Съдържание

BelPhO 2022, Областен етап, 9. клас — Задача 9-1. «Звезда» и «треугольник»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2022

Республиканская физическая олимпиада 2022 года (3 этап). Экспериментальный тур. 9 класс.

Внимание: Бележка към темата

Получен оригинальный ключ экспериментального тура III этапа 2022 года, 9 класс. Сохранены два связанных задания, все 14 прежних объектов пунктов, прежние адреса и три исходных рисунка. Полностью восстановлены напечатанные решения и общие указания жюри; численные результаты зависят от выданного оборудования. Фиксированные измерения, образцовые графики, баллы и отдельные бланки в полученном комплекте не напечатаны. Полный комплект содержит два задания по 150 минут каждое, как в общей инструкции; общее время для двух заданий — 300 минут. Повторы, ошибки согласования, незакрытая скобка в ключе и пропущенное тире между номерами сохранены. Прежнее исправление «меду» на «между» сохранено с исторической атрибуцией.

Инструкция

Полный комплект состоит из двух заданий, на выполнение каждого отводится два с половиной часа. Сдавать работу следует после выполнения обоих заданий. Задания могут быть не равноценными, поэтому ознакомьтесь с условиями обеих задач.
Ознакомьтесь с перечнем оборудования – проверьте его наличие и работоспособность. При отсутствии оборудования или сомнении в его работоспособности немедленно обращайтесь к представителям оргкомитета.
При оформлении работы каждую задачу и каждую ее часть начните с новой страницы.
Все графики рекомендуем строить на листе миллиметровой бумаги, выданном для выполнения каждого задания. Обязательно пронумеруйте и подпишите все построенные графики. Листы миллиметровой бумаги вложите в свою тетрадь.
Подписывать рабочие страницы и графики запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к организаторам.

Желаем успехов в выполнении данных заданий!

Данный комплект заданий содержит:

титульный лист (1 стр.);
условия двух заданий (4 стр.).

Решения задач. Бланк для жюри. 9 класс.

Задания экспериментального тура данной олимпиады предоставляют для участников большие возможности для самостоятельного выбора параметров установок, диапазонов исследования, методов измерений. Иными словами – проявить свои творческие способности. Кроме того, результаты измерений сильно зависят от предоставленного оборудования, которое может различаться в разных областях нашей Республики.

Поэтому, относитесь к приведенным ниже результатам, как к ориентировочным. Желательно (или даже обязательно) провести собственные измерения. Поэтому здесь приводятся только основные теоретические положения и результаты некоторых измерений, полученные авторами данных заданий. Методы обработки результатов измерений являются в большинстве своем, стандартными, поэтому подробно не описываются.

Условие

Оборудование: Мультиметр, работающий в режиме омметра; два реостата с общим сопротивлением 10-15 Ом с тремя выводами (крайние и средняя точка); резистор с сопротивлением 2-3 Ом; соединительные провода.

Слева — схема «звезда»: три резистора R1, R2, R3 соединены в общей точке, свободные концы — выводы 1 (вверху), 2 (справа внизу), 3 (слева внизу). Справа — схема «треугольник»: выводы 1 (вверху), 2 (справа), 3 (слева) — вершины треугольника; между 1 и 2 резистор r1, между 2 и 3 резистор r2, между 3 и 1 резистор r3.

В электрических схемах часто встречаются соединения трех резисторов, которые называются «звездой» и «треугольником» (см. рис.). Каждая из этих схем имеет три резистора и три вывода. Сопротивления резисторов в «звезде» будем обозначать большими буквами $R_1, R_2, R_3$ , а в «треугольнике» - малыми $r_1, r_2, r_3$ . Общие сопротивления между выводами будем нумеровать двумя индексами, указывающими между какими выводами, измеряется данное сопротивления.

Схемы называются эквивалентными, если сопротивления между выводами равны:

\begin{aligned} R_{12} &= r_{12} \\ R_{23} &= r_{23}\ . \\ R_{31} &= r_{31} \end{aligned} \qquad (1)

Часть 1. Схемы по отдельности.

