Съдържание

Условие Часть 1. Проверка закона Архимеда.Часть 2. Объем шарового сегмента.Отговори Решение

BelPhO 2023, Областен етап, 9–11 клас — Задача 1. Задание 9-1. Архимед и объем шарового сегмента

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2023

Республиканская физическая олимпиада 2023 года (3 этап). Экспериментальный тур

9 класс. Экспериментальный тур

Полный комплект состоит из двух заданий, на выполнение каждого отводится два с половиной часа. Сдавать работу следует после выполнения обоих заданий. Задания могут быть не равноценными, поэтому ознакомьтесь с условиями обеих задач.
Ознакомьтесь с перечнем оборудования – проверьте его наличие и работоспособность. При отсутствии оборудования или сомнении в его работоспособности немедленно обращайтесь к представителям оргкомитета.
При оформлении работы каждую задачу и каждую ее часть начните с новой страницы.
Все графики рекомендуем строить на листе миллиметровой бумаги, выданном для выполнения каждого задания. Обязательно пронумеруйте и подпишите все построенные графики. Листы миллиметровой бумаги вложите в свою тетрадь.
Подписывать рабочие страницы и графики запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к организаторам.

Желаем успехов в выполнении данных заданий!

Данный комплект заданий содержит:

титульный лист (1 стр.);
условия двух заданий (4 стр.).

10 класс. Экспериментальный тур

Полный комплект состоит из двух заданий, на выполнение каждого отводится два с половиной часа. Сдавать работу следует после выполнения обоих заданий. Задания могут быть не равноценными, поэтому ознакомьтесь с условиями обеих задач.
Ознакомьтесь с перечнем оборудования – проверьте его наличие и работоспособность. При отсутствии оборудования или сомнении в его работоспособности немедленно обращайтесь к представителям оргкомитета.
При оформлении работы каждую задачу и каждую ее часть начните с новой страницы.
Все графики рекомендуем строить на листе миллиметровой бумаги, выданном для выполнения каждого задания. Обязательно пронумеруйте и подпишите все построенные графики. Листы миллиметровой бумаги вложите в свою тетрадь.
Подписывать рабочие страницы и графики запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к организаторам.

Желаем успехов в выполнении данных заданий!

Данный комплект заданий содержит:

титульный лист (1 стр.);
условия двух заданий (3 стр.).

11 класс. Экспериментальный тур

Полный комплект состоит из двух заданий, на выполнение каждого отводится два с половиной часа. Сдавать работу следует после выполнения обоих заданий. Задания могут быть не равноценными, поэтому ознакомьтесь с условиями обеих задач.
Ознакомьтесь с перечнем оборудования – проверьте его наличие и работоспособность. При отсутствии оборудования или сомнении в его работоспособности немедленно обращайтесь к представителям оргкомитета.
При оформлении работы каждую задачу и каждую ее часть начните с новой страницы.
Все графики рекомендуем строить на листе миллиметровой бумаги, выданном для выполнения каждого задания. Обязательно пронумеруйте и подпишите все построенные графики. Листы миллиметровой бумаги вложите в свою тетрадь.
Подписывать рабочие страницы и графики запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к организаторам.

Уважаемые участники, учитывая ваш богатый опыт, мы сформулировали условия кратко, что бы у вас была возможность проявить свои творческие способности: самостоятельно продумывайте методику проведения каждого эксперимента!

Желаем успехов в выполнении данных заданий!

Данный комплект заданий содержит:

титульный лист (1 стр.);
условия двух заданий (3 стр.).

Решения задач. 9 класс (для жюри)

Задания экспериментального тура данной олимпиады предоставляют для участников большие возможности для самостоятельного выбора параметров установок, диапазонов исследования, методов измерений. Иными словами – проявить свои творческие способности. Кроме того, результаты измерений сильно зависят от предоставленного оборудования, которое может различаться в разных областях нашей Республики.

Поэтому, относитесь к приведенным ниже результатам, как к ориентировочным. Желательно (или даже обязательно) провести собственные измерения. Поэтому здесь приводятся основные теоретические положения и результаты измерений, полученные авторами данных заданий. Методы обработки результатов измерений являются в большинстве своем, стандартными, поэтому подробно не описываются.

Решения задач. 10 класс (для жюри)

Решения задач. 11 класс (для жюри)

Решения задач. 11 класс

Результаты измерений в этих экспериментах далеко не однозначны. Они очень зависят от используемых материалов и оборудования. Кроме, того мы предоставляем участникам олимпиады определенную свободу в планировании и проведении эксперимента. Поэтому в этом решении мы не приводим все результаты измерений, ограничиваемся только теоретическим описаниями, указанием характерных значений измеряемых величин и видом получаемых зависимостей.

Условие

Знаменитый древнегреческий ученый Архимед прославился не только законом о выталкивающей силе, но и многочисленными достижениями в математике. Например, он доказал, что площадь боковой поверхности цилиндра равна площади поверхности сферы, вписанной в этот цилиндр.

