Съдържание

Условие Часть 1. Распределение потенциала вдоль оси Х Часть 2. Распределение поля в плоскости.Решение

BelPhO 2022, Заключителен етап, 11. клас — Задача 1. Растекание токов и распределение потенциала.

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2022

Республиканская физическая олимпиада 2022 года (Заключительный этап). Экспериментальный тур. 11 класс.

Внимание: Бележка към темата

В решении задания 11-1 формула (2) напечатана как 1/(xφ) = (l² − x²)/C и не соответствует преобразованию предыдущей формулы (1); сохранён оригинал. В ключе задания 11-2 нет отдельного пункта 2.1: абзац о получении изображения напечатан с номером 2.2. Части ключа сгруппированы по соответствующим заголовкам условия, напечатанные номера сохранены. В заголовке решений указан 2020–2021 учебный год, при этом основной заголовок — «2022 года», 11 класс, вариант 2.

Инструкция для участников

Полный комплект состоит из двух заданий, на выполнение каждого отводится два с половиной часа. Сдавать работу следует после выполнения обоих заданий. Задания могут быть не равноценными, поэтому ознакомьтесь с условиями обеих задач.
Ознакомьтесь с перечнем оборудования – проверьте его наличие и работоспособность. При отсутствии оборудования или сомнении в его работоспособности немедленно обращайтесь к представителям оргкомитета.
При оформлении работы каждую задачу и каждую ее часть начните с новой страницы.
Все графики рекомендуем строить на листе миллиметровой бумаги, выданном для выполнения каждого задания. Обязательно пронумеруйте и подпишите все построенные графики. Листы миллиметровой бумаги вложите в свою тетрадь.
Подписывать рабочие страницы и графики запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к организаторам.

Желаем успехов в выполнении данных заданий!

Данный комплект заданий содержит:

титульный лист (1 стр.);
условия двух заданий (3 стр.).

Условие

По закону Ома (записанному в дифференциальной форме)

\vec{j} = \frac{1}{\rho}\vec{E} \qquad (1)

распределение вектора плотности тока при его распространении в протяженной среде полностью совпадает с распределением вектора напряженности электрического тока.

Измерение распределения напряженности и потенциала в электростатических полях является сложной и труднореализуемой проблемой. Измерение же разности потенциалов при протекании электрического тока является банальной и элементарной задачей, легко решаемой с помощью обыкновенного мультиметра. Это и предстоит проделать Вам в ходе выполнения данного задания.

Приборы и оборудование: лист влажного картона формата А4, источник напряжения 4,5 В (гальванический элемент); мультиметр, соединительные провода с зажимами-клипсами, подвижный контакт (ластик с гвоздиком).

Картон вам надо намочить самостоятельно. Опустите его в воду на несколько десятков секунд, а потом протрите салфеткой.

Вам предоставлен лист картона. На этот лист нанесены 2 шкалы (оси координат). Условимся длинную нижнюю ось обозначать осью $x$ . Начало отсчета находится в центре листа. Перпендикулярную ось, проходящую по середине листа, назовем осью $y$ . Источник тока следует подключить к клеммам А и В, находящимся на оси ОХ. Убедитесь в наличии электрического контакта между этими клеммами и картоном, соблюдайте полярность подключения. Если вы не проводите измерений отключайте источник от цепи, не давайте ему разряжаться!

Схема установки: прямоугольный лист картона (желтый) с вертикальной шкалой по оси y в середине и горизонтальной шкалой вдоль нижнего края (ось x). Клеммы A (−) и B (+) на концах нижней стороны подключены к батарее. Клемма C на середине верхней стороны соединена через вольтметр V с подвижным контактом D.

Один вывод вольтметра подключите к клемме С, расположенной на середине противоположной стороны листа. Второй вывод подключайте к подвижному контакту D.

Отрегулируйте положение контакта С таким образом, чтобы при подключении к точкам А и В мультиметр давал равные по модулю и противоположные по знаку значения напряжения. После этого подберите такое положение начала отсчета оси Х, чтобы значения напряжения между точкой С и началом отсчета равнялось нулю. При такой настройке вольтметр будет показывать значение потенциала в произвольной точке подключения подвижного контакта.

Часть 1. Распределение потенциала вдоль оси Х

1.1 Измерьте зависимость потенциала от координаты $x$ на оси ОХ (т.е. при $y = 0$ ): $\varphi_0(x)$ . Постройте график полученной зависимости.

1.2 Можно предположить, что в данном случае зависимость потенциала от расстояния до источника (укажите, что в данном случае может рассматриваться как источник) обратно пропорциональна расстоянию до источника (как потенциал поля точечного заряда). Проверьте, выполняется ли в данном случае это предположение.

1.3 Полученная зависимость $\varphi_0(x)$ может быть аппроксимирована (приближенно описана) функцией вида

\varphi_0(x) = ax + bx^3 \qquad (2)

Используя все полученные экспериментальные данные, рассчитайте значения коэффициентов $a, b$ этой зависимости.

1.4 Выскажите предположение о виде зависимости потенциала точечного источника от расстояния в данной задаче.

