Съдържание

BelPhO 2022, Областен етап, 10. клас — Задача 10-3. Скатывание без проскальзывания

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2022

Республиканская физическая олимпиада 2022 года (III этап). Теоретический тур. 10 класс.

Внимание: Бележка към темата

Оригинальный ключ относится к III этапу олимпиады 2022 года, 10 классу, варианту 2. В метаданных PDF ключа ошибочно указан 9 класс; физический титул, все колонтитулы и заголовки заданий печатают 10 класс и совпадают с условиями. Титульный лист печатает три задания. Отдельно названные задачи 1.1, 1.2 и 1.3 по теплоотдаче представлены самостоятельно; связанные части заданий «Молекулярная физика с химией» и «Скатывание без проскальзывания» сохранены вместе.

В задании «Молекулярная физика с химией» условие пункта 1.1 обозначает концентрацию AB как n₁, а ключ использует n₂. Ссылка условия на (5) не сопровождается такой нумерацией в полученном условии. Грамматика ключа, включая «Число двух молекул» и «После изменения концентрация смеси», сохранена.

В ключе «Скатывание без проскальзывания» формула (13) печатает Δy вместо времени; равенство (20) не согласуется со знаком β в (18). Номер (21) напечатан дважды. Знаки, обозначения и номера сохранены буквально.

В ключе «Теплоизоляция» выражения (5)–(7), число 18 °C и слова «стенок трубы» сохранены буквально. Выражения (5)–(7) не согласуются с преобразованием (4) и приведёнными численными данными. Для пункта 1.3.2 напечатана только температура холодной стороны второй пластины; запрошенная температура горячей стороны отсутствует.

Численные баллы, отдельная схема оценивания и бланки ответов в полученном комплекте отсутствуют. Полные указания жюри сохранены.

Титульный лист

Полный комплект состоит из трех заданий.
Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.
При оформлении работы каждое задание начинайте с новой страницы. При недостатке бумаги обращайтесь к организаторам!
Подписывать рабочие листы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады.

Постарайтесь внимательно прочитать условия задач!
Может, вам покажется, что условия задач слишком длинные. Но мы сочинили их такими, чтобы Вам было легче решать. Поверьте, иногда решения короче таких условий! Не теряйте присутствия духа, смело беритесь за решение каждой задачи. Помните, оцениваются не только полные решения, но и их отдельные части и даже отдельные здравые мысли.

Пакет заданий содержит:

титульный лист (1 стр.);
условия 3 теоретических задач (6 стр.).

Решения задач. Бланк для жюри. 10 класс. Вариант 2.

Уважаемые члены жюри!

Задачи, предложенные школьникам для решения на олимпиаде, не стандартные и достаточно сложные. Предложенные здесь варианты путей решений не являются единственно возможными. Участники олимпиады могут предложить свои способы решения. Если эти способы приводят к правильным ответам и физически обоснованы, то задача (или ее отдельные пункты) должны оцениваться максимальными баллами.

Не забывайте, что Вы должны оценивать не только конечные ответы, но и отдельные правильные шаги в ходе решения!

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших замечательных школьников!

Условие

Задание 10-3. Скатывание без проскальзывания.

Существует множество задач, в которых брусок движется по наклонной плоскости при наличии трения. В зависимости от коэффициента трения и угла наклона плоскости брусок может либо скользить по плоскости, либо покоится.

Если на наклонную плоскость поместить трубку, то она всегда будет скатываться, но может катиться либо без проскальзывания, либо проскальзывать.

Целью данного задания является анализ такого движения. Далее будем рассматривать однородную тонкостенную трубку, радиус которой равен $R$ , а масса $m$ равномерно распределена по стенкам трубки. Толщина стенок трубки значительно меньше ее радиуса.

Часть 1. Динамика вращательного движения.

