Съдържание

Условие Часть 1. Прямолинейное движение в магнитном поле Часть 2. Движение по окружности в электрическом поле Решение

BelPhO 2023, Областен етап — Задача 11-2. Движение в поле

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2023

Белорусская республиканская олимпиада по физике 2023 — III этап, теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Complete57native32Q25K pages,9whole tasks across9/10/11cohorts,54numbered parents/58terminal requests. All available matching archive keys and original scientific figures/forms retained. Grade9warmup archived key describes a different question set; kinematics key omits explicit formulas requested in1.3; both honest incomplete solutions retained. Literal source signs/equation and table labels/narrative discrepancies preserved separately noted. No independent organizer source provenance established.

Условие

11 класс. Теоретический тур. Вариант 1.

Исходная иллюстрация поля с сохраненным печатным водяным знаком

Часть 1. Прямолинейное движение в магнитном поле

Небольшая бусинка массы $m$ и несущая электрический заряд $+q$ может скользить по прямолинейному стержню. Коэффициент трения бусинки о стержень равен $\mu$ . Стержень и бусинка находятся в однородном магнитном поле, вектор индукции которого $\vec B$ направлен под углом $\alpha$ к стержню, как показано на рисунке. Бусинке толчком сообщают начальную скорость $\vec v_0$ , направленную вдоль стержня как показано на рисунке. Действием силы тяжести следует пренебречь.

Исходная схема бусинки на стержне, B, начальная скорость и угол

Полный оригинальный Лист ответов магнитной части, включая пустую сетку скорости

1.1 Найдите зависимость ускорения бусинки $\vec a$ от ее скорости $\vec v$ .

1.2 Нарисуете схематический график зависимости модуля скорости бусинки от времени $v(t)$ .

1.3 Рассчитайте, какой путь $S_1$ пройдет бусинка до полной остановки.

1.4 Какой путь $S_2$ пройдет бусинка, если ее начальную скорость $\vec v_0$ направить в противоположном направлении?

Часть 2. Движение по окружности в электрическом поле

Описанная в первой части бусинка (масса — $m$ , электрический заряд $+q$ ) может скользить по плоскому кольцу радиуса $R$ . Коэффициент трения бусинки о кольцо равен $\mu$ . Силой тяжести пренебрегайте.

Бусинка на плоском кольце без электрического поля

Оригинальный Лист ответов электрической части: проценты, знак заряда, критическая скорость и сетка

2.1.1 2.1 Поля нет. Бусинке сообщают начальную скорость $\vec v_0$ , направленную по касательной к кольцу.

Покажите, что кинетическая энергия бусинки при ее последовательном смещении на некоторый угол $\Delta\varphi$ по кольцу убывает в геометрической прогрессии.

2.1.2 После того, как бусинка прошла один полный оборот по кольцу, ее скорость уменьшилась на 20%.

Рассчитайте, на сколько процентов уменьшится скорость бусинки после того, как она сделает 5 полных оборотов по кольцу.

2.2.1 2.2 Поле появилось. Для уменьшения силы трения в центре кольца закрепляют точечный заряд $Q$ .

Исходная схема с точечным зарядом Q в центре кольца

Укажите, при каком знаке заряда в центре кольца $Q$ возможