Съдържание

BelPhO 2021, Областен етап, 11. клас — Задача 11-3. Электрогенератор и электродвигатель

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2021

Республиканская физическая олимпиада 2021 год. (III этап) Теоретический тур. 11 класс.

Внимание: Бележка към темата

Получен полный ключ для жюри того же 11 класса, теоретического тура и варианта 2. Три связанных задания сохранены целиком; все 31 старых объектов пунктов и 10 рисунков сохранены. Два пункта генератора 1.2/2.3 — вводные фразы, поэтому 31 объектам соответствуют 29 конечных запросов. Полный титульный лист восстановлен с повторным номером 3. В условии генератора перечень итоговых параметров не содержит ширину ленты l, хотя она задана в тексте/рисунке и используется в ключе. Исходные опечатки и спорные формулы ключа оставлены буквально: обратный знак разности углов в последней цепочке задачи 11.1; степень +1/2 в формуле (14) задачи 11-2; множитель z/R в ее формуле (18); коэффициент −σ/(2ε₀) в формуле (31), повторные заголовки 2.1, пропуск номера 36 и таблица 81%, 5,3%, 0,50%. Повторные номера 4/5 и исходные ссылки генератора сохранены. Заголовки нескольких графиков частично перекрыты в самом оригинале. Численные баллы, отдельная схема оценивания и дополнительные бланки ответов в полученных оригиналах отсутствуют.

Республиканская физическая олимпиада2021 год. (III этап). Теоретический тур. 11 класс.

XI класс. Теоретический тур. Вариант 2.

Полный комплект состоит из трех заданий.
Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.
При оформлении работы каждое задание начинайте с новой страницы. При недостатке бумаги обращайтесь к организаторам!
Подписывать рабочие листы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады.

Постарайтесь внимательно прочитать условия задач!

Может, вам покажется, что условия задач слишком длинные. Но мы сочинили их такими, чтобы Вам было легче решать. Поверьте, иногда решения короче таких условий! Не теряйте присутствия духа, смело беритесь за решение каждой задачи. Помните, оцениваются не только полные решения, но и их отдельные части и даже отдельные здравые мысли.

Данный комплект содержит:

титульный лист (1 стр.);
условия 3 теоретических задач (6 стр.).

Решения задач. 11 класс

Третий этап республиканской олимпиады по учебному предмету «Физика». 2020–2021 учебный год.

XI класс. Теоретический тур. Вариант 2.

Решения задач. Бланк для жюри.

Условие

Часть 1. Генератор

На рисунке показана конструкция генератора электрического тока. Замкнутая проводящая лента 1 ширины $l$ натянута на два горизонтальных цилиндра 2 и 2’, которые могут вращаться вокруг горизонтальных осей (трениям в осях можно пренебречь). Радиусы цилиндров равны $r_0$ . Трение ленты о цилиндры таково, что при ее движении, она не проскальзывает по поверхности цилиндров. Трение в осях цилиндров пренебрежимо мало. В верхней части лента скользит между двумя электрическими контактами 3 и 3’. Между контактами с помощью постоянных магнитов (на рисунке не показаны) создано однородное магнитное поле, индукция которого равна $\vec{B}$ ), направленное перпендикулярно плоскости ленты. К контактам подключена цепь нагрузки, электрическое сопротивление которой равно $R$ . Электрическим сопротивлением ленты, скользящих контактов и соединительных проводов можно пренебречь. Также можно пренебречь индуктивностью данной установки.

Генератор: проводящая лента 1 ширины l натянута на цилиндры 2 и 2′ радиуса r₀; в верхней части лента проходит между контактами 3 и 3′, подключёнными к нагрузке R; вертикальный вектор B; на валу 4 радиуса r₁ намотана нить с грузом 5 массы m.

К одному из цилиндров жестко присоединен вал 4 радиуса $r_1$ . На вал намотана крепкая нить, к концу которой прикреплен груз 5 массы $m$ . При опускании груза лента приходит в движение, а в цепи нагрузки возникает электрический ток. Ускорение свободного падения равно $g$ .

Вам необходимо рассчитать характеристики описанного электрического генератора. Все итоговые формулы должны быть выражены через параметры, которые заданы в условии задачи ( $m, R, B, r_0, r_1, g$ ).

1.1 Покажите, что в данном устройстве реализуется стационарный (установившейся) режим, когда скорости движения груза и ленты, а также сила тока в цепи нагрузки остаются постоянными.

1.2 Рассчитайте следующие характеристики описанного генератора в стационарном режиме:

1.2.1 скорости движения ленты $v_0$ и груза $v$ ;

1.2.2 ЭДС генератора $\varepsilon$ и силу тока $I$ через нагрузку;

1.2.3 мощность тока $P$ , выделяющуюся в нагрузке;

1.2.4 КПД генератора $\eta$ (самостоятельно укажите, что Вы понимаете под КПД генератора).