Сложное движение твердого тела можно рассматривать как суперпозицию двух составляющих: поступательного движения центра масс и вращения вокруг оси, проходящей через центр масс тела. Движение центра масс подчиняется уравнению второго закона Ньютона. Вращение тела описывается углом поворота $\varphi$ , угловой скоростью $\omega = \dfrac{\Delta\varphi}{\Delta t}$ и угловым ускорением – скоростью изменения угловой скорости $\beta = \dfrac{\Delta\omega}{\Delta t}$ (величиной аналогичной обычному ускорению). В этой части на основании закона сохранения энергии Вы должны самостоятельно получить основное уравнение динамики вращательного движения трубки, определяющее угловое ускорение вращения трубки.

1.1 Трубка вращается вокруг неподвижной собственной оси с угловой скоростью $\omega$ . Чему равна кинетическая энергия трубки?

Тонкостенная трубка, насаженная на горизонтальную ось; изогнутая стрелка над трубкой показывает направление вращения, подпись ω.

Для реализации такого движения можно считать, что трубка насажена на очень легкий вал, диаметр которого равен внутреннему диаметру трубки.

1.2 Трубка катится (с проскальзыванием) по горизонтальной поверхности. Скорость оси трубки равна $\vec{v}_c$ , угловая скорость вращения вокруг оси трубки $\omega$ . Чему равна кинетическая энергия трубки в этом случае?

1.3 Чему равна кинетическая энергия трубки, которая катится без проскальзывания по горизонтальной поверхности, если скорость ее оси равна $\vec{v}_c$ ?

Трубку снова насадили на неподвижную горизонтальную ось, на его поверхность намотали легкую прочную нить, к концу которой привязали груз массы $m_0$ . Груз отпускают, он начинает опускаться, раскручивая трубку.

Трубка на горизонтальной оси с намотанной на неё нитью; к концу нити, свисающей вниз, привязан груз m0; изогнутая стрелка ω показывает вращение трубки, справа вертикальная стрелка вниз с подписью g (вектор).

1.4 Чему равно изменение кинетической энергии трубки при опускании груза на малую величину $\Delta h$ ?

1.5 Найдите ускорение груза $a$ угловое ускорение трубки $\beta$ .

1.6 Выразите угловое ускорение трубки через момент силы натяжения нити $M = TR$ (это и будет уравнение динамики вращательного движения).

Рекомендуем использовать следующую формулу: если некоторая величина $x$ изменяется на малую величину $\Delta x$ , то ее квадрат изменяется на величину

\Delta\left(x^2\right) = 2x\Delta x\,.

Трубке, закрепленной на неподвижной горизонтальной оси, сообщили угловую скорость $\omega_0$ . После чего к ее поверхности поднесли пластинку, которая действует на трубку с постоянной силой трения $F$ .

Трубка на неподвижной горизонтальной оси, вращающаяся с угловой скоростью ω0 (изогнутая стрелка с подписью ω0); снизу к поверхности трубки прижата пластинка.

1.7 Найдите зависимость угловой скорости трубки от времени $\omega(t)$ .

1.8 Сколько оборотов сделает обруч до остановки?

Часть 2. Скатывание с наклонной плоскости.

Трубка на деревянной наклонной плоскости, образующей угол α с горизонтом; ось трубки горизонтальна; изогнутая стрелка ω показывает вращение, прямая стрелка от трубки направлена вниз вдоль плоскости.

Трубку кладут на наклонную плоскость, образующую угол $\alpha$ с горизонтом, так что ось трубки располагается горизонтально, и отпускают. Трубка начинает скатываться с наклонной плоскости. Коэффициент трения трубки о плоскость равен $\mu$ . Обозначим силу трения, действующую на боковую поверхность трубки $F$ .

2.1 Найдите ускорение оси трубки $a$ и ее угловое ускорение $\beta$ в зависимости от силы трения $F$ .

2.2 Найдите значение силы трения, если трубка катится без проскальзывания.

2.3 Определите, при каких углах наклона плоскости $\alpha$ к горизонту, качение цилиндра будет проходить без проскальзывания (при фиксированном значении коэффициента трения $\mu$ ).

Решение

Задание 10-3. Скатывание без проскальзывания.

Часть 1. Динамика вращательного движения.

