Съдържание

BelPhO 2022, Заключителен етап, 11. клас — Задача 11-1. Иголка в коническом бокале.

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2022

Республиканская физическая олимпиада 2022 года (Заключительный этап). Теоретический тур. 11 класс.

Внимание: Бележка към темата

Официальный ключ для жюри получен из того же архивного комплекта: все три задания и 20 вопросов сохранены целиком, без разделения связанных частей. В условии иголки напечатан полураствор π/2, а ключ использует прямой угол при вершине и направления сил под45°. В ключе иголки ссылка «неравенства (1)», обозначение n₁ в размерном интервале (15), строгие неравенства и предел α<17° сохранены. Ключ струны озаглавлен «Гитарная струна», вторая часть — «Колебания закрепленной струны»; условие содержит другие заголовки. Формула ключа (8) буквально заканчивается W=TΔl=T; подсказка условия называет u₀ отклонением центра струны. В ключе отскока сохранены напечатанные выражения v′ₓ и v′, cosα в (9) при cosβ в следующем определении Cₓ, zmax/zmin и средняя сила −5,69МН. Два знака отношения между z₀ и A на странице10 исходного ключа отображаются пустыми прямоугольниками: здесь сохранены квадраты, отсутствующий знак не восстановлен догадкой. Числовые баллы и отдельные чистые бланки ответов не получены. Две прежние поправки Opus к написанию стержня в условии сохранены без изменения; исходная атрибуция и полный старый текст связаны в истории источника.

11 класс.

Полный комплект состоит из трех заданий.
Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.
При оформлении работы каждое задание начинайте с новой страницы. При недостатке бумаги обращайтесь к организаторам!
Подписывать рабочие листы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады.

Постарайтесь внимательно прочитать условия задач!
Может, вам покажется, что условия задач слишком длинные. Но мы сочинили их такими, чтобы Вам было легче решать. Поверьте, иногда решения короче таких условий! Не теряйте присутствия духа, смело беритесь за решение каждой задачи. Помните, оцениваются не только полные решения, но и их отдельные части и даже отдельные здравые мысли.

Пакет заданий содержит:

титульный лист (1 стр.);
условия 3 теоретических задач (5 стр.).

Решения задач. 11 класс (для жюри). Теоретический тур. Вариант 2.

Уважаемые члены жюри!

Задачи, предложенные школьникам для решения на олимпиаде, не стандартные и достаточно сложные. Предложенные здесь варианты путей решений не являются единственно возможными. Участники олимпиады могут предложить свои способы решения. Если эти способы приводят к правильным ответам и физически обоснованы, то задача (или ее отдельные пункты) должны оцениваться максимальными баллами.

Не забывайте, что Вы должны оценивать не только конечные ответы, но и отдельные правильные шаги в ходе решения!

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших замечательных школьников!

Условие

В конический сосуд, ось которого вертикальна, помещен однородный массивный жесткий стержень $AB$ массы $m$ . Угол полураствора конуса равен $\varphi = \dfrac{\pi}{2}$ .

На следующем рисунке показано вертикальное сечение, в плоскости которого постоянно находится стержень $AB$ . Положение стержня задается углом наклона стержня к горизонту $\alpha$ .

Вертикальное сечение конуса: две образующие сходятся в вершине D, вертикальная ось штрихпунктиром; стержень AB с нижним концом A на левой стенке и верхним концом B на правой; у точки A отмечен угол α между стержнем и горизонталью, у вершины D — угол φ между стенкой и осью; в точке B красной стрелкой показана сила нормальной реакции N⃗1, перпендикулярная стенке.

Обозначим: $\vec{N}_1$ - сила нормальной реакции, действующей на стержень на его верхнем конце $B$ .

Конический сосуд с вертикальной осью (штрихпунктир), центр верхнего основания обозначен O; внутри лежит наклонный стержень AB, конец A ниже на левой стенке, конец B выше на правой стенке; у вершины конуса отмечен угол полураствора φ.

1. Определите, является ли горизонтальное положение стержня положением устойчивого равновесия при отсутствии трения между стержнем со стенками чаши.

2. Далее считайте, что коэффициент трения между торцами стержня и стенками сосуда равен $\mu = 0{,}15$ .