В данном задании Вам предстоит экспериментально повторить некоторые открытия Архимеда.

Приборы и оборудование: динамометр, мензурка, мерный стакан, цилиндр алюминиевый, шар новогодний, шприц, нить, вода.

Подсказка: Закон Архимеда формулируется так:
На тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, равная

F = \rho g V, \qquad (1)

Где $\rho$ - плотность жидкости, $g = 10\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}^2}$ - ускорение свободного падения, $V$ - объем погруженной части тела.

Фотография: динамометр, который держат в руке; на крючке динамометра на нити подвешен новогодний шар, частично погруженный в воду в мерном стакане со шкалой.

Часть 1. Проверка закона Архимеда.

Прикрепите цилиндр к динамометру с помощью нити. Частично опуская цилиндр в мензурку с водой, можно измерять как объем погруженной части, так и силу с которой цилиндр действует на динамометр (далее эту силу будем называть показания динамометра).

1.1 Измерьте зависимость показаний динамометра $F$ от объема погруженной части цилиндра $V$ . Постройте график полученной зависимости $F(V)$ .

1.2 Получите теоретическую формулу, описывающую зависимость $F(V)$ .

1.3. Подтверждают ли полученные экспериментальные данные закон Архимеда? Ответ обоснуйте.

1.4 Используя все экспериментальные данные, рассчитайте плотность воды $\rho$ . Оцените погрешность найденного значения.

Проведите аналогичные измерения для новогоднего шарика. Чтобы шарик тонул, заполните его водой с помощью шприца.

1.5 Измерьте зависимость показаний динамометра $F$ от объема погруженной части шара $V$ . Постройте график полученной зависимости $F(V)$ .

1.6 Используя все экспериментальные данные, полученные в п.1.5, рассчитайте плотность воды $\rho$ . Оцените погрешность найденного значения.

Часть 2. Объем шарового сегмента.

Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью.

Объем шарового сегмента рассчитывается по формуле

V = \pi R^3\left(a\xi^2 + b\xi^3\right). \qquad (2)

где $R$ - радиус шара, $\xi = \dfrac{h}{R}$ - отношение высоты сегмента к радиусу шара, $a, b$ - численные коэффициенты, которые вам необходимо определить на основе проведенных измерений.

Измерения предстоит проводить в мерном стакане. Шкала стакана слишком груба, чтобы получать надежные результаты. Поэтому прикрепите с помощью скотча полоску миллиметровой бумаги рядом со шкалой.

Шар с отсеченным сверху шаровым сегментом (затемнен); пунктиром показаны экватор шара и плоскость сечения, точка — центр шара; справа стрелкой обозначена высота сегмента h.

2.1 Измерьте показания высоты $h$ (по полоске миллиметровой бумаги – рекомендуем измерять в см, но с точностью до мм) от отметок шкалы стакана $V$ (в мл). Постройте график зависимости $h(V)$ .

2.2 Найдите по результатам измерений п.2.1 коэффициенты зависимости объема жидкости в стакане от высоты уровня жидкости по миллиметровой бумаге

V = kh + c \qquad (3)

Укажите размерности коэффициентов $k$ и $c$ . Укажите геометрический смысл коэффициента $k$ .

2.3 Проведите измерения зависимости объема сегмента шара $V$ от высоты этого сегмента $h$ . Приведите рисунок, на котором укажите, какие величины вы измеряли, приведите формулы, по которым проведены расчеты. Постройте график зависимости $V(h)$ .

2.4 Используя полученные экспериментальные данные рассчитайте значения коэффициентов $a, b$ в формуле (2). Кратко опишите, как вы получили значения этих коэффициентов.

Отговори

Решение

Часть 1. Проверка закона Архимеда.

1.1 Измеренная зависимость показаний динамометра $F$ от объема погруженной части цилиндра $V$ приведена в таблице 1 и на графике.

Таблица 1.

V, мл	F, Н
2,0	0,47
4,0	0,44
6,0	0,42
8,0	0,40
10,0	0,38
12,0	0,34
14,0	0,32
16,0	0,30

1.2 Теоретическая зависимость имеет очевидный вид

F = mg - \rho g V. \qquad (1)

1.3 Так как полученная зависимость близка к линейной, то она подтверждает справедливость закона Архимеда.

1.4 Коэффициент наклона прямой на графике зависимости $F(V)$ равен

a = -\left(0{,}012 \pm 0{,}003\right)\dfrac{\text{Н}}{\text{мл}}. \qquad (2)

Сравнивая с теоретической формулой (1), получаем, что

a = -\rho g. \qquad (3)

Откуда находим (все единицы надо перевести в единицы СИ), что плотность воды равна

\rho = -\dfrac{a}{g} = \left(1{,}2 \pm 0{,}3\right)\cdot 10^3\,\dfrac{\text{кг}}{\text{м}^3}. \qquad (4)

1.5 Аналогичные измерения для шара дали результаты, приведенные в Таблице 2 и на соответствующем графике.

Таблица 2.

V, мл	F, Н
10	0,99
20	0,88
30	0,74
40	0,63
50	0,52
60	0,42
70	0,32
80	0,24

1.6 Коэффициент наклона графика равен

a = -\left(0{,}011 \pm 0{,}001\right)\dfrac{\text{Н}}{\text{мл}}. \qquad (5)

Откуда находим плотность воды

\rho = -\dfrac{a}{g} = \left(1{,}1 \pm 0{,}1\right)\cdot 10^3\,\dfrac{\text{кг}}{\text{м}^3}. \qquad (6)

График «Зависимость силы от объема погруженной части (цилиндр)»: по горизонтали «Объем погруженной части (мл)» от 0,0 до 20,0, по вертикали «сила (Н)» от 0,20 до 0,50; восемь экспериментальных точек и убывающая прямая.

График «Зависимость силы от объема погруженной части (шар)»: по горизонтали «Объем погруженной части (мл)» от 0 до 100, по вертикали «сила (Н)» от 0,00 до 1,00; восемь точек и убывающая прямая.

Часть 2. Объем шарового сегмента.

2.1 Результаты градуировочных измерений приведены в Таблице 3 и на графике.

Таблица 3.

V, мл	H, см
100	2,2
200	3,8
300	5,8
400	7,5
500	9,3

2.2 Параметры зависимости $V = kh + c$ имеют следующие численные значения

\begin{gathered} k = 55{,}9\,\text{см}^2 \\ c = -19{,}3\,\text{см}^3 \end{gathered} \qquad (7)

Параметр $k$ имеет смысл площади поперечного сечения стакана.

2.3 Для измерения глубины погружения и объема сегмента следует измерять следующие величины по миллиметровой шкале:
$h_1$ - высота уровня воды в стакане;
$h_2$ - высота, на которой находится нижняя точка шара.
Тогда объем погруженного сегмента шара рассчитывается по формуле

V = k\left(h_1 - h_0\right) \qquad (8)

Где $h_0$ - высота уровня воды в стакане без погруженного шара.
Высота сегмента равна

h = h_1 - h_2. \qquad (9)

Результаты измерений этих величин при различных степенях погружения шарика в стакан, а также результаты необходимых расчетов приведены в Таблице 4. В эксперименте $h_0 = 6{,}1\,\text{см}$

Таблица 4.

$h_1$ , см	$h_2$ , см	$h = h_1 - h_2$	$\left(h_1 - h_0\right)$	$V$ , мл	$\xi$	$Y$
6,1	5,5	0,6	0,0	0,00	0,222	0,000
6,2	5,2	1,0	0,1	5,59	0,370	0,659
6,4	4,9	1,5	0,3	16,77	0,556	0,879
6,5	4,6	1,9	0,4	22,36	0,704	0,730
6,7	4,2	2,5	0,6	33,54	0,926	0,633
7,1	3,7	3,4	1,0	55,90	1,259	0,570
7,3	3,4	3,9	1,2	67,08	1,444	0,520
7,4	2,9	4,5	1,3	72,67	1,667	0,423
7,5	2,6	4,9	1,4	78,26	1,815	0,384
7,6	2,3	5,3	1,5	83,85	1,963	0,352

График полученной зависимости показан на рисунке.

2.4 Для расчетов коэффициентов в формуле для объема сегмента $V = \pi R^3\left(a\xi^2 + b\xi^3\right)$ , представим ее в линеаризованном виде

Y = \dfrac{V}{\pi R^3 \xi^2} = a + b\xi \qquad (10)

где $R$ - радиус шара, $\xi = \dfrac{h}{R}$ .

Результаты расчетов величин $\xi$ и $Y$ приведены в двух последних столбцах таблицы 4. График этой линеаризованной зависимости близок к линейному. По этому графику находим, что

a \approx 1,\ b \approx -\dfrac{1}{3}.

Заметим, что эти значения можно найти по двум известным значениям : $Y = \dfrac{2}{3}$ при $\xi = 1$ (шарик погружен на половину); $Y = \dfrac{4}{3}$ при $\xi = 2$ (шарик погружен полностью).

График «Градуировка шкалы мерного стакана»: по горизонтали «объем V (мл)» от 0 до 600, по вертикали «высота h (см)» от 0 до 10; пять точек на возрастающей прямой.

Схема: мерный стакан с водой, в которую частично погружен шар; стрелками отмечены h1 — высота уровня воды от дна и h2 — высота нижней точки шара над дном.

График «Объем шарового сегмента»: по горизонтали «высота сегмента (см)» от 0 до 6, по вертикали «Объем сегмента (мл)» от 0 до 90; экспериментальные точки и плавная возрастающая кривая.

График «Линеаризованная зависимость»: по горизонтали «ksi» от 0,0 до 2,5, по вертикали «Y» от 0,0 до 1,0; точки и убывающая прямая.

Оригинал в Архива: 3_etap_2023_experimental_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2023_experimental_solutions.pdf