1.1 Так как все точки трубки находятся на одном расстоянии от оси вращения, то модули их скоростей одинаковы и равны

v=\omega R.\qquad (1)

Поэтому кинетическая энергия вращающейся трубки равна

E=\frac{mv^2}2=\frac{mR^2\omega^2}2.\qquad (2)

1.2 Представим движение трубки как сумму поступательного прямолинейного движения ее центра и его вращения вокруг центра. В этом случае разные точки трубки движутся с разными скоростями относительно поверхности. Мысленно разобьем трубку на равные малые участки (полоски вдоль длины трубки), видимые из центра обруча под малым углом $\Delta\varphi$ . Рассмотрим один из таких участков, положение которого задается углом $\varphi$ от вертикали. Полная скорость этого участка складывается из скорости движения центра $\vec v_c$ и скорости вращательного движения $\vec v_{\text{вр.}}$ относительно центра колеса ( $\vec v_{\text{вр.}}=\omega R$ ). Используя теорему косинусов, легко показать, что квадрат вектора полной скорости выделенного участка равен

v^2=v_c^2+v_{\text{вр.}}^2+2v_cv_{\text{вр.}}\cos\varphi.\qquad (3)

Чтобы найти кинетическую энергию всей трубки необходимо просуммировать энергии всех ее участков:

\begin{aligned}E&=\sum_i\frac{\Delta m}2\left(v_c^2+v_{\text{вр.}}^2+2v_cv_{\text{вр.}}\cos\varphi_i\right)\\&=\frac{mv_c^2}2+\frac{mv_{\text{вр.}}^2}2+\Delta m v_cv_{\text{вр.}}\sum_i\cos\varphi_i.\end{aligned}\qquad (4)

Так как суммирование проводится по всем полоскам трубки (по полной окружности), то последняя сумма обращается в нуль. Следовательно, кинетическая энергия трубки равна сумме кинетических энергий поступательного и вращательного движений:

E=\frac{mv_c^2}2+\frac{mR^2\omega^2}2.\qquad (5)

Чтобы убедиться в справедливости сделанного вывода можно так же рассмотреть два участка, симметричных относительно оси трубки.

1.3 Если трубка катится без проскальзывания, то скорость его центра и угловая скорость вращения связаны соотношением $v_c=\omega R$ . В этом случае оба слагаемых в формуле (5) равны, поэтому полная энергия трубки равна

E=\frac{mv_c^2}2+\frac{mR^2\omega^2}2=mv_c^2.\qquad (6)

1.4 Увеличение кинетической энергии системы равно уменьшению потенциальной груза, поэтому

\Delta(E_1+E_2)=m_0g\Delta h.\qquad (7)

В этой формуле $E_1=mR^2\omega^2/2$ — кинетическая энергия трубки; $E_2=m_0v^2/2=m_0R^2\omega^2/2$ — кинетическая энергия груза.

Выразим кинетическую энергию груза через кинетическую энергию трубки:

E_2=\frac{m_0v^2}2=\frac{m_0R^2\omega^2}2=\frac{m_0}m\left(\frac{mR^2\omega^2}2\right)=\frac{m_0}mE_1.

И подставим в уравнение (7)

\Delta(E_1+E_2)=\Delta\left(E_1+\frac{m_0}mE_1\right)=\frac{m+m_0}m\Delta E_1=m_0g\Delta h.\qquad (8)

Из этого выражения находим изменение кинетической энергии трубки

\Delta E_1=\frac{mm_0}{m+m_0}g\Delta h.\qquad (9)

1.5 Подставим явное выражение для кинетической энергии трубки и воспользуемся подсказкой из условия:

\Delta E_1=\Delta\left(\frac{mR^2\omega^2}2\right)=\frac{mR^2}2\Delta(\omega^2)=\frac{mR^2}2\cdot2\omega\Delta\omega=mR^2\omega\Delta\omega.\qquad (10)

Подставим в формулу (9)

mR^2\omega\Delta\omega=\frac{mm_0}{m+m_0}g\Delta h.\qquad (11)

