимательно прочитать условия задач! Может, вам покажется, что условия задач слишком длинные. Но мы сочинили их такими, чтобы Вам было легче решать. Поверьте, иногда решения короче таких условий! Не теряйте присутствия духа, смело беритесь за решение каждой задачи. Помните, оцениваются не только полные решения, но и их отдельные части и даже отдельные здравые мысли.

Пакет заданий содержит:

титульный лист (1 стр.);
условия 3 теоретических задач (5 стр.);

Решения задач. 10 класс

X класс. Теоретический тур. Вариант 1.

Решения задач. Бланк для жюри.

Условие

В настоящее время подавляющий поток информации предается по спутниковым и оптическим каналам связи. Однако глобальная информатизация начиналась с трансатлантических телеграфных кабелей. Историю забывать не следует, поэтому данное задание посвящено изучению некоторых физических явлений, связанных с передачей электрических сигналов по кабелям на большие расстояния.

В задаче рассматривается одножильный медный кабель, диаметр цилиндрической жилы которого равен $d = 5{,}0$ мм. Медная жила покрыта резиновым изоляционным слоем толщиной $h = 1{,}0$ мм.

Удельное электрическое сопротивление меди $\rho_0 = 1{,}7 \cdot 10^{-8}$ Ом·м;

Удельное электрическое сопротивление резины $\rho_1 = 2{,}1 \cdot 10^{11}$ Ом·м

1. Введение.

1.1 Рассчитайте электрическое сопротивление $R$ медной жилы длины $L = 1{,}0$ км.

1.2 Рассчитайте электрическое сопротивление $r$ резинового изоляционного слоя той же длины, через который возможна утечка тока в окружающую среду (например, воду для подводного кабеля).

2. Уменьшение силы тока в кабеле и его утечка.

Не смотря на высокое сопротивление изоляционного слоя, часть тока протекает через изоляционный слой, что приводит к уменьшению силы тока в кабеле. Строгое решение задачи о распределении тока в кабеле с утечкой требует вывода и решения дифференциальных уравнений.
Поэтому в данной задаче мы будем использовать дискретную модель, представляющую бесконечную цепочку резисторов, соединенных по схеме, показанной на рисунке.

Бесконечная цепочка резисторов: верхняя линия с последовательными резисторами $R$, токи $I_0$, $I_1$, $I_2$ показаны стрелками над ними; между верхней и нижней линиями включены резисторы $r$ с напряжениями $U_1$, $U_2$; на входе слева напряжение $U_0$.

В этой схеме резисторы $R$ моделируют сопротивление центральной жилы кабеля, а резисторы $r$ - сопротивление изоляции. Считайте, что их численные значения такие, как найдены в п. 1.1 -1.2.
Пронумеруем все звенья цепи индексом $k = 0, 1, 2....$ Силы токов через резисторы $R$ обозначим $I_0, I_1, I_2...$ , а напряжения на резисторах $r$ - $U_0, U_1, U_2...$ . Напряжение на входе цепи обозначим $U_0$ .

2.1 Выразите силу тока в $k$ - том звене $I_k$ через напряжения $U_k$ и $U_{k+1}$ и параметры элементов цепи.

2.2 Получите соотношение, связывающее между собой напряжения $U_{k-1}, U_k, U_{k+1}$ и параметры элементов цепи.

Предположим, что последовательность напряжений $U_0, U_1, U_2...$ представляет собой геометрическую прогрессию. Тогда, напряжения на резисторах утечки можно записать в явном виде

U_k = U_0 \lambda^k \qquad (1)

2.3 Покажите. что сделанное предположение о виде зависимости (1) выполняется, найдите значение знаменателя прогрессии $\lambda$ . Рассчитайте его численное значение.

2.4 Оцените во сколько раз убывает напряжение и сила тока в кабеле на расстоянии $l = 2000$ км.

Решение

Задание 10-3. Подводный телеграфный кабель.

1. Введение.

1.1 Сопротивление центральной медной жилы рассчитывается по известной формуле

R=\rho_0\frac LS=\rho_0\frac{4L}{\pi d^2}=0{,}87\;\text{Ом}.\qquad (1)

1.2 Для расчета сопротивления изоляции необходимо учесть, что ток идет поперек изоляционного слоя, поэтому это сопротивление равно

r=\rho_1\frac h{2\pi dL}=6{,}7\cdot10^6\;\text{Ом}.\qquad (2)

2. Уменьшение силы тока в кабеле и его утечка.

2.1 По определению электрического напряжения, для каждой ячейки, состоящей из двух резисторов $r$ и одного резистора $R$ напряжение может быть представлено в виде

Оригинальная цепь в первом напечатанном блоке решения: резисторы R,r, токи I₀,I₁,I₂ и напряжения U₀,U₁,U₂.

U_k=I_kR+U_{k+1}\qquad (3)

Из этой формулы следует, что

I_k=\frac{U_k-U_{k+1}}R\qquad (4)

2.2 Рассматривая силы токов, входящих в каждый верхний узел цепи, можно записать

I_{k-1}=I_k+\frac{U_k}r.\qquad (5)

здесь $\frac{U_k}r$ - сила тока утечки в данном звене.

