Съдържание

BelPhO 2022, Заключителен етап, 9. клас — Задача 9-2. Лунная гравитация.

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2022

Республиканская физическая олимпиада 2022 года (Заключительный этап). Теоретический тур. 9 класс.

Внимание: Бележка към темата

Ключ для жюри получен из того же архивного комплекта и полностью транскрибирован. В условии задачи 1.1 требуется T₁/T₂, а ключ печатает обратное отношение T₂/T₁; в ключе сохранены также повтор Cρ₂, x₂=l/3 и формула центра масс. В решении тепловой задачи напечатано «стержня от координаты», ось графика обозначена x. Для лунной гравитации условие задает S=|AD|, ключ — S=AC и S=2R sinα=1,66 км при R=2,35 км; все эти печатные расхождения сохранены. После слов «и равно» на странице ключа 5 формула не напечатана. Числовые баллы не указаны. Историческая транскрипция условий выполнена Opus 5.5; нынешняя полная работа по оригиналам — GPT-6.1 Sol, один проход с автоматическими проверками, без отдельного проверяющего моделем. Ключ на странице 5 использует индекс п у мощности в формулах (11), (12), а на странице 6 — д в (13), (14); печатное различие сохранено.

9 класс.

Полный комплект состоит из трех заданий.
Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.
При оформлении работы каждое задание начинайте с новой страницы. При недостатке бумаги обращайтесь к организаторам!
Подписывать рабочие листы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады.

Постарайтесь внимательно прочитать условия задач!
Может, вам покажется, что условия задач слишком длинные. Но мы сочинили их такими, чтобы Вам было легче решать. Поверьте, иногда решения короче таких условий! Не теряйте присутствия духа, смело беритесь за решение каждой задачи. Помните, оцениваются не только полные решения, но и их отдельные части и даже отдельные здравые мысли.

Пакет заданий содержит:

титульный лист (1 стр.);
условия 3 теоретических задач (3 стр.).

Решения задач. 9 класс (для жюри). Теоретический тур. Вариант 2.

Уважаемые члены жюри!

Задачи, предложенные школьникам для решения на олимпиаде, не стандартные и достаточно сложные. Предложенные здесь варианты путей решений не являются единственно возможными. Участники олимпиады могут предложить свои способы решения. Если эти способы приводят к правильным ответам и физически обоснованы, то задача (или ее отдельные пункты) должны оцениваться максимальными баллами.

Не забывайте, что Вы должны оценивать не только конечные ответы, но и отдельные правильные шаги в ходе решения!

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших замечательных школьников!

Условие

Для значительного уменьшения веса в земных условиях (например, при тренировках космонавтов) можно использовать богатые возможности современной науки и техники: от лифта до самолёта (Рис. 1). Рассмотрим некоторые из них.

Рис. 1 (подпись не напечатана). Фотография:космонавт в скафандре стоит на поверхности Луны.

Силой сопротивлением воздуха в первой части данной задачи можно пренебречь. Ускорение свободного падения на поверхности Земли $g = 9{,}81\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}^2}$ , а на Луне в $\eta = 6{,}06$ меньше.

Часть 1. «Идеальная» лунная гравитация.

В этой части задачи будем понимать под «лунной невесомостью» механическое состояние системы, при котором её вес уменьшается в $\eta = 6{,}06$ раза, т.е. «по ощущениям» становится равным весу на Луне (Рис. 1). Будем также считать, что сила сопротивления воздуха $F_c$ мала, и ей можно пренебречь.

Рассмотрим лифт, который может двигаться с любым ускорением по вертикальной шахте (как вверх, так и вниз!).

1.1 В каком направлении, и с каким ускорением $a_1$ необходимо двигать лифт, чтобы его пассажиры испытали «лунную невесомость»?

1.2 Для создания «лунной невесомости» при тренировках космонавтов в земных условиях используются полёты авиации по круговой траектории с «приглушенными» двигателями (сила тяги $F_T = 0$ ).

Рис. 2: волнообразная траектория самолёта. Самолёт в точке A поднимается под углом 45° к горизонту, проходит верхнюю точку B на высоте h1 над точкой S (середина отрезка AC), в точке C снижается под углом 45°, проходит нижнюю точку D и в точке E снова поднимается под углом 45°; пунктир AC и CE на одной высоте; слева вертикальная стрелка g вниз; области под дугами окрашены голубым и жёлтым.

