Съдържание

BelPhO 2021, Областен етап, 9. клас — Задача 9-3. Тень от расчески

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2021

Республиканская физическая олимпиада 2021 год. (III этап) Теоретический тур. 9 класс.

Внимание: Бележка към темата

Получен ключ для жюри того же класса, тура и варианта. Три связанных задания сохранены целиком. В ключе собаки после пункта 3.2 напечатан пункт 3.3, хотя условие заканчивается 3.2; исходная нумерация сохранена. В ключе электропередачи численный результат для вопроса 3.4 приведен внутри 3.3, а для вопроса 2.3 напечатаны напряжение 40 В и потери 82%, без отдельного численного ответа о реальной мощности потребителя. В ключе тени в формуле (5) используются y₁, y₂, но в пояснении дважды напечатано y₁; ссылки на (5)/(6) и результат H = 6,5 см сохранены буквально. Оригинальный фотобланк получен и сохранен; на нем напечатан ошибочный номер 9.1 вместо 9-3. Числовые баллы и отдельная схема оценивания в полученных оригиналах отсутствуют.

Инструкции

Полный комплект состоит из трех заданий.
Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.
При оформлении работы каждое задание начинайте с новой страницы. При недостатке бумаги обращайтесь к организаторам!
Подписывать рабочие листы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады.

Постарайтесь внимательно прочитать условия задач!
Может, вам покажется, что условия задач слишком длинные. Но мы сочинили их такими, чтобы Вам было легче решать. Поверьте, иногда решения короче таких условий! Не теряйте присутствия духа, смело беритесь за решение каждой задачи. Помните, оцениваются не только полные решения, но и их отдельные части и даже отдельные здравые мысли.

Пакет заданий содержит:

титульный лист (1 стр.);
условия 3 теоретических задач (5 стр.);
бланк к задаче 9-3 (1 стр.)

Решения задач. 9 класс

IX класс. Теоретический тур. Вариант 1.

Решения задач. Бланк для жюри.

Условие

На отдельном бланке представлена фотография тени от расчески, освещаемой точечным источником света. Расческа располагалась вертикально, тени зафиксированы на миллиметровой бумаге. Высота зубьев расчески над бумагой равна $h = 4{,}5\ \mathrm{см}$ . Для удобства на фото нанесена разметка осей координат, которые вы должны использовать в этой работе. Оцифровка шкал проведена в сантиметрах. Обратите внимание, что, во-первых, фотография не совсем резкая, во-вторых, изображение немного искажено (имеет трапециевидную форму).

Поэтому решать данную задачу чисто графически не рекомендуется. Хотя вы можете проводить некоторые построения на этом рисунке. Кратко опишите их в своей работе и не забудьте сдать отдельный лист с вашими построениями. По вашему желанию, вы также можете не пользоваться приведенными шкалами, а провести собственные измерения необходимых вам величин на этой фотографии с помощью линейки.

Перспективный рисунок: ряд вертикальных зубьев расчески с тенями на плоскости; точечный источник света на стержне высотой H; штрихпунктирные оси с отрезками x0 и y0, задающими положение основания источника. — Рис. 1. Геометрия эксперимента.

На рис. 1 показано примерное положение расчески и точечного источника света. Там же указаны используемые координаты, которые совпадают с приведенными на фото.

Используя приведенную фотографию, определите координаты $x_0$ , $y_0$ источника света, а также его высоту над поверхностью бумаги $H$ .

Постарайтесь провести такую обработку, чтобы точность определения координат источника и его высоты была максимально возможной.

Бланк к задаче 9.1 Тени от расчески.

Не забудьте вложить его в свою работу!

Фотография теней зубьев расчески на миллиметровой бумаге с нанесёнными осями: ось x сверху с делениями 0–6, ось y слева с делениями 1, 5–9; внизу деления 1–8; справа стрелками отмечена высота h. — Бланк к задаче 9.1 Тени от расчески.

Решение

Задание 9-3. Тень от расчески.

Нарисуем схему установки (вид сверху).

Здесь $a,b$ - тени от двух произвольных зубцов расчески. Из рисунка следует, что прямые, на которых лежат эти тени, пересекаются в источнике (точнее в точке проекции источника на плоскость фотографии).

Полная схема теней a,b сверху, источник (x₀,y₀), обе оси, xₐ₁,xᵦ₁ и две конечные пары координат.

На приведенной фотографии надо выбрать две тени от различных зубцов, провести через них прямые и найти координаты точки их пресечения $(x_0,y_0)$ . Для повышения точности следует выбирать прямые, далеко отстоящие друг от друга. Если же выбрать две близкие (почти параллельные прямые), то определение точки их пересечения сопряжено с большими ошибками.

Решить эту задачу можно различными способами: посредством геометрических построений, алгебраически и т.д.

Мы кратко изложим формальный метод, основанный на простейших понятиях аналитической геометрии.

На каждой из выбранных прямых выбираем две точки (также желательно расположенных на большом расстоянии друг от друга), снимаем их координаты, записываем уравнение прямой. На рисунке показаны выбранные прямые и указаны точки, координаты которых определялись по рисунку

Оригинальное фото с обеими выбранными желтыми прямыми, точками a₁/a₂/b₁/b₂, всеми шкалами и стрелками h.

С помощью фотографии можно определить координаты двух произвольных точек, лежащих на линиях теней. В таблице приведены координаты этих точек.

Точка	$x$ , см	$y$ , см
$a_1$	0,4	0,0
$a_2$	1,1	9,0
$b_1$	5,1	0,0
$b_2$	8,3	9,0

Коэффициенты уравнения $y=ax+b$ прямой линии, проходящей через две точки с координатами $(x_1,y_1)$ и $(x_2,y_2)$

Рассчитываются по формулам

\begin{aligned} a&=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ b&=y_2-ax_2 \end{aligned}\qquad (1)

Расчет по приведенным координатам выбранных точек дал следующие уравнения прямых

\begin{cases} y=12{,}9x-5{,}1\\ y=2{,}8x-14{,}3 \end{cases}\qquad (2)

Решение этой системы уравнений дает координаты источника

\begin{aligned} x_0&=-0{,}91\ \text{см}\\ y_0&=-16{,}9\ \text{см} \end{aligned}\qquad (3)

Теперь построим схему расположения объектов в вертикальной плоскости, содержащей источник света и один из зубцов. На этом рисунке $l$ - расстояние от зубца до конца его тени, $L$ - горизонтальное расстояние от источника до конца тени. Из рисунка следует, что справедлива пропорция:

Полная вертикальная схема источник H, зубец h, длины l/L и полный луч со стрелкой.

\frac{H}{h}=\frac{L}{l}.\qquad (4)

Но отношение указанных расстояний равно отношению изменения координат (лучше взять координаты $y$ - они измеряются точнее). Тогда из выражения (5) находим:

H=h\frac{y_1-y_0}{y_2-y_0}\qquad (5)

Здесь $y_1=9{,}0$ координаты концов теней, $y_1=1{,}0$ - координаты расположения расчески, $y_0=-16{,}9$ - найденная координата источника. Подстановка этих численных значений в выражение (6) дает высоту, на которой находился источник

H=6{,}5\ \text{см}\qquad (6)

Оригинал в Архива: mgo-2021-tt9-var1-uslovija.pdf · официални решения: mgo-2021-tt9-var1-reshenija.pdf