Съдържание

BelPhO 2021, Областен етап, 11. клас — Задача 11-2. Поле пластин

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2021

Республиканская физическая олимпиада 2021 год. (III этап) Теоретический тур. 11 класс.

Внимание: Бележка към темата

Получен полный ключ для жюри того же 11 класса, теоретического тура и варианта 2. Три связанных задания сохранены целиком; все 31 старых объектов пунктов и 10 рисунков сохранены. Два пункта генератора 1.2/2.3 — вводные фразы, поэтому 31 объектам соответствуют 29 конечных запросов. Полный титульный лист восстановлен с повторным номером 3. В условии генератора перечень итоговых параметров не содержит ширину ленты l, хотя она задана в тексте/рисунке и используется в ключе. Исходные опечатки и спорные формулы ключа оставлены буквально: обратный знак разности углов в последней цепочке задачи 11.1; степень +1/2 в формуле (14) задачи 11-2; множитель z/R в ее формуле (18); коэффициент −σ/(2ε₀) в формуле (31), повторные заголовки 2.1, пропуск номера 36 и таблица 81%, 5,3%, 0,50%. Повторные номера 4/5 и исходные ссылки генератора сохранены. Заголовки нескольких графиков частично перекрыты в самом оригинале. Численные баллы, отдельная схема оценивания и дополнительные бланки ответов в полученных оригиналах отсутствуют.

Республиканская физическая олимпиада2021 год. (III этап). Теоретический тур. 11 класс.

XI класс. Теоретический тур. Вариант 2.

Полный комплект состоит из трех заданий.
Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.
При оформлении работы каждое задание начинайте с новой страницы. При недостатке бумаги обращайтесь к организаторам!
Подписывать рабочие листы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады.

Постарайтесь внимательно прочитать условия задач!

Может, вам покажется, что условия задач слишком длинные. Но мы сочинили их такими, чтобы Вам было легче решать. Поверьте, иногда решения короче таких условий! Не теряйте присутствия духа, смело беритесь за решение каждой задачи. Помните, оцениваются не только полные решения, но и их отдельные части и даже отдельные здравые мысли.

Данный комплект содержит:

титульный лист (1 стр.);
условия 3 теоретических задач (6 стр.).

Решения задач. 11 класс

Третий этап республиканской олимпиады по учебному предмету «Физика». 2020–2021 учебный год.

XI класс. Теоретический тур. Вариант 2.

Решения задач. Бланк для жюри.

Условие

В данной задаче вам предстоит рассмотреть электростатическое поле, создаваемое участками равномерно заряженных плоскостей.

Для рассмотрения подобных конфигураций часто пользуются понятием телесного угла $\Omega$ . Телесный угол $\Omega$ – это часть пространства, которая ограничена объединением всех лучей, выходящих из данной точки (вершины угла) и пересекающих некоторую поверхность (которая называется поверхностью, стягивающей данный телесный угол). Границей телесного угла является некоторая коническая поверхность. Телесный угол измеряется отношением площади части сферы с центром в вершине угла, которая вырезается этим телесным углом, к квадрату радиуса сферы: по аналогии с тем, как радианную меру угла определяют как отношение длины дуги, вырезаемой данным центральным углом, к радиусу окружности (Рис.1). Телесные углы измеряются в безразмерных величинах, называемых стерадианами (ср). $\Omega = 1$ ср равен телесному углу, вырезающему из сферы радиуса поверхность с площадью $R^2$ . Полная сфера образует телесный угол, равный $4\pi$ стерадиан (полный телесный угол), для вершины, расположенной внутри сферы, в частности, для центра сферы.

Сфера радиуса R с центром в вершине телесного угла Ω; конус, опирающийся на произвольную поверхность вне сферы, вырезает на сфере площадку S_сф. — Рис. 1

Часть 1. «Кусок» равномерно заряженной плоскости.

1.1 Покажите, что телесный угол, под которым «видна» небольшая часть плоскости (Рис.2) из точки наблюдения даётся выражением $\Delta\Omega = \dfrac{\Delta S\cos\theta}{r^2}$
где $\theta$ – угол между радиус-вектором, проведенным из центра данной площадки к точке наблюдения, и единичным вектором нормали $\vec{n}$ к поверхности.

Заряженная плоскость с малой площадкой ΔS и нормалью n; из точки наблюдения на расстоянии r площадка видна под телесным углом ΔΩ; в точке наблюдения вектор ΔE разложен на ΔE⊥ и ΔE∥, угол θ отмерен от вертикали. — Рис.2

1.2 Докажите, что составляющая вектора напряженности электростатического поля, перпендикулярная поверхности равномерно заряженного участка плоскости (Рис. 3), определяется выражением: $E_{\perp} = \dfrac{\sigma\Omega}{4\pi\varepsilon_0}$
где $\sigma$ – поверхностная плотность заряда, $\Omega$ – телесный угол, стягиваемый этим участком плоскости.