Пусть самолёт, находясь в точке $A$ , и имея скорость $v_0 = 650\,\dfrac{\text{км}}{\text{ч}}$ направленную под углом $\alpha = 45^{\circ}$ к горизонту, переходит на круговую траекторию $ABC$ (см. Рис. 2) некоторого радиуса.

Найдите, при каком радиусе $R$ круговой траектории пассажиры (и экипаж!) будут испытывать в точке $B$ «лунную невесомость»?

1.3 Вычислите максимальную высоту подъёма $h_1$ самолёта и его дальность полёта $S = |AD|$ по горизонтали.

1.4 В точке $C$ траектории (на начальной высоте) пилоты переводят машину на «симметричную» окружность $CDE$ . Чему равна перегрузка $\eta = \dfrac{a_2}{g}$ пассажиров в нижней точке $D$ траектории, где $a_2$ – модуль ускорения самолёта в точке $D$ ?

2.1 Часть 2. «Реальная» лунная гравитация.

В этой части задачи учтем силу сопротивления воздуха $F_C$ , и будем считать, что она пропорциональна квадрату скорости самолёта: $F_C = -\beta v^2$ , где $\beta$ – некоторый постоянный коэффициент сопротивления. Пилоты по-прежнему стараются получить «лунную невесомость» в точке $B$ .

Найдите отношение мощностей двигателя в точках $A$ и $B$ $n = \dfrac{P(A)}{P(B)}$ .

2.2 При движении вблизи точки $C$ пересечения верхней и нижней окружностей (т.е. практически «по прямой») пассажиры испытывают резкий толчок. С чем, по вашему мнению, связано данное явление?

Решение

Задание 2. Лунная гравитация.

Часть 1. «Идеальная» лунная гравитация.

1.1 «Лифт» Вес тела $\vec P$ — сила, с которой тело действует на опору или растягивает подвес. В отличие от силы тяжести, вес, приложенный к опоре или подвесу, зависит от состояния движения опоры или подвеса.

Рассмотрим (для определенности) брусок на горизонтальной поверхности (Рис. 1), которая может двигаться вверх или вниз с различными скоростями и ускорениями.

Рис.1: силы на брусок и опору в ускоряющемся лифте.

При равномерном движении опоры в любом направлении вес $\vec P$ тела не изменится, поскольку эта система отсчета инерциальная (ИСО).

Если же опора будет иметь ускорение, направленное, например, вверх (см. Рис. 1), то вес тела увеличится (следует из второго закона Ньютона)

P_1=m(g+a).\qquad (1)

Заметим, что (1) никак не зависит от направления скорости — тело может двигаться как вверх, так и вниз, важно направление именно ускорения. Таким образом, при направлении ускорения лифта «вверх» получить состояние невесомости $(P=0)$ никак не получится.

При направлении ускорения лифта «вниз» ситуация меняется

P_1=m(g-a).\qquad (2)

Таким образом, для получения «лунной» невесомости ускорение $\vec a$ лифта должно быть направлено строго вниз. При этом его пассажиры испытают кратковременную «лунную невесомость» (не более нескольких секунд!).

1.2 «Самолёт» Как следует из решения пункта 1.1 при движении тела с ускорением $a_1$ , направленным вниз, оно находится в состоянии «лунной невесомости».

Следовательно, центростремительное ускорение самолёта в верхней точке $B$ траектории (Рис. 2) согласно (4) должно быть равно

\frac{v_1^2}{R}=\frac{\eta-1}{\eta}g,\qquad (3)

где $v_1$ — скорость самолёта в точке $B$ .
Поскольку силой сопротивления воздуха $F_c$ и силой тяги $F_T$ двигателей в данном пункте можно пренебречь, то для расчета скорости $v_1$ самолёта воспользуемся законом сохранения энергии

\frac{mv_0^2}{2}=\frac{mv_1^2}{2}+mgh_1\quad\Rightarrow\quad v_1=\sqrt{v_0^2-2gh_1},\qquad (4)

