Съдържание

BelPhO 2021, Областен етап, 9. клас — Задача 9-2. Почему линии электропередач высоковольтные?

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2021

Республиканская физическая олимпиада 2021 год. (III этап) Теоретический тур. 9 класс.

Внимание: Бележка към темата

Получен ключ для жюри того же класса, тура и варианта. Три связанных задания сохранены целиком. В ключе собаки после пункта 3.2 напечатан пункт 3.3, хотя условие заканчивается 3.2; исходная нумерация сохранена. В ключе электропередачи численный результат для вопроса 3.4 приведен внутри 3.3, а для вопроса 2.3 напечатаны напряжение 40 В и потери 82%, без отдельного численного ответа о реальной мощности потребителя. В ключе тени в формуле (5) используются y₁, y₂, но в пояснении дважды напечатано y₁; ссылки на (5)/(6) и результат H = 6,5 см сохранены буквально. Оригинальный фотобланк получен и сохранен; на нем напечатан ошибочный номер 9.1 вместо 9-3. Числовые баллы и отдельная схема оценивания в полученных оригиналах отсутствуют.

Инструкции

Полный комплект состоит из трех заданий.
Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.
При оформлении работы каждое задание начинайте с новой страницы. При недостатке бумаги обращайтесь к организаторам!
Подписывать рабочие листы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады.

Постарайтесь внимательно прочитать условия задач!
Может, вам покажется, что условия задач слишком длинные. Но мы сочинили их такими, чтобы Вам было легче решать. Поверьте, иногда решения короче таких условий! Не теряйте присутствия духа, смело беритесь за решение каждой задачи. Помните, оцениваются не только полные решения, но и их отдельные части и даже отдельные здравые мысли.

Пакет заданий содержит:

титульный лист (1 стр.);
условия 3 теоретических задач (5 стр.);
бланк к задаче 9-3 (1 стр.)

Решения задач. 9 класс

IX класс. Теоретический тур. Вариант 1.

Решения задач. Бланк для жюри.

Условие

Часть 1. Элементарное введение.

Мощность любого электроприбора зависит от подаваемого напряжения. Поэтому каждый такой прибор рассчитывается на определенное напряжение $U_0$ , при котором работа прибора является оптимальной. Такое напряжение называется номинальным, а развиваемая при этом напряжении мощность называется номинальной мощностью. Именно эти характеристики указываются в паспорте прибора.

В данной задаче используются следующие приближения:

напряжение источника постоянно и не зависит от сопротивления подключенной к нему цепи;
сопротивления проводов и электрических приборов (нагрузки) постоянны и не зависят от силы протекающих токов;

1.1 Номинальная мощность электрической лампочки равна $P = 100\ \mathrm{Вт}$ , при номинальном напряжении $U_0 = 220\ \mathrm{В}$ . Чему равно электрическое сопротивление этой лампочки?

Схема: источник U0, подключённый к одной лампочке P.

1.2 Две лампочки с номинальными мощностями (при номинальном напряжении $U_0 = 220\ \mathrm{В}$ ) $P_1 = 100\ \mathrm{Вт}$ и $P_2 = 60\ \mathrm{Вт}$ соединены параллельно и подключены к источнику напряжения $U_0 = 220\ \mathrm{В}$ . Чему равна суммарная мощность такой цепи?

Схема: источник U0 и две параллельно соединённые лампочки P1 и P2.

1.3 Эти же лампочки соединили последовательно и подключили к тому же источнику. Чему равна суммарная мощность в этой цепи?

Схема: источник U0 и последовательно соединённые лампочки P1 и P2.

Часть 2. Линия электропередачи.

При передаче электроэнергии заметная ее часть теряется в проводах. Рассмотрим простейшую схему линии передач, состоящую из источника постоянного напряжения $U_0$ , проводной линии передачи (ее общее сопротивление равно $r$ ) и полезной нагрузки сопротивлением $R$ .

Схема: источник U0, последовательно соединённые резистор r (линия передачи) и резистор R (нагрузка).

2.1 Найдите электрическое напряжение на полезной нагрузке.

2.2 Рассчитайте коэффициент потерь линии электропередачи (отношение мощности, которая теряется в проводах к мощности, развиваемой источником).

2.3 Пусть электроэнергия предается от источника напряжения $U_0 = 220\ \mathrm{В}$ на расстояние 5,0 км по медным проводам с диаметром поперечного сечения $d = 1{,}0\ \mathrm{мм}$ . Номинальная мощность нагрузки потребителя $P_{\text{ном}} = 1{,}0\ \mathrm{кВт}$ . Рассчитайте реальную мощность, получаемую потребителем, и коэффициент потерь в этой цепи.
Удельное электрическое сопротивление меди $\rho = 1{,}7 \cdot 10^{-8}\ \mathrm{Ом \cdot м}$

Часть 3. Линия с преобразованием напряжения.

Для уменьшения потерь электроэнергии увеличивают напряжение в подводящих проводах. В настоящее время вся электроэнергетика построена на основе переменного тока, основное достоинство которого и заключается в возможности достаточно просто преобразовывать напряжение с помощью трансформаторов. Изучение трансформаторов не входит в наши планы, поэтому мы воспользуемся простой моделью. Будем считать, что в нашем распоряжении имеется ПН (преобразователь напряжения) – устройство, преобразующее напряжение $U_0$ на входе в напряжение $U = kU_0$ на выходе без потери мощности тока. Коэффициент $k$ называется коэффициентом трансформации.

Блок ПН (преобразователь напряжения) с коэффициентом k: слева входное напряжение U0, справа выходное U.

Тогда схема линии электропередач включает следующие элементы:
Электрический ток, создаваемый источником напряжения $U_0$ (по-прежнему, считаем его идеальным, т.е. напряжение на источнике не зависит от сопротивления внешней среды) подается на повышающий преобразователь напряжения с коэффициентом трансформации $k$ ; это повышенное напряжение подается на линию передачи (сопротивление которой равно $r$ ); после линии передачи устанавливается понижающий преобразователь напряжения с коэффициентом трансформации $\dfrac{1}{k}$ (подавать высокое напряжение непосредственно потребителю нельзя по причинам безопасности); после этого ток при пониженном напряжении поступает потребителю (сопротивление нагрузки которого обозначаем $R$ ).

Схема линии: источник U0 → повышающий ПН с коэффициентом k → резистор линии r → понижающий ПН с коэффициентом 1/k → нагрузка R.

3.1 Найдите напряжение на нагрузке и силу тока через него в такой схеме линии электропередачи.

3.2 Какую замену в параметрах цепи можно провести, чтобы воспользоваться формулами, полученными в Части 2?

3.3 Рассчитайте коэффициент потерь в этой линии электропередачи.

3.4 Рассчитайте значение коэффициента потерь в цепи с преобразованием напряжения (при $k = 1000$ ) и значениями сопротивлений линии и нагрузки, рассчитанными в п. 2.3.

Решение

Задача 9.2. Почему линии электропередач высоковольтные?

Часть 1. Элементарное введение.

1.1 Мощность электрического тока рассчитывается по формуле

P=\frac{U_0^2}{R},\qquad (1)

Откуда следует, что сопротивление лампочки равно

R=\frac{U_0^2}{P}=484\ \text{Ом},\qquad (2)

1.2 Так как напряжения на обеих лампочках номинальное, то они работают в номинальном режиме, поэтому суммарная мощность просто равна сумме мощностей:

P_\Sigma=P_1+P_2=160\ \text{Вт}.\qquad (3)

1.3 При последовательном соединении лампочек сила тока через них одинакова, поэтому суммарную мощность удобнее представить в виде

P_\Sigma=I^2R_1+I^2R_2=I^2(R_1+R_2).\qquad (4)

Сопротивления лампочек выразим через их номинальные мощности с помощью формулы (2):

P_\Sigma=I^2(R_1+R_2)=I^2\left(\frac{U_0^2}{P_1}+\frac{U_0^2}{P_2}\right)=I^2U_0^2\left(\frac{1}{P_1}+\frac{1}{P_2}\right).\qquad (5)

Учитывая, что произведение силы тока на напряжение источника равно суммарной мощности в цепи $IU_0=P_\Sigma$ , получим красивое выражение для мощностей

\frac{1}{P_\Sigma}=\frac{1}{P_1}+\frac{1}{P_2},\qquad (6)

Из которого находим суммарную мощность

P_\Sigma=\frac{P_1P_2}{P_1+P_2}=37{,}5\ \text{Вт}.\qquad (7)

Часть 2. Линия электропередачи.