Пусть стержень находится в положении равновесия, располагаясь под углом $\alpha$ к горизонту. Определите, в каких пределах может изменяться значение модуля силы реакции $\vec{N}_1$ . Постройте схематические графики зависимостей граничных значений модуля силы $\vec{N}_1$ от угла $\alpha$ . Укажите на этом графике область возможных значений модуля силы $\vec{N}_1$ .

3. Рассчитайте численные значения углов $\alpha$ , при которых стержень может находиться внутри сосуда в положении равновесия.

Решение

Задача 1. Иголка в коническом бокале.

1. Рассмотрим, как будет изменяться положение центра стержня (т.е. его центра масс) при смещении стержня. Отметим, что угол при вершине сечения конуса $\angle ADB$ - прямой.

Направим оси декартовых координат вдоль образующих конуса. Если координаты концов стержня равны $DB'=x$ и $DA'=y$ , то координаты центра стержня будут равны $x_C=\frac{x}{2}$ , $y_C=\frac{y}{2}$ . Так как длина стержня остается неизменной, то координаты его концов удовлетворяют уравнению

x^2+y^2=l^2.\qquad (1)

Поэтому координаты центра стержня подчиняются аналогичному уравнению

x_C^2+y_C^2=\frac{l^2}{4},\qquad (2)

Которое является уравнением окружности радиуса $\frac{l}{2}$ с центром в вершине конуса. Следовательно, при смещении стрежня от горизонтального положения его центр масс опускается. Иными словами, при горизонтальном положении стержня его потенциальная энергия максимальна, поэтому горизонтальное положение стержня является положением неустойчивого равновесия.

2. При отклонении стержня от горизонтального положения он стремится еще больше отклониться от этого положения. Это рассуждение позволяет определить направления сил трения $\vec F_1$ и $\vec F_2$ , действующих на концы стержня (см. рисунок). Направления сил реакции $\vec N_1$ и $\vec N_2$ однозначны: они направлены перпендикулярно стенкам сосуда. Условия равновесия стержня традиционны: векторная сумма сил, действующих на стержень, равна нулю; сумма моментов этих сил также равна нулю.

Заметим, что все силы, действующие на стержень, лежат в одной плоскости. Поэтому можно записать только два независимых уравнения для суммы проекций сил, действующих на стержень. Так как сумма сил, действующих на стержень, равна нулю, то сумма моментов этих сил (которая равна нулю) не зависит от того, относительно какой точки рассматриваются эти силы. Поэтому можно записать только три независимых скалярных уравнения для определения действующих сил. Кроме того, в положении равновесия, когда стрежень неподвижен, нельзя однозначно выразить силу трения через соответствующую силу нормальной реакции, так как в этом случае сила трения есть сила трения покоя. Поэтому связь между этими сила ми выражается неравенством:

F_{\text{тр}}\le\mu N.\qquad (3)

Следовательно, все силы не определяются однозначно – их значения зависят от того, как способом стержень привели в положение равновесия. Таким образом, данная задача является недоопределенной: значения сил реакции и трения не определяются однозначно.

В такой ситуации мы можем определить только диапазоны, в которых могут лежать значения рассматриваемых сил. Для этого три из четырех неизвестных сил (две силы реакции и две силы трения) выразить через одну из них, а после этого, используя два неравенства (1) найти диапазоны изменения сил. Так как в вопросе 2, требуется определить пределы возможного изменения силы $N_1$ , то имеет смысл выразить остальные силы именно через модуль силы $N_1$ . Как следует из рисунка силы реакции и силы трения направлены под углом $45^\circ$ как к вертикали, так и к горизонтали, что серьезно упрощает получение уравнений, описывающих положение равновесия, записать которых можно великое множество. Из этого множества выберем самые простые (на наш взгляд).

Сумма сил в проекции на вертикальную ось равна нулю:

(F_2+N_2+N_1-F_1)\frac{\sqrt2}{2}=mg.\qquad (4)

Сумма сил в проекции на горизонтальную ось также равна нулю:

-F_2+N_2-N_1-F_1=0.\qquad (5)

Рассмотрим сумму моментов сил относительно центра стержня. Стороны «прямоугольника сил», через которые легко выразить плечи сил, определяются через длину стержня $|AB|=l$ :

\begin{aligned}|AD|&=l\cos\beta\\|DB|&=l\sin\beta\end{aligned}.\qquad (6)

