Съдържание

BelPhO 2022, Заключителен етап, 9. клас — Задача 9-3. Три груза.

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2022

Республиканская физическая олимпиада 2022 года (Заключительный этап). Теоретический тур. 9 класс.

Внимание: Бележка към темата

Ключ для жюри получен из того же архивного комплекта и полностью транскрибирован. В условии задачи 1.1 требуется T₁/T₂, а ключ печатает обратное отношение T₂/T₁; в ключе сохранены также повтор Cρ₂, x₂=l/3 и формула центра масс. В решении тепловой задачи напечатано «стержня от координаты», ось графика обозначена x. Для лунной гравитации условие задает S=|AD|, ключ — S=AC и S=2R sinα=1,66 км при R=2,35 км; все эти печатные расхождения сохранены. После слов «и равно» на странице ключа 5 формула не напечатана. Числовые баллы не указаны. Историческая транскрипция условий выполнена Opus 5.5; нынешняя полная работа по оригиналам — GPT-6.1 Sol, один проход с автоматическими проверками, без отдельного проверяющего моделем. Ключ на странице 5 использует индекс п у мощности в формулах (11), (12), а на странице 6 — д в (13), (14); печатное различие сохранено.

9 класс.

Полный комплект состоит из трех заданий.
Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.
При оформлении работы каждое задание начинайте с новой страницы. При недостатке бумаги обращайтесь к организаторам!
Подписывать рабочие листы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады.

Постарайтесь внимательно прочитать условия задач!
Может, вам покажется, что условия задач слишком длинные. Но мы сочинили их такими, чтобы Вам было легче решать. Поверьте, иногда решения короче таких условий! Не теряйте присутствия духа, смело беритесь за решение каждой задачи. Помните, оцениваются не только полные решения, но и их отдельные части и даже отдельные здравые мысли.

Пакет заданий содержит:

титульный лист (1 стр.);
условия 3 теоретических задач (3 стр.).

Решения задач. 9 класс (для жюри). Теоретический тур. Вариант 2.

Уважаемые члены жюри!

Задачи, предложенные школьникам для решения на олимпиаде, не стандартные и достаточно сложные. Предложенные здесь варианты путей решений не являются единственно возможными. Участники олимпиады могут предложить свои способы решения. Если эти способы приводят к правильным ответам и физически обоснованы, то задача (или ее отдельные пункты) должны оцениваться максимальными баллами.

Не забывайте, что Вы должны оценивать не только конечные ответы, но и отдельные правильные шаги в ходе решения!

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших замечательных школьников!

Условие

Жесткая доска может поворачиваться вокруг горизонтальной оси $CC'$ , закрепленной на опорах. На доске располагают три груза, расположение которых показано на рисунке. Массы грузов равны $m_1, m_2, m_3$ , массой доски следует пренебречь. Доску удерживают в горизонтальном положении, а затем отпускают.

Горизонтальная доска на оси CC' (опора C под доской); на доске три цилиндрических груза: m1 слева от оси на расстоянии l, m2 справа от оси на расстоянии l, m3 ещё на l правее m2; справа стрелка g вниз.

3.1 Выразите ускорение $a_1$ груза $m_1$ сразу после отпускания доски через массы всех грузов и ускорение свободного падения $g$ .

3.2 Рассчитайте ускорение груза $m_1$ сразу после отпускания доски при $m_1 = 3m_0$ , $m_2 = 10m_0$ , $m_3 = m_0$ .

Решение

Задание 3. Три груза.

1. Обозначим искомое ускорение груза $m_1$ через $a$ . Положительным направлением этого ускорения будем считать направление «вверх». Тогда ускорение груза $m_2$ по модулю также равно $a$ , но направлено вниз; ускорение груза $m_3$ будет равно $2a$ .

Запишем уравнения 2 закона Ньютона для каждого груза

\begin{aligned}m_1a&=N_1-m_1g,\\m_2a&=m_2g-N_2,\\2m_3a&=m_3g-N_3.\end{aligned}\qquad (1)

Так как масса доски пренебрежимо мала, то для нее справедливо уравнение (по 3 закону Ньютона, на доску действую со стороны грузов силы, равные по модулю силам реакции, действующих на грузы):

N_1l=N_2l+N_3\cdot2l.\qquad (2)

Из уравнений (1) выразим силы реакции

\begin{aligned}N_1&=m_1a+m_1g,\\N_2&=m_2g-m_2a,\\N_3&=m_3g-2m_3a.\end{aligned}\qquad (3)

И подставим в уравнение (2)

m_1a+m_1g=m_2g-m_2a+2m_3g-4m_3a.\qquad (4)

Откуда выразим ускорение груза $m_1$ :

a=\frac{m_2+2m_3-m_1}{m_1+m_2+4m_3}g.\qquad (5)

Теперь обратим внимание, что ускорение груза $m_3$ , равное

a_3=2a=2\frac{m_2+2m_3-m_1}{m_1+m_2+4m_3}g,\qquad (6)

формально может стать больше, чем ускорение свободного падения $g$ , чего в реальности быть не может: в этом случае груз $m_3$ просто оторвется от доски. Это произойдет, если

a_3=2a=2\frac{m_2+2m_3-m_1}{m_1+m_2+4m_3}g>g\quad\Rightarrow\quad m_2>3m_1.\qquad (7)

В этом случае доска начнет двигаться только под действием грузов $m_1$ и $m_2$ . Тогда система уравнений, описывающих поведение системы, будет иметь вид:
Для грузов

\begin{aligned}m_1a&=N_1-m_1g,\\m_2a&=m_2g-N_2.\end{aligned}\qquad (8)

Для доски:

N_1=N_2.\qquad (9)

Из этой системы находим ускорение груза $m_1$ :

a=\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}g.\qquad (10)

Таким образом, окончательная формула для ускорения имеет вид:

a=\begin{cases}\dfrac{m_2+2m_3-m_1}{m_1+m_2+4m_3}g,&m_2<3m_1,\\\dfrac{m_2-m_1}{m_1+m_2}g,&m_2\geq3m_1.\end{cases}\qquad (11)

2. Так как $m_2>3m_1$ , то для расчета ускорения следует воспользоваться формулой (10), поэтому

a=\frac7{13}g.\qquad (12)

Оригинал в Архива: RF2022_var2_9_usloviya_is.pdf · официални решения: RF2022_var2_9_resheniyais.pdf