И разделим его на $\Delta t$ — промежуток времени, за который груз опустился на величину $\Delta h$ . Также учтем, что скорость груза можно выразить через угловую скорость вращения трубки: $v=\Delta h/\Delta t=\omega R$ . В итоге получим

\begin{aligned}mR^2\omega\frac{\Delta\omega}{\Delta t}&=\frac{mm_0}{m+m_0}g\frac{\Delta h}{\Delta t}=\frac{mm_0}{m+m_0}g\omega R\\&\Rightarrow mR^2\frac{\Delta\omega}{\Delta t}=\frac{mm_0}{m+m_0}gR.\end{aligned}\qquad (12)

Отсюда находим угловое ускорение трубки:

\beta=\frac{\Delta\omega}{\Delta y}=\frac{m_0}{m+m_0}\frac gR.\qquad (13)

А ускорение груза равно:

a=\beta R=\frac{m_0}{m+m_0}g.\qquad (14)

1.6 Что бы выразить угловое ускорение через силу натяжения нити, ее сначала надо найти. Для этого воспользуемся уравнением второго закона Ньютона для груза:

m_0a=m_0g-T\Rightarrow T=m_0(g-a)=m_0\left(g-\frac{m_0}{m+m_0}g\right)=\frac{m_0m}{m+m_0}g.\qquad (15)

Теперь перепишем уравнение (12):

mR^2\beta=\frac{mm_0}{m+m_0}gR=TR,

В итоге получаем уравнение динамики вращательного движения:

mR^2\beta=M.\qquad (16)

1.7 Запишем уравнение динамики вращательного движения в рассматриваемом случае:

mR^2\beta=-FR.\qquad (17)

Из этого уравнения следует, что угловое ускорение трубки постоянно и равно

\beta=-\frac F{mR}.\qquad (18)

Поэтому вращение трубки будет равноускоренным (с отрицательным ускорением), а его угловая скорость будет изменяться по линейному закону:

\omega=\omega_0-\frac F{mR}t.\qquad (19)

1.8 До остановки трубка повернется на угол

\varphi=\frac{\omega_0^2}{2\beta}=\frac{mR\omega_0^2}{2F}.\qquad (20)

Следовательно, полное число оборотов до остановки равно

N=\frac\varphi{2\pi}=\frac{mR\omega_0^2}{4\pi F}.\qquad (21)

Часть 2. Скатывание с наклонной плоскости.

2.1 Из уравнения второго закона Ньютона для движения центра масс

ma=mg\sin\alpha-F,\qquad (21)

Находим линейное ускорение оси трубки

a=g\sin\alpha-\frac Fm.\qquad (22)

Теперь запишем уравнение динамики вращения относительно оси трубки (единственной силой, момент которой отличен от нуля, является сила трения):

mR^2\beta=FR.\qquad (23)

Из этого уравнения определяем угловое ускорение трубки

\beta=\frac F{mR}.\qquad (24)

2.2 Если трубка катится без проскальзывания, то линейное и угловые ускорения связаны геометрическим соотношением

a=\beta R.\qquad (25)

Подставим в это соотношения формулы для ускорений (22) и (24)

g\sin\alpha-\frac Fm=\frac Fm.\qquad (26)

Отсюда определяем силу трения

F=\frac12mg\sin\alpha.\qquad (27)

2.3 Так как движение происходит без проскальзывания, то данная сила является силой трения покоя. Как следует из закона Кулона – Амонтона сила трения покоя не может быть больше силы трения скольжения, т.е.

F\le\mu N=\mu mg\cos\alpha.\qquad (28)

С учетом формулы (27) это неравенство дает условие качения трубки по наклонной плоскости без проскальзывания:

\frac12mg\sin\alpha\le\mu mg\cos\alpha\Rightarrow\operatorname{tg}\alpha\le2\mu.\qquad (29)

Схема разложения скорости участка трубки: окружность, ось, угол φ, Δφ, ω и векторы v_c/v_вр.

Полная исходная схема трубки на наклонной плоскости с силами N, mg, F, углом α и направлением вращения.

Оригинал в Архива: G_2022_10_2_usloviya.pdf · официални решения: G_2022_10_2_reshenie.pdf