Если подставить выражения для сил токов (4) в формулу (5), то получим искомое соотношение между напряжениями

\frac{U_{k-1}-U_k}R=\frac{U_k}r+\frac{U_k-U_{k+1}}R.\qquad (6)

Его удобно представить в виде

U_{k-1}-\left(2+\frac Rr\right)U_k+U_{k+1}=0.\qquad (7)

2.3 Для проверки предположения о геометрической прогрессии, подставим явные выражения для напряжений $U_k=U_0\lambda^k$ в формулу (7):

U_0\lambda^{k-1}-\left(2+\frac Rr\right)U_0\lambda^k+U_0\lambda^{k+1}=0.\qquad (8)

После сокращения, получим квадратное уравнение для знаменателя прогрессии

\lambda^2-\left(2+\frac Rr\right)\lambda+1=0.\qquad (9)

Таким образом, предположение о геометрической прогрессии выполняется, если ее знаменатель $\lambda$ удовлетворяет уравнению (9). Решением этого уравнения являются числа

\lambda_{1,2}=1+\frac R{2r}\pm\sqrt{\left(1+\frac R{2r}\right)^2-1}\qquad (10)

Из двух корней этого уравнения следует выбрать корень со знаком «минус», так как второй корень оказывается больше 1. В этом случае напряжения и, следовательно, силы токов должны возрастать до бесконечности, что физически не возможно.

Аккуратное вычисление параметра $\lambda$ приводит к значению $\lambda=1-\varepsilon$ , где $\varepsilon=3{,}6\cdot10^{-4}$ .

Обратите внимание на интересную «игру» малых величин: отношение сопротивлений, входящих в формулу (10) величина порядка $10^{-8}$ , найденный по этой формуле корень отличается от единицы на величину порядка $10^{-8}$ . При умении правильно работать с малыми величинами этот результат можно получить следующим образом:

\lambda=1+\frac R{2r}-\sqrt{\left(1+\frac R{2r}\right)^2-1}=1+\frac R{2r}-\sqrt{\frac Rr+\left(\frac R{2r}\right)^2}\approx1-\sqrt{\frac Rr}

На последнем шаге отброшен малые величины

Задание 10-3. Подводный телеграфный кабель.

1. Введение.

1.1 Сопротивление центральной медной жилы рассчитывается по известной формуле

R=\rho_0\frac LS=\rho_0\frac{4L}{\pi d^2}=0{,}87\;\text{Ом}.\qquad (1)

r=\rho_1\frac h{2\pi dL}=6{,}7\cdot10^6\;\text{Ом}.\qquad (2)

2. Уменьшение силы тока в кабеле и его утечка.

Оригинальная повторная схема кабеля в полном втором блоке решения: все резисторы, узлы, стрелки токов и напряжения.

U_k=I_kR+U_{k+1}\qquad (3)

Из этой формулы следует, что

I_k=\frac{U_k-U_{k+1}}R\qquad (4)

2.2 Рассматривая силы токов, входящих в каждый верхний узел цепи, можно записать

I_{k-1}=I_k+\frac{U_k}r.\qquad (5)

здесь $\frac{U_k}r$ - сила тока утечки в данном звене.

Если подставить выражения для сил токов (4) в формулу (5), то получим искомое соотношение между напряжениями

\frac{U_{k-1}-U_k}R=\frac{U_k}r+\frac{U_k-U_{k+1}}R.\qquad (6)

Его удобно представить в виде

U_{k-1}-\left(2+\frac Rr\right)U_k+U_{k+1}=0.\qquad (7)

U_0\lambda^{k-1}-\left(2+\frac Rr\right)U_0\lambda^k+U_0\lambda^{k+1}=0.\qquad (8)

После сокращения, получим квадратное уравнение для знаменателя прогрессии

\lambda^2-\left(2+\frac Rr\right)\lambda+1=0.\qquad (9)

\lambda_{1,2}=1+\frac R{2r}\pm\sqrt{\left(1+\frac R{2r}\right)^2-1}\qquad (10)

Аккуратное вычисление параметра $\lambda$ приводит к значению $\lambda=1-\varepsilon$ , где $\varepsilon=3{,}6\cdot10^{-4}$ .

\lambda=1+\frac R{2r}-\sqrt{\left(1+\frac R{2r}\right)^2-1}=1+\frac R{2r}-\sqrt{\frac Rr+\left(\frac R{2r}\right)^2}\approx1-\sqrt{\frac Rr}

На последнем шаге отброшен малые величины, имеющие больший порядок, чем 0,5. Эта элементарная цепочка приближений дает тот же результат, что и громоздкий расчет по формуле (10)

2.4 Так как все наши расчеты приведены для одного звена длиной в 1 км, по расстоянию в 2000 км соответствует $N=2000$ звеньев. С помощью формулы для геометрической прогрессии, находим, что убывание напряжения в кабеле равно

\frac{U_{2000}}{U_0}=(1-\varepsilon)^N\approx0{,}5\qquad (11)

т.е примерно в 2 раза. Во столько же раз убывает и сила тока в кабеле.

Не смотря на то, что сопротивление утечки почти в 10 миллионов раз превышает сопротивлении основной жилы, на больших расстояния утечки тока оказываются существенными.

, имеющие больший порядок, чем 0,5.Эт а элемент арная цепочка приближений дает т от же результ ат , чт о и громоздкий расчет по формуле (10)

2.5 Так как все наши расчеты приведены для одного звена длиной в 1 км, по расстоянию в 2000 км соответствует $N=2000$ звеньев. С помощью формулы для геометрической прогрессии, находим, что убывание напряжения в кабеле равно

\frac{U_{2000}}{U_0}=(1-\varepsilon)^N\approx0{,}5\qquad (11)

т.е примерно в 2 раза. Во столько же раз убывает и сила тока в кабеле.

Не смотря на то, что сопротивление утечки почти в 10 миллионов раз превышает сопротивлении основной жилы, утечки тока оказываются существенными для длинного кабеля.

Оригинал в Архива: mgo-2021-tt10-var1-uslovija.pdf · официални решения: mgo-2021-tt10-var1-reshenija.pdf