Часть 2. Распределение поля в плоскости.

2.1 Измерьте значения потенциалов в узлах квадратной сетки с шагом $h = 2\,\text{см}$ для положительных значений координат $\varphi_{ij}$ в точках с координатами $x_i = ih,\quad y_j = jh,\quad i, j = 1,2,\ldots$

2.2 На основании проведенных измерений нарисуйте на листе миллиметровой бумаги (в масштабе 1:1), эквипотенциальную линию, проходящую через точку с координатами $x = 10\,\text{см},\quad y = 0$ . Приведите формулы, по которым вы получили эту линию. Можете построить эту же линию, проведя дополнительные измерения. Опишите использованный вами метод.

2.3 Во всех узловых точках (т.е. с шагом 2 см) на прямой с координатой $x = 10\,\text{см}$ укажите направление вектора напряженности электрического поля в картоне. Построение выполните на том же листе миллиметровой бумаги.

Решение

Часть 1. Распределение потенциала вдоль оси Х

1.1 Измерение потенциала следует проводить с шагом не более 1 см, в противном случае провести тщательный анализ этой зависимости невозможно.

График полученной зависимости нелинейный, напоминает кубическую параболу. Функция. описывающая полученную зависимость, нечетная.

1.2 В рамках предположения о том, что зависимость потенциала от расстояния до источника обратно пропорциональна расстоянию до источника (как потенциал поля точечного заряда), функция описывающая полученную зависимость $\varphi(x)$ должна иметь вид

\varphi=C\left(\frac{1}{l-x}-\frac{1}{l+x}\right)=C\frac{2x}{l^2-x^2}\ .\qquad (1)

Эта зависимость допускает линеаризацию

\frac{1}{x\varphi}=\frac{l^2-x^2}{C}\ .\qquad (2)

Однако, замена переменных $Y=\frac{1}{x\varphi}$ , $X=x^2$ и построение графика зависимости $Y(X)$ показывает, что данная зависимость не является линейной. Таким образом, предположение об обратной зависимости потенциала от расстояния не выполняется.

1.3 Для определения параметров зависимости $\varphi_0(x)=ax+bx^3$ ее необходимо привести к виду

\frac{\varphi_0(x)}{x}=a+bx^2\ .\qquad (3)

В этом случае для расчета коэффициентов $a,b$ можно воспользоваться методом наименьших квадратов.

1.4 Так как растекание токов происходит в плоскости, то наиболее разумным является предположение о том, что зависимость потенциала от расстояния до источника является логарифмической:

\varphi=\varphi_0\ln\frac{r_0}{r}\ .\qquad (4)

Часть 2. Распределение поля в плоскости.

2.1 Измерение потенциала проводится описанным в условии методом.

2.2 Эквипотенциальная поверхность есть геометрическое место точек, имеющих один и тот же потенциал. На плоскости эквипотенциальная поверхность является линией пересечения трехмерной эквипотенциальной поверхности с плоскостью. Крайняя точка требуемой линии задана в условии, потенциал в этой точке измерен, обозначим его $\varphi_1$ . Для построения всей линии можно воспользоваться двумя методами.

Первый, экспериментальный: проводя сканирование потенциала вдоль некоторой прямой параллельной оси $x$ (с некоторым шагом, например, те же 2 см) найти на этой прямой точку с тем же значением потенциала.

Второй, теоретический: используя данные проведенных измерений провести линейную интерполяцию значений потенциалов между двумя узловыми точками, и по ней рассчитать координаты точек, имеющих потенциал $\varphi_1$ .

Заметим, что данная эквипотенциальная линия является замкнутой и охватывает один из подводящих контактов.

2.3 Так как напряженность поля равна производной от потенциала, взятой с противоположным знаком

\begin{aligned}E_x&=-\frac{d\varphi}{dx}\\E_y&=-\frac{d\varphi}{dy}\end{aligned}\ ,\qquad (5)

То для построения направления вектора напряженности, производные можно приближенно заменить отношением конечных разностей,

\begin{aligned}E_x&=-\frac{\varphi_{i+1,j}-\varphi_{i,j}}{h}\\E_y&=-\frac{\varphi_{i,j+1}-\varphi_{i,j}}{h}\end{aligned}\ .\qquad (6)

Расчеты по этим простым формулам следует провести по всем точкам, значения потенциалов измерены в ходе выполнения пункта 2.1.

Уважаемые члены жюри!

Задачи, предложенные школьникам для решения на олимпиаде, не стандартные и достаточно сложные. Предложенные здесь варианты путей решений не являются единственно возможными. Участники олимпиады могут предложить свои способы решения. Если эти способы приводят к правильным ответам и физически обоснованы, то задача (или ее отдельные пункты) должны оцениваться максимальными баллами.

Не забывайте, что Вы должны оценивать не только конечные ответы, но и отдельные правильные шаги в ходе решения!

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших замечательных школьников!

Оригинал в Архива: RF2022_var2_E11_usloviais.pdf · официални решения: RF_2022_E11_var2_resheniya.pdf