Часть 2. Электродвигатель

Электрические генераторы и двигатели обратимы. Так описанное устройство может работать как электродвигатель. Для этого вместо нагрузки $R$ к скользящим контактам следует подсоединить источник постоянного тока. В вашем распоряжении имеется такой источник, ЭДС которого равно $\varepsilon_0$ , а внутреннее сопротивление $R$ .

2.1 Укажите полярность подключения источника, при которой груз может подниматься.

2.2 Покажите, что данный электродвигатель также может работать в стационарном режиме.

2.3 Рассчитайте следующие характеристики электродвигателя в стационарном режиме:

2.3.1 минимальное значение ЭДС источника $\varepsilon_{0\min}$ , при которой груз начнет подниматься (далее считайте, что $\varepsilon_0 > \varepsilon_{0\min}$ );

2.3.2 силу тока $I$ через источник;

2.3.3 скорость подъема груза $v$ ;

2.3.4 механическую мощность $P$ , развиваемую двигателем;

2.3.5 КПД двигателя $\eta$ (укажите, что такое КПД в этом случае);

Решение

Часть 1. Генератор

1.1 Пусть в некоторый момент времени скорость ленты равна $v_0$ . Тогда со стороны магнитного поля на заряженные частицы (носители тока) в проводящей ленте действует сила Лоренца, модуль которой равен

F_{\text{Л}}=qv_0B\qquad (1)

Эта сила приводит к возникновению электрического тока, который в соответствии с «правилом левой руки» направлен перпендикулярно ленте, как показано на рисунке. Сила Лоренца в данном случае выступает в роли сторонней силы, ЭДС которой равна

\varepsilon=\frac{F_{\text{Л}}l}{q}=v_0Bl.\qquad (2)

Сила возникающего тока по закону Ома равна

I=\frac{\varepsilon}{R}=\frac{v_0Bl}{R}.\qquad (3)

Этот взаимодействует с магнитным полем, что приводит к появлению силы Ампера $\vec F_A$ , которая направлена в сторону, противоположную скорости движения ленты (опять «правило левой руки»). Модуль этой силы равен

F_A=IBl=\frac{B^2l^2}{R}v_0.\qquad (4)

Таким образом, в процессе движения ленты возникает сила, направленная противоположная ее скорости и пропорциональная ей. Эта сила подобна силе вязкого трения (ее часто называют «магнитной вязкостью»). Поэтому на ленту действует постоянная сила, обусловленная силой тяжести подвешенного груза, и сила вязкого трения. В результате действия этих сил скорость ленты стабилизируется и достигает некоторого постоянного значения.

1.2.1 Для определения скорости установившегося движения рассмотрим силы, действующие на цилиндр с валом. Это найденная сила Ампера и сила натяжения нити. Когда лента и груз движутся с постоянными скоростями, сила натяжения нити равна силе тяжести $m\vec g$ , действующей на груз. Так как цилиндр вращается с постоянной скоростью, то суммарный момент сил, действующих на него равен нулю, поэтому справедливо соотношение

mgr_1=F_Ar_0\qquad (5)

Используя формулу (4) для силы Ампера, получим выражение

mgr_1=\frac{B^2l^2}{R}v_0r_0.\qquad (4)

Из которого находим скорость движения ленты

v_0=\frac{mgR}{B^2l^2}\frac{r_1}{r_0}.\qquad (5)

Скорость опускания груза найдем из очевидного соотношения

\frac{v_0}{r_0}=\frac{v}{r_1}\quad\Rightarrow\quad v=\frac{r_1}{r_0}v_0=\frac{mgR}{B^2l^2}\left(\frac{r_1}{r_0}\right)^2.\qquad (5)

1.2.2 Для расчета ЭДС воспользуемся формулой (2) и найденным значением скорости движения ленты (5):

\varepsilon=v_0Bl=\frac{mgR}{Bl}\frac{r_1}{r_0}.\qquad (6)

Сила тока рассчитывается по закону Ома (3):

I=\frac{\varepsilon}{R}=\frac{mg}{Bl}\frac{r_1}{r_0}.\qquad (7)

Интересно отметить, что сила тока в цепи нагрузки не зависит от ее сопротивления и пропорциональна массе подвешенного груза.

1.2.3 Мощность тока в нагрузке рассчитывается по закону Джоуля – Ленца:

P=I^2R=\left(\frac{mg}{Bl}\frac{r_1}{r_0}\right)^2R.\qquad (8)

1.2.4 Данный генератор преобразует потенциальную энергию опускающегося груза в теплоту, выделяющуюся на резисторе Поэтому КПД установки можно определить как отношение мощности, выделяющейся на нагрузке, к мощности силы тяжести $P_0=mgv$ :

\eta=\frac{P}{P_0}=\frac{\left(\frac{mg}{Bl}\frac{r_1}{r_0}\right)^2R}{mg\cdot\frac{mgR}{B^2l^2}\left(\frac{r_1}{r_0}\right)^2}=1=100\%.\qquad (9)

Комментарий к решению Части 1.