Заряженный участок плоскости с плотностью σ; из точки над ним, где показан вектор n, проведён конус к границе участка. — Рис.3

1.3 Найдите напряженность электростатического поля $E$ , создаваемого бесконечной плоскостью, по которой равномерно распределен заряд, поверхностная плотность которого равна $\sigma$ .

1.4 Найдите зависимость напряженности электростатического поля $E(z)$ равномерно заряженного диска радиуса $R$ с поверхностной плотностью $\sigma$ (Рис. 4) на его оси от расстояния $z$ до его центра. Укажите, как изменяется данное выражение при $z \gg R$ и при $z \ll R$ . Постройте схематический график полученной зависимости.

1.5 Пусть имеется бесконечная равномерно заряженная плоскость с круглым отверстием радиуса $R$ (Рис. 5). Найдите зависимость напряженности электростатического поля $E(z)$ на оси симметрии системы от расстояния $z$ до центра отверстия.
Укажите, как изменяется данное выражение при $z \gg R$ и при $z \ll R$ . Постройте схематический график полученной зависимости.

Тонкий заряженный диск радиуса R с плотностью σ; вдоль его оси пунктиром отложено расстояние z до точки, где показан вектор E. — Рис.4

Заряженная плоскость с плотностью σ и круглым отверстием радиуса R; вдоль оси отверстия отложено расстояние z до точки, где показан вектор E. — Рис.5

1.6 Найдите период малых колебаний точечного заряда $Q$ массы $m$ вблизи центра данного отверстия. Укажите, каким должен быть знак данного точечного заряда, чтобы подобное колебательное движение было возможным.

Часть 2. Плоский конденсатор

2.1. Найдите зависимость напряженности электростатического поля $E(z)$ между двумя бесконечными равномерно заряженными пластинами с поверхностной плотностью заряда $\sigma$ от расстояния до серединной плоскости между ними. Постройте график полученной зависимости.

Две параллельные бесконечные пластины с зарядами +σ и −σ; перпендикулярная им ось z. — Рис.6

2.2. Пусть плоский конденсатор представлен в виде двух круглых равномерно заряженных пластин с поверхностной плотностью заряда $\sigma$ . Найдите напряженность $E(z)$ электростатического поля на оси данной системы в зависимости от расстояния до середины отрезка, соединяющего центры пластин конденсатора. Постройте схематический график полученной зависимости. Укажите, как изменяется данное выражение при $z \gg R$ .

Две круглые пластины радиуса R с зарядами +σ и −σ на общей вертикальной оси; отмечена середина отрезка между их центрами и расстояние между пластинами.

2.3. Найдите относительную погрешность при расчете напряженности при $z = 0$ без учета конечных размеров пластин конденсатора по сравнению с результатами, полученными в пункте 2.2, при а) $R = h$ ; б) $R = 10h$ ; в) $R = 100h$ .

Подсказка: Телесный угол, соответствующий круговому конусу с углом полураствора $\alpha$ определяется по формуле: $\Omega = 2\pi(1 - \cos\alpha)$ .

Решение

Часть 1

1.1. Рассмотрим выражение

\Delta S\cos\theta:\qquad (1)

данное выражение представляет проекцию площади участка на плоскость перпендикулярную вектору $\vec r$ . В силу малости участка можно считать, что выражение (1) есть часть площади поверхности сферы радиуса $r$ , которая стягивает телесный угол $\Delta\Omega$ . Тогда пользуясь определением телесного угла, находим:

\Delta\Omega=\frac{\Delta S\cos\theta}{r^2}\qquad (2)

1.2. Разобьём всю плоскую площадку на малые участки $\Delta S$ . Заряд такого участка:

\Delta q=\sigma\Delta S\qquad (3)

Величина напряженности электростатического поля, создаваемого данным участком, определяется выражением:

\Delta E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\Delta q}{r^2}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\sigma\Delta S}{r^2}\qquad (4)

Компонента поля $\Delta E_\perp$ , перпендикулярная заряженной плоскости, тогда (см.рис.1):

\Delta E_\perp=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\sigma\Delta S}{r^2}\cos\theta\qquad (5)

Воспользовавшись выражением (2), доказанном в п.1.1, получаем:

\Delta E_\perp=\frac{\sigma\Delta\Omega}{4\pi\varepsilon_0}\qquad (6)

Согласно принципу суперпозиции для вектора напряженности электростатического поля, находим, что:

\vec E=\sum\Delta\vec E\ \rightarrow\ E_\perp=\sum\Delta E_\perp=\sum\frac{\sigma\Delta\Omega}{4\pi\varepsilon_0}=\frac{\sigma}{4\pi\varepsilon_0}\sum\Delta\Omega=\frac{\sigma\Omega}{4\pi\varepsilon_0}.\qquad (7)

1.3. Бесконечная равномерно заряженная плоскость стягивает телесный угол

\Omega=2\pi\qquad (8)

Тогда в соответствии с (7):

E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\qquad (9)

хорошо известный результат!

