Съдържание

BelPhO 2022, Областен етап, 9. клас — Задача 9-1.3. Разминка — Задача 1.3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2022

Республиканская физическая олимпиада 2022 года (III этап). Теоретический тур. 9 класс. Вариант 2.

Внимание: Бележка към темата

Комплект относится к III этапу, 9 классу и варианту 2. На титульном листе указаны три задания; «Разминка» прямо состоит из трёх разных задач, объединённых одной математической идеей. Эти задачи представлены отдельно, а связанные части «Неупругого удара» и «Формы полости» сохранены целиком. Полученный оригинальный ключ содержит полные решения, две таблицы и указания жюри. Напечатанные противоречия формул, обозначений и чисел сохранены и отмечены при соответствующих решениях. Численные баллы, отдельная схема оценивания и бланки ответов в полученном комплекте отсутствуют.

Титульный лист

Третий этап республиканской олимпиады по учебному предмету «Физика»
2021-2022 учебный год

Полный комплект состоит из трех заданий.
Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.
При оформлении работы каждое задание начинайте с новой страницы. При недостатке бумаги обращайтесь к организаторам!
Подписывать рабочие листы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады.

Постарайтесь внимательно прочитать условия задач!
Может, вам покажется, что условия задач слишком длинные. Но мы сочинили их такими, чтобы Вам было легче решать. Поверьте, иногда решения короче таких условий! Не теряйте присутствия духа, смело беритесь за решение каждой задачи. Помните, оцениваются не только полные решения, но и их отдельные части и даже отдельные здравые мысли.

Пакет заданий содержит:

титульный лист (1 стр.);
условия 3 теоретических задач (6 стр.).

Решения задач. Бланк для жюри. 9 класс. Вариант 2.

Республиканская физическая олимпиада 2022 года (III этап). Теоретический тур. Решения задач. 9 класс (для жюри). Вариант 2.

Уважаемые члены жюри!

Задачи, предложенные школьникам для решения на олимпиаде, не стандартные и достаточно сложные. Предложенные здесь варианты путей решений не являются единственно возможными. Участники олимпиады могут предложить свои способы решения. Если эти способы приводят к правильным ответам и физически обоснованы, то задача (или ее отдельные пункты) должны оцениваться максимальными баллами.

Не забывайте, что Вы должны оценивать не только конечные ответы, но и отдельные правильные шаги в ходе решения!

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших замечательных школьников!

Условие

Задание состоит из трех разных задач, объединенных одной общей математической идеей.

Задача 1.3.

Человек должен пересечь квадратное вспаханное поле, длина стороны которого равна $a$ от одного угла поля $A$ до противоположного угла $C$ . Скорость движения человека по краю поля равна $v_0$ , а по пашне в $n$ раз меньше $v = \dfrac{v_0}{n}$ . Человек решает пройти вдоль края поля некоторое расстояние $x$ (до точки $B$ ), а потом по пашне по прямой до точки $C$ .

Квадратное вспаханное поле со стороной a, вершины A (левый нижний угол) и C (правый верхний угол); вдоль нижнего края от A до точки B отложено расстояние x со скоростью v0, от B к C штриховая прямая со скоростью v.

1.3.1 При каком значении $x$ время движения от точки $A$ до точки $C$ будет минимально?

Решение

Задача 1.3.

1.3.1 Запишем выражение для времени движения при произвольном значении $x$ :

t=\frac{x}{v_0}+\frac{n\sqrt{a^2+(a-x)^2}}{v_0}.\qquad (1)

Для определения минимума этой функции воспользуемся уже апробированной методикой. Сформулируем обратную задачу: при каком значении $x$ время движения будет равно $t$ ? Для ответа на этот вопрос надо решить уравнение (1), считая неизвестной величиной $x$ . Преобразуем это уравнение:

\begin{aligned} t&=\frac{x}{v_0}+\frac{n\sqrt{a^2+(a-x)^2}}{v_0}\\ &\Rightarrow\quad(tv_0-x)^2=n^2\bigl(a^2+(a-x)^2\bigr)\\ &\Rightarrow\quad\bigl((tv_0-a)+(a-x)\bigr)^2=n^2\bigl(a^2+(a-x)^2\bigr). \end{aligned}\qquad (2)

Для упрощения алгебраических выкладок, обозначим $(a-x)=z$ , $(tv_0-a)=b$ . Тогда уравнение упростится:

\begin{aligned} \bigl((tv_0-a)+(a-x)\bigr)^2&=n^2\bigl(a^2+(a-x)^2\bigr)\\ &\Rightarrow\quad(b+z)^2=n^2(a^2+z^2)\\ &\Rightarrow\quad(n^2-1)z^2-2bz+(n^2a^2-b^2)=0. \end{aligned}\qquad (3)

Приравняем дискриминант этого уравнения к нулю. В этом случае уравнение (3), а следовательно, и уравнение (2) будут иметь единственное решение, при котором время $t$ минимально:

D=4b^2-4(n^2-1)(n^2a^2-b^2)=0.\qquad (4)

Это условие выполняется при $b=\pm a\sqrt{n^2-1}$ . Следует выбрать положительный корень, по смыслу параметра $b$ . Теперь легко находим единственный корень уравнения (3):

z=\frac{b}{n^2-1}=\frac{a}{\sqrt{n^2-1}}.\qquad (5)

Окончательно получаем, что минимальное время движения достигается при

x=a-z=a-\frac{a}{\sqrt{n^2-1}}.\qquad (6)

Квадратное поле оригинального ключа: точки A/B/C, сторона a, участок x, векторы v0 и v.

Оригинал в Архива: G_2022_9_2_usloviya.pdf · официални решения: G_2022_9__2_reshenie.pdf