Могут вызывать недоумение полученные зависимости: ЭДС, сила тока, мощность генератора возрастают при уменьшении индукции магнитного поля!? А что будет, если «убрать» магнитное поле $B=0$ ? Однако в решении рассматривается установившийся режим. В этом режиме при $B\to0$ (в рамках сделанных предположений) скорости установившегося движения стремятся к бесконечности, иными словами рассматриваемый стационарный режим не возникает.

Часть 2. Электродвигатель.

Электродвигатель и электрогенератор «взаимно обратные» машины, поэтому расчет характеристик двигателя проведем без излишних (повторяющихся) комментариев.

2.1 В данном случае сила Ампера является «движущей» в механическом смысле. Используя правило левой руки не сложно определить необходимое направления тока через ленту и полярность подключения источника. Результат – показан на рисунке.

2.2 Теперь запишем уравнения, описывающие работу двигателя.

Сила Ампера, тянущая ленту:

F_A=IBl.\qquad (10)

Сила тока в цепи

I=\frac{\varepsilon_\Sigma}{R}=\frac{\varepsilon_0-v_0Bl}{R}.\qquad (11)

Условие равенства моментов сил на валу:

mgr_1=F_Ar_0.\qquad (12)

Уравнение для определения скорости движения ленты (просто подстановки):

\frac{\varepsilon_0-v_0Bl}{R}Blr_0=mgr_1.\qquad (13)

Формула для установившейся скорости (решение уравнения (13)):

v_0=\frac{\left(\varepsilon_0-\frac{mgRr_1}{Blr_0}\right)}{Bl}\qquad (14)

Скорость подъема груза:

\frac{v_0}{r_0}=\frac v{r_1}\quad\Rightarrow\quad v=\frac{r_1}{r_0}v_0=\frac{\left(\varepsilon_0-\frac{mgRr_1}{Blr_0}\right)}{Bl}\frac{r_1}{r_0}\qquad (15)

Таким образом, мы показали, что существует стационарный режим.

2.3 Рассчитаем требуемые характеристики двигателя.

2.3.1 Минимальное значение ЭДС источника $\varepsilon_{0\min}$ , при которой груз начнет подниматься, находим из условия, что скорость подъема груза становится больше нуля:

\varepsilon_{0\min}=\frac{mgRr_1}{Blr_0}.\qquad (16)

2.3.2 Сила тока $I$ через источник определяем с помощью формул (11) и (14):

I=\frac{\varepsilon_\Sigma}{R}=\frac{\varepsilon_0-v_0Bl}{R}=\frac{\varepsilon_0-\left(\varepsilon_0-\frac{mgRr_1}{Blr_0}\right)}{R}=\frac{mgr_1}{Blr_0}\qquad (17)

Сравните с формулой (6)!

2.3.3 Скорость подъема груза определена ранее – формула (15).

2.3.4 Механическая мощность $P$ , развиваемая двигателем:

P=mgv=mg\frac{\left(\varepsilon_0-\frac{mgRr_1}{Blr_0}\right)}{Bl}\frac{r_1}{r_0}=\frac{mg}{Bl}\left(\varepsilon_0-\frac{mgRr_1}{Blr_0}\right)\frac{r_1}{r_0}.\qquad (18)

2.3.5 КПД двигателя определяется как отношение механической мощности, развиваемой двигателем, к мощности источника тока $P_0=\varepsilon I$ :

\eta=\frac{mgv}{\varepsilon_0I}=\frac{mg\frac{\left(\varepsilon_0-\frac{mgRr_1}{Blr_0}\right)}{Bl}\frac{r_1}{r_0}}{\varepsilon_0\frac{mgr_1}{Blr_0}}=\frac{\varepsilon_0-\frac{mgRr_1}{Blr_0}}{\varepsilon_0}=\frac{\varepsilon_0-\varepsilon_{0\min}}{\varepsilon_0}=1-\frac{\varepsilon_{0\min}}{\varepsilon_0}.\qquad (19)

КПД оказался меньше 1, так как имеются потери, связанные с выделением теплоты на источнике, обладающим внутренним сопротивлением $R$ . При $R=0$ КПД достигает единицы.

Полная схема магнитной силы ленты сB,l,I,F_A,v₀ и всеми стрелками.

Полный цилиндр с валом, r₀,r₁,F_A,v₀, грузом и полными стрелкамиv,mg.

Полная схема двигателя с полярностью источника,1–5/2′/3′,B,I,F_A,v,l,r₀,r₁,m.

Оригинал в Архива: mgo-2021-tt11-var2-uslovija.pdf · официални решения: mgo-2021-tt11-var2-reshenija.pdf