Съдържание

BelPhO 2022, Заключителен етап, 9. клас — Задача 9-1.1. 9 класс — 1.1. Неоднородная разминка.

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2022

Республиканская физическая олимпиада 2022 года (Заключительный этап). Теоретический тур. 9 класс.

Внимание: Бележка към темата

Ключ для жюри получен из того же архивного комплекта и полностью транскрибирован. В условии задачи 1.1 требуется T₁/T₂, а ключ печатает обратное отношение T₂/T₁; в ключе сохранены также повтор Cρ₂, x₂=l/3 и формула центра масс. В решении тепловой задачи напечатано «стержня от координаты», ось графика обозначена x. Для лунной гравитации условие задает S=|AD|, ключ — S=AC и S=2R sinα=1,66 км при R=2,35 км; все эти печатные расхождения сохранены. После слов «и равно» на странице ключа 5 формула не напечатана. Числовые баллы не указаны. Историческая транскрипция условий выполнена Opus 5.5; нынешняя полная работа по оригиналам — GPT-6.1 Sol, один проход с автоматическими проверками, без отдельного проверяющего моделем. Ключ на странице 5 использует индекс п у мощности в формулах (11), (12), а на странице 6 — д в (13), (14); печатное различие сохранено.

9 класс.

Полный комплект состоит из трех заданий.
Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.
При оформлении работы каждое задание начинайте с новой страницы. При недостатке бумаги обращайтесь к организаторам!
Подписывать рабочие листы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады.

Постарайтесь внимательно прочитать условия задач!
Может, вам покажется, что условия задач слишком длинные. Но мы сочинили их такими, чтобы Вам было легче решать. Поверьте, иногда решения короче таких условий! Не теряйте присутствия духа, смело беритесь за решение каждой задачи. Помните, оцениваются не только полные решения, но и их отдельные части и даже отдельные здравые мысли.

Пакет заданий содержит:

титульный лист (1 стр.);
условия 3 теоретических задач (3 стр.).

Решения задач. 9 класс (для жюри). Теоретический тур. Вариант 2.

Уважаемые члены жюри!

Задачи, предложенные школьникам для решения на олимпиаде, не стандартные и достаточно сложные. Предложенные здесь варианты путей решений не являются единственно возможными. Участники олимпиады могут предложить свои способы решения. Если эти способы приводят к правильным ответам и физически обоснованы, то задача (или ее отдельные пункты) должны оцениваться максимальными баллами.

Не забывайте, что Вы должны оценивать не только конечные ответы, но и отдельные правильные шаги в ходе решения!

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших замечательных школьников!

Условие

Задание состоит из 3 не связанных между собой задач.

Развитие технологий (в том числе нанотехнологий) привело к созданию материалов с необычными свойствами, часто их называют метаматериалы. Описанию некоторых таких материалов и посвящено данное задание.

Горизонтальный стержень на двух опорах (треугольники) под концами; левый конец обозначен ρ1, правый — ρ2; стержень затемнён от левого конца к правому; над концами вертикальные стрелки сил T1 (слева) и T2 (справа).

1.1 Задача 1.1

Тонкий стержень длины $l$ изготовлен из материала, плотность которого изменяется по линейному закону от значения $\rho_1$ на одном конце до $\rho_2$ на другом. Стержень располагают горизонтально на двух опорах, расположенных под концами стержня.

Найдите отношение модулей сил реакции опор $\dfrac{T_1}{T_2}$ .

Решение

Задание 9-1. Неоднородная разминка. Задача 1.1

Для определения сил реакции воспользуемся условием равновесия тела: сумма моментов сил, действующих на тело, относительно произвольной точки равна нулю. Запишем это условие для точки центра масс стержня.

Силы T₁,T₂,mg и центр масс C неоднородного стержня.

T_1x_C=T_2(l-x_C).\qquad (1)

Откуда следует, что искомое отношение сил равно:

\frac{T_2}{T_1}=\frac{x_C}{l-x_C}.\qquad (2)

Для определения центра масс неоднородного стержня рассмотрим однородную трапецию с длинами оснований численно равными $C\rho_2$ и $C\rho_2$ и высотой $l$ . Если мы выделим малый участок (полоску) шириной $\Delta x$ , то масса этой полоски будет равна (точнее, пропорциональна) массе такого же отрезка рассматриваемого неоднородного стержня. Поэтому координаты $x_C$ центров масс стержня и трапециевидной пластинки будут одинаковы.

Трапеция плотности ρ₁,ρ₂ и выделенная полоска Δx.

Рассчитать координату центра масс пластинки можно традиционным способом.
Разобьем трапецию на прямоугольник и треугольник. Масса прямоугольника равна $m_1=C\rho_1l$ , координата его центра масс $x_1=\frac l2$ . Масса треугольника $m_2=\frac C2(\rho_2-\rho_1)l$ , координата его центра масс $x_2=\frac l3$ . Тогда координата центра масс трапеции задается формулой

x_C=\frac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}=\frac{\rho_2+2\rho_1}{3(\rho_2+\rho_1)}l.\qquad (3)

Подставляя это выражение в формулу (2), получим:

\frac{T_2}{T_1}=\frac{x_C}{l-x_C}=\frac{\rho_2+2\rho_1}{\rho_1+2\rho_2}.\qquad (4)

Оригинал в Архива: RF2022_var2_9_usloviya_is.pdf · официални решения: RF2022_var2_9_resheniyais.pdf