Здесь угол $\beta=\angle BAD=\alpha+\frac\pi4$ . Тогда нулевая сумма моментов сил относительно центра стержня выражается формулой

N_1\frac l2\sin\beta-F_1\frac l2\cos\beta-N_2\frac l2\cos\beta-F_2\frac l2\sin\beta=0.\qquad (7)

Для упрощения дальнейших выкладок удобно в качестве единицы силы выбрать величину $F_0=\frac{mg}{\sqrt2}$ . Тогда для сил реакции и трения можно ввести относительные единицы:

f_1=\frac{F_1}{F_0};\quad f_2=\frac{F_2}{F_0};\quad n_1=\frac{N_1}{F_0};\quad n_2=\frac{N_2}{F_0}.\qquad (8)

Для этих величин выполняется система уравнений, следующих из формул (4), (5), (7):

\begin{cases}-f_1+f_2+n_2=2-n_1\\-f_1-f_2+n_2=n_1\\f_1+f_2\operatorname{tg}\beta+n_2=n_1\operatorname{tg}\beta\end{cases}.\qquad (9)

Из этой системы уравнений следует, все силы могут быть выражены через $n_1$ следующим образом:

\begin{cases}f_1=n_1\operatorname{tg}\beta-\dfrac{\operatorname{tg}\beta+1}{2}\\f_2=1-n_1\\n_2=n_1\operatorname{tg}\beta-\dfrac{\operatorname{tg}\beta-1}{2}\end{cases}.\qquad (10)

Используем теперь неравенства, определяющие возможные значения сил трения.

На верхнем конце стержня:

f_1<\mu n_1\quad\Rightarrow\quad n_1\operatorname{tg}\beta-\frac{\operatorname{tg}\beta+1}{2}<\mu n_1.\qquad (11)

или

n_1<\frac{\operatorname{tg}\beta+1}{2(\operatorname{tg}\beta-\mu)}.\qquad (12)

На нижнем конце стрежня:

f_2<\mu n_2\quad\Rightarrow\quad 1-n_1<\mu\left(n_1\operatorname{tg}\beta-\frac{\operatorname{tg}\beta-1}{2}\right).\qquad (13)

Откуда следует, что

n_1>\frac{1+\mu\dfrac{\operatorname{tg}\beta-1}{2}}{(1+\mu\operatorname{tg}\beta)}.\qquad (14)

Отметим, что при положительных значениях угла $\alpha$ $\operatorname{tg}\beta=\operatorname{tg}\left(\frac\pi4+\alpha\right)>1$ .

Таким образом. в положении равновесия значение модуля силы нормальной реакции $\vec N_1$ может лежать в интервале:

\frac{mg}{\sqrt2}\frac{1+\mu\dfrac{\operatorname{tg}\beta-1}{2}}{(1+\mu\operatorname{tg}\beta)}\le n_1\le\frac{mg}{\sqrt2}\frac{\operatorname{tg}\beta+1}{2(\operatorname{tg}\beta-\mu)}.\qquad (15)

На рисунке показаны графики зависимостей верхней и нижней границ возможных значений силы нормальной реакции $n_1$ (определяемые формулами (15)) от угла $\alpha$ . На этом графике выделена область возможных значений силы нормальной реакции.

Из этого рисунка следует, что существует точка пересечения графиков границ, которая и соответствует максимально возможному углу наклона стержня в положении равновесия.

3. Для определения максимального угла следует решить уравнение:

.\frac{1+\mu\dfrac{\operatorname{tg}\beta-1}{2}}{(1+\mu\operatorname{tg}\beta)}=\frac{\operatorname{tg}\beta+1}{2(\operatorname{tg}\beta-\mu)}\qquad (16)

Из этого уравнения находим:

\operatorname{tg}\beta^*=\frac{1+2\mu-\mu^2}{1-2\mu-\mu^2}=1{,}89\qquad (17)

Или $\alpha=17^\circ$ . Стержень может находиться в состоянии равновесия при $\alpha<17^\circ$ .

Силы N₁,N₂,F₁,F₂,mg и углы α,β,φ в полном оригинальном сечении сосуда.

Полный оригинальный график верхней и нижней границ нормальной реакции: сетка, область, оси, заголовок и легенда.

Оригинал в Архива: RF2022_var2_11_usloviya_is.pdf · официални решения: RF2022_var2_11_resheniya_is.pdf