где $m$ — масса самолёта. Как следует из Рис. 3, при радиусе траектории $R$

h_1=R(1-\cos\alpha).\qquad (5)

В итоге:

\frac{v_0^2-2gR(1-\cos\alpha)}R=\frac{\eta-1}{\eta}g\quad\Rightarrow\quad R=\frac{\eta v_0^2}{(\eta(3-2\cos\alpha)-1)g}=2{,}35\text{ км}.\qquad (6)

1.3 Зная радиус окружности $R$ , найдём дальность полёта $S=AC$ по круговой траектории и высоту $h_1$ подъёма найдём, как проекции соответствующих радиусов на горизонталь и вертикаль

Рис.3: круговая траектория, высота h₁ и дальность S.

S=2R\sin\alpha=1{,}66\text{ км}.\qquad (7)

h_1=R(1-\cos\alpha)=0{,}689\text{ км}.\qquad (8)

1.4 В нижней точке $D$ траектории (см. Рис. 2) по закону сохранения энергии скорость самолёта вырастет до значения

v_2=\sqrt{v_0^2+2gh_1}.\qquad (9)

Следовательно, центростремительное ускорение самолёта будет направлено вверх и равно

где $R$ — радиус (6) кривизны окружности в нижней точке траектории (такой же, как и в верхней точке).

Таким образом, ответ в данном пункте принимает вид

\eta=\frac{a_2}g=2{,}00.\qquad (10)

Для справки на Рис. 4 приведены показания приборов, измеряющих перегрузку внутри самолёта в реальной ситуации. Как видим из рисунка, показания самописцев в районе точки $D$ дают для перегрузки значение

Рис.4: запись перегрузки самолета и интервал около20с.

\eta=\frac{a_2}g=2{,}00.

Таким образом, наша оценка представляется вполне адекватной и реальной.

Часть 2. «Реальная» лунная гравитация.

2.1 При учете силы сопротивления воздуха (т.е. в реальной ситуации) пилоты не выключают двигатели полностью, поскольку для возникновения невесомости необходимо силой тяги двигателей $F_T$ постоянно компенсировать действующую на самолёт силу сопротивления воздуха $F_c=-\beta v^2$ .

Для этого (помимо высокого лётного мастерства!) необходима мгновенная мощность

P_{\text{п}}(t)=F_T\cdot v=F_c\cdot v=\beta v^3.\qquad (11)

Соответственно, в точках $A$ и $B$ мощность двигателя будет

P_{\text{п}}(A)=\beta v_0^3.\qquad (12)

Соответственно, искомая мощность

P_{\text{д}}(B)=\beta v_1^3=\beta\left(v_0\sqrt{1-\frac{2\eta(1-\cos(\alpha))}{\eta(3-2\cos\alpha)-1}}\right)^3.\qquad (13)

Искомое отношение мощностей

n=\frac{P_{\text{д}}(A)}{P_{\text{д}}(B)}=\frac1{\left(\sqrt{1-\frac{2\eta(1-\cos(\alpha))}{\eta(3-2\cos\alpha)-1}}\right)^3}=2{,}22.\qquad (14)

Все необходимые вычисления следует проводить с учетом правила сохранения трёх значащих цифр (столько задано в условии).

2.2 При движении вблизи точки $C$ происходит «смена» окружностей и, соответственно, мгновенный перенос центров кривизны различных участков траекторий из точки $O_1$ в точку $O_2$ (Рис. 5). Это приводит к резкому изменению направления центростремительного ускорения на угол примерно в 180 градусов (было направление $CO_1$ , а «через мгновение» стало $CO_2$ ).

Рис.5: переход между окружностями с центрами O₁,O₂.

Такое изменение действующих сил и ускорений изнутри самолёта воспринимается как действие больших сил инерции, что и «чувствуют» на себе пассажиры, перелетая от борта к борту. Данное явление, правда, в меньших масштабах, можно наблюдать при двойном повороте трамвая или троллейбуса, если внимательно проследить за синхронными «качаниями голов» сидящих пассажиров.

Оригинал в Архива: RF2022_var2_9_usloviya_is.pdf · официални решения: RF2022_var2_9_resheniyais.pdf