1.4. Изобразим на рис.2 конус, ограничивающий телесный угол, под которым «виден» равномерно заряженный диск. Угол полураствора данного конуса определяется выражением:

\cos\alpha=\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\qquad (10)

Тогда телесный угол при вершине построенного конуса можно определить, воспользовавшись подсказкой:

\Omega=2\pi\left(1-\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\right)\qquad (11)

Величина перпендикулярной компоненты напряженности электростатического поля в соответствии с (7):

E_\perp(z)=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(1-\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\right)\qquad (12)

Из осевой симметрии системы следует, что вектор напряженности поля направлен вдоль оси диска, поэто формула (12) дает и модуль вектора напряженности поля:

E(z)=E_\perp(z)=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(1-\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\right)\qquad (12')

При $z\ll R$ получаем приближенное выражение

E(z)\approx\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(1-\frac{z}{R}\right),\qquad (13)

видим, что величина напряженности поля линейно убывает.

В другом предельном случае $z\gg R$ получаем:

\begin{aligned} E(z)&=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(1-\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\right)=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(1-\left(1+\frac{R^2}{z^2}\right)^{\frac12}\right)\\ &\approx\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(1-\left(1-\frac12\frac{R^2}{z^2}\right)\right)=\frac{\sigma\pi R^2}{4\pi\varepsilon_0z^2}=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0z^2},\qquad (14) \end{aligned}

т.е. на большом удалении поле диска совпадает с полем точечного заряда.

Для построения графика (рис.3) зависимости $E(z)$ воспользуемся относительными координатами:

E'=\frac{E}{\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}},\quad\xi=\frac{z}{R}

На графике также отображены приближения: при $z\ll R\leftrightarrow\xi\ll1$ и $z\gg R\leftrightarrow\xi\gg1$ .

1.5. Для получения ответа в данном пункте определим, под каким телесным углом «видна» часть бесконечной равномерно заряженной плоскости без отверстия:

\Omega'=\Omega_{\text{пл}}-\Omega_{\text{диска}}=2\pi\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\qquad (15)

Тогда величина напряженности поля на оси симметрии данной системы в соответствии с (7):

E=\frac{\sigma\Omega'}{4\pi\varepsilon_0}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\qquad (16)

При $z\ll R$ :

E(z)\approx\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\frac{z}{R},\qquad (17)

видим, что величина напряженности поля линейно возрастает.

При $z\gg R$ :

E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(1+\frac{R^2}{z^2}\right)^{-\frac12}\approx\frac{\sigma z}{2\varepsilon_0R}\left(1-\frac{R^2}{2z^2}\right),\qquad (18)

поле совпадает с полем бесконечной равномерно заряженной плоскости и отрицательного точечного заряда.

Для построения графика (рис.4) зависимости $E(z)$ опять воспользуемся относительными координатами:

E'=\frac{E}{\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}},\quad\xi=\frac{z}{R}.

На графике также отображены приближения при $z\ll R\leftrightarrow\xi\ll1$ и $z\gg R\leftrightarrow\xi\gg1$ .

1.6. Для возникновения колебаний нужна возвращающая сила, в нашем случае, заряд должен притягиваться к центру отверстия вдоль оси, следовательно, это должен быть отрицательный заряд:

Q<0\qquad (19)

Сила, действующая на точечный заряд $Q$ в электростатическом поле $\vec E$ , определяется выражением:

\vec F=Q\vec E\qquad (20)

Запишем тогда 2-ой закон Ньютона для заряда $Q$ , находящегося на оси симметрии системы на малом расстоянии $z\ll R$ от центра отверстия:

m\vec a=Q\vec E(z)\qquad (21)

В проекциях на ось $Oz$ :

ma_z=-|Q|E(z)=-|Q|\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\frac{z}{R}\qquad (22)

Преобразуем (22), чтобы получить уравнение гармонических колебаний:

a_z+\frac{\sigma|Q|}{2\varepsilon_0mR}z=0\qquad (23)

И тогда для циклической частоты и периода гармонических колебаний можем записать:

\omega_0=\sqrt{\frac{\sigma|Q|}{2\varepsilon_0mR}},\quad T=\frac{2\pi}{\omega_0}=2\pi\sqrt{\frac{2\varepsilon_0mR}{\sigma|Q|}}\qquad (24)

Часть 2.

2.1 Бесконечные равномерно заряженные пластины создают одинаковое по модулю однородное электростатическое поле:

E^+=E^-=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\qquad (25)

В соответствии с рисунком 5 электростатическое поле снаружи отсутствует ввиду того, что $E^+$ и $E^-$ одинаковы по модулю и противоположны по направлению. Величина напряженности электростатического поля между пластинами определяется суммой модулей $E^+$ и $E^-$ , так как между пластинами их направления совпадают.

E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\qquad (26)

2.1 Рассмотрим вначале поле между пластинами конденсатора. Проведем вспомогательные конические поверхности (рис.7а), ограничивающие телесные углы, которые стягиваются пластинами конденсатора.

Тогда положительной пластине соответствует угол полураствора конуса $\alpha$ , а отрицательной – $\beta$ .

Определим косинусы этих углов для расчета телесных углов: