Съдържание

BelPhO 2022, Областен етап, 9. клас — Задача 9-1.2. Разминка — Задача 1.2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2022

Республиканская физическая олимпиада 2022 года (III этап). Теоретический тур. 9 класс. Вариант 2.

Внимание: Бележка към темата

Комплект относится к III этапу, 9 классу и варианту 2. На титульном листе указаны три задания; «Разминка» прямо состоит из трёх разных задач, объединённых одной математической идеей. Эти задачи представлены отдельно, а связанные части «Неупругого удара» и «Формы полости» сохранены целиком. Полученный оригинальный ключ содержит полные решения, две таблицы и указания жюри. Напечатанные противоречия формул, обозначений и чисел сохранены и отмечены при соответствующих решениях. Численные баллы, отдельная схема оценивания и бланки ответов в полученном комплекте отсутствуют.

Титульный лист

Третий этап республиканской олимпиады по учебному предмету «Физика»
2021-2022 учебный год

Полный комплект состоит из трех заданий.
Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.
При оформлении работы каждое задание начинайте с новой страницы. При недостатке бумаги обращайтесь к организаторам!
Подписывать рабочие листы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады.

Постарайтесь внимательно прочитать условия задач!
Может, вам покажется, что условия задач слишком длинные. Но мы сочинили их такими, чтобы Вам было легче решать. Поверьте, иногда решения короче таких условий! Не теряйте присутствия духа, смело беритесь за решение каждой задачи. Помните, оцениваются не только полные решения, но и их отдельные части и даже отдельные здравые мысли.

Пакет заданий содержит:

титульный лист (1 стр.);
условия 3 теоретических задач (6 стр.).

Решения задач. Бланк для жюри. 9 класс. Вариант 2.

Республиканская физическая олимпиада 2022 года (III этап). Теоретический тур. Решения задач. 9 класс (для жюри). Вариант 2.

Уважаемые члены жюри!

Задачи, предложенные школьникам для решения на олимпиаде, не стандартные и достаточно сложные. Предложенные здесь варианты путей решений не являются единственно возможными. Участники олимпиады могут предложить свои способы решения. Если эти способы приводят к правильным ответам и физически обоснованы, то задача (или ее отдельные пункты) должны оцениваться максимальными баллами.

Не забывайте, что Вы должны оценивать не только конечные ответы, но и отдельные правильные шаги в ходе решения!

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших замечательных школьников!

Условие

Задание состоит из трех разных задач, объединенных одной общей математической идеей.

Задача 1.2.

Новогодняя гирлянда состоит из $n$ одинаковых, параллельно соединенных лампочек подключена к источнику постоянного напряжения $U_0 = 9{,}0\ \text{В}$ . Общее сопротивление подводящих проводов и источника равно $R = 1{,}2\ \text{Ом}$ . Сопротивлением проводов между лампочками можно пренебречь. Сопротивление каждой лампочки равно $R_0 = 20{,}0\,\text{Ом}$ и не зависит от силы тока, протекающего через лампочку.

Схема гирлянды: источник U0, последовательно резистор R0 и сопротивление проводов R, параллельно подключены несколько лампочек (многоточие справа).

1.2.1 Найдите, при каком числе лампочек, суммарная мощность гирлянды будет равна $P$ .

1.2.2 Определите, чему может быть равна максимальная мощность гирлянды $P_{\max}$ . При каком числе лампочек $n_1$ , достигается эта максимальная мощность?

Решение

Задача 1.2.

1.2.1 Так как сопротивления всех лампочек одинаковы, то при их параллельном соединении общее сопротивление гирлянды будет равно

r=\frac{R}{n}.\qquad (1)

В этом случае мощность гирлянды будет равна

P=I^2r=\frac{U_0^2}{(R_0+r)^2}r.\qquad (2)

Для расчета сопротивления гирлянды следует решить квадратное уравнение:

\begin{aligned} P&=\frac{U_0^2}{(R_0+R)^2}r\quad\Rightarrow\quad(R_0+r)^2=\frac{U_0^2}{P}r\\ &\Rightarrow\quad R^2+2r\left(R_0-\frac{U_0^2}{2P}\right)+R_0^2=0. \end{aligned}\qquad (3)

Это уравнение имеет два корня, если его дискриминант положительный:

\begin{aligned} D&=\left(R_0-\frac{U_0^2}{2P}\right)^2-R_0^2 =\left(\frac{U_0^2}{2P}\right)^2-\frac{U_0^2}{P}R_0\\ &=\frac{U_0^2}{2P}\left(\frac{U_0^2}{2P}-2R_0\right)>0. \end{aligned}\qquad (4)

В этом случае корнями уравнения (2) являются

R_{1,2}=-\left(R_0-\frac{U_0^2}{2P}\right)\pm\sqrt{\frac{U_0^2}{2P}\left(\frac{U_0^2}{2P}-2R_0\right)}.\qquad (5)

Поэтому число лампочек, при котором мощность принимает найденное значение должно быть равно

n_{1,2}=\left[\frac{R_{1,2}}{R}\right]=\left[\frac{-\left(R_0-\frac{U_0^2}{2P}\right)\pm\sqrt{\frac{U_0^2}{2P}\left(\frac{U_0^2}{2P}-2R_0\right)}}{n}\right].\qquad (6)

Здесь квадратные скобки $[\ldots]$ означают целую часть числа. Строго говоря, абсолютно точный ответ на поставленный вопрос может быть получен только при дискретном наборе требуемых мощностей, так как число лампочек – целое число.

1.2.2 При максимальной мощности гирлянды дискриминант уравнения (3) равен нулю, поэтому

D\frac{U_0^2}{2P_{\max}}\left(\frac{U_0^2}{2P_{\max}}-2R_0\right)=0.\qquad (7)

Откуда следует, что

\left(\frac{U_0^2}{2P_{\max}}-2R_0\right)=0\quad\Rightarrow\quad P_{\max}=\frac{U_0^2}{4R_0}.\qquad (8)

Как следует, из формулы (4) эта мощность достигается, если сопротивление нагревателя равно

R=-\left(R_0-\frac{U_0^2}{2P_{\max}}\right)=R_0.\qquad (9)

Итак, сопротивление гирлянды должно быть равно $R_0=15{,}5\ \text{Ом}$ . Следовательно, в гирлянду надо включить

n=\frac{R_0}{R}=\frac{20{,}0}{1{,}2}=16{,}7.\qquad (10)

Не целое число лампочек включать в цепь не рекомендуется. Поэтому необходимо рассчитать мощности гирлянды при двух ближайших к 16,7 значений числа лампочек по формуле

P=\frac{U_0^2}{\left(R_0+\frac{R}{n}\right)^2}\frac{R}{n}.\qquad (11)

Численные значения этих мощностей равны:

\begin{aligned}P_{16}&=16{,}868\ \text{Вт}\\P_{17}&=16{,}873\ \text{Вт}.\end{aligned}\qquad (12)

Таким образом, окончательный ответ задачи:

Максимальная мощность гирлянды равна $P=16{,}873\ \text{Вт}\approx16{,}9\ \text{Вт}$ при числе лампочек $n=17$ .

Примечание. Учитывая, что исходные численные значения приведены с точностью до 0,1, то с данной точностью найденная мощность реализуется при числе лампочек от 15 до 19.

Примечание к источнику. Текст условия обозначает сопротивление проводов через $R=1{,}2\ \text{Ом}$ , а лампочки через $R_0=20{,}0\ \text{Ом}$ . Схемы и начало ключа используют противоположные обозначения. В ключе сохранены напечатанные $R$ вместо $r$ в (3), ссылки на (2)/(4), знаменатель $n$ в (6), отсутствие знака равенства после $D$ в (7), число $15{,}5\ \text{Ом}$ и дальнейшие формулы/ответы. Эти противоречия принадлежат оригиналу.

Схема гирлянды оригинального ключа: источник U0, сопротивление R0 и параллельные лампочки R.

Оригинал в Архива: G_2022_9_2_usloviya.pdf · официални решения: G_2022_9__2_reshenie.pdf