1.1 Выразите сопротивления между выводами через сопротивления элементов схемы (для «звезды» и для «треугольника») через сопротивления элементов схемы.

1.2 Проведите измерения, доказывающие правильность полученных вами формул.

Для этого:

1.2.1 Измерьте сопротивления выданных вам резисторов (одного постоянного и двух реостатов – для них измерьте полное сопротивление).

1.2.2 В качестве резисторов $R_1$ и $r_1$ используйте постоянный резистор; в качестве резисторов $R_2$ и $r_2$ используйте один переменный резистор (реостат), установив его сопротивление в 5,0 Ом (в ходе измерений в этой части его сопротивление не изменяйте), в качестве резисторов $R_3$ и $r_3$ используйте второй переменный резистор. Проведите измерения зависимости измерения зависимостей сопротивлений между выводами в обеих схемах в зависимости от сопротивления третьего резистора (всего 6 зависимостей). Постройте графики полученных зависимостей.

1.2.3 На тех же бланках постройте графики соответствующих теоретических зависимостей.

1.2.4 Если экспериментальные и теоретические зависимости совпадают, то объясните причины возможных расхождений между ними.

Часть 2. Эквивалентность схем.

2.1 Пусть вам известны сопротивления резисторов в схеме «треугольник» $r_1, r_2, r_3$ . Выведите формулы для сопротивлений в схеме звезда $R_1, R_2, R_3$ , такие, чтобы схемы были эквивалентными.

2.2 Соберите две схемы - «звезду» и «треугольник» с такими сопротивлениями, чтобы обе схемы были эквивалентными. Приведите результаты измерений сопротивлений отдельных резисторов (6 значений) в каждой схеме (6 значений), а также сопротивлений между выводами схем (еще 6 значений).

Решение

Часть 1. Схемы по отдельности.

1.1 Расчет схем проводится элементарно с использование законов параллельного и последовательного соединения проводников.

Так сопротивления между выводами подчиняются соотношениям:

\begin{aligned} R_{12}&=R_1+R_2, &R_{23}&=R_2+R_3, &R_{31}&=R_3+R_1,\\ r_{12}&=\frac{r_1(r_2+r_3)}{r_1+r_2+r_3}, &r_{23}&=\frac{r_2(r_1+r_3)}{r_1+r_2+r_3}, &r_{31}&=\frac{r_3(r_1+r_2)}{r_1+r_2+r_3}. \end{aligned}\qquad (1)

1.2 Экспериментальные измерения в данном случае предельно просты. Однако, численные значения зависят от сопротивлений предоставленных приборов. Результаты измерений соответствуют записанным теоретическим зависимостям, поэтому их легко проверять «на глаз». Незначительные отклонения от теоретических зависимостей могут быть обусловлены сопротивлением соединительных проводов. Поэтому желательно их проверить, перед тем как выдавать участникам олимпиады.

Часть 2. Эквивалентность схем.

2.1 Формулы для пересчета «треугольника» в «звезду» следуют из определения эквивалентности, приведенными в условии задачи. После небольших алгебраических усилий, можно получить формулы пересчета:

R_1=\frac{r_1r_3}{r_1+r_2+r_3},\quad R_2=\frac{r_1r_2}{r_1+r_2+r_3},\quad R_3=\frac{r_2r_3}{r_1+r_2+r_3}.\qquad (2)

2.2 Вариантов подбора необходимых сопротивлений бесконечно много, поэтому следует просто приведенные участниками олимпиады данные проверить по формулам (2), соответствуют ли они им. Заметим, что подобрать нужные сопротивления схем методом «научного тыка» достаточно сложно, необходимы предварительные теоретические оценки.

Напечатанные в оригинальном ключе схемы: звезда с сопротивлениями R1, R2, R3 и треугольник с r1, r2, r3; все выводы 1, 2, 3 и соединения сохранены.

Оригинал в Архива: G_2022_E9_usloviya.pdf · официални решения: G_2022_E9_reshenie.pdf