2.1 Напряжение на нагрузке в данном случае определяется по формуле

U=IR=\frac{U_0}{R+r}R.\qquad (8)

2.2 Так как полезная нагрузка и провода соединены последовательно, то сила через все элементы цепи одинакова. Поэтому коэффициент потерь может быть найден по формуле

\eta_{\text{пот.}}=\frac{P_{\text{пот.}}}{P}=\frac{I^2r}{I^2(R+r)}=\frac{r}{R+r}\qquad (9)

2.3 Рассчитаем сопротивление подводящих проводов (не забудьте, что их два):

r=\rho\frac{8L}{\pi d^2}=216\ \text{Ом}.\qquad (10)

И сопротивление нагрузки

R=\frac{U_0^2}{P}=48{,}4\ \text{Ом}.\qquad (11)

Напряжение на нагрузке рассчитывается по формуле (8)

U=\frac{U_0}{R+r}R=40\ \text{В}.\qquad (12)

А коэффициент потерь по формуле (9)

\eta_{\text{пот.}}=\frac{r}{R+r}=0{,}82=82\%\qquad (13)

Таким образом, оказывается, что при передаче электроэнергии всего на 5 км напряжение падает более, чем в 5 раз и при этом более 80% энергии теряется в проводах!

Часть 3. Линия с преобразованием напряжения.

3.1 Для расчета параметров цепи введем обозначения сил токов и напряжений, показанные на рисунке.

Полная цепь с двумя ПН, коэффициентами k/1k, сопротивлениями r/R, токами I₀/I₁/I₂, напряжениями U₀/U₁/U′₁/U₂ и стрелками.

Расчет удобнее начинать от потребителя.

Пусть напряжение на нагрузке равно $U_2$ .

Сила тока через нагрузку определяется законом Ома

I_2=\frac{U_2}{R}.\qquad (14)

Тогда, мощность, потребляемая полезной нагрузкой, равна

P=\frac{U_2^2}{R}\qquad (15)

Напряжение на входе второго понижающего преобразователя равно

U'_1=kU_2,\qquad (16)

Сила тока в линии электропередачи находится из условия постоянства мощности

U_2I_2=U'_1I_1\quad\Rightarrow\quad I_1=\frac{U_2^2}{R\cdot kU_2}=\frac{U_2}{kR}.\qquad (17)

Напряжение на выходе первого повышающего преобразователя можно найти из выражения:

U_1=I_1r+U'_1=\frac{U_2}{kR}r+kU_2=kU_2\left(1+\frac{r}{k^2R}\right)\qquad (18)

С другой стороны, это же напряжения можно выразить через напряжение источника

U_1=kU_0.\qquad (19)

Из двух последних выражений следует

kU_2\left(1+\frac{r}{k^2R}\right)=kU_0\quad\Rightarrow\quad U_2=\frac{U_0}{1+\frac{r}{k^2R}}=U_0\frac{R}{R+\frac{r}{k^2}}.\qquad (20)

Теперь можно записать и формулу для силы тока через нагрузку

I_2=\frac{U_2}{R}=\frac{U_0}{R+\frac{r}{k^2}}.\qquad (21)

3.2 Из полученных формул для напряжения и силы тока (20)-(21) следует, что повышение напряжения в линии передачи в $k$ раз формально равносильно понижению сопротивления линии в $k^2$ раз.

3.3 Для расчета коэффициента потерь можно воспользоваться формулой (13) с соответствующим изменение сопротивления проводов:

\eta'_{\text{пот.}}=\frac{r}{k^2R+r}=4{,}5\cdot10^{-6}\qquad (22)

Таким образом, при повышении напряжения в 1000 раз потери энергии уменьшаются почти в 200 тысяч раз!!!

Оригинал в Архива: mgo-2021-tt9-var1-uslovija.pdf · официални решения: mgo-2021-tt9-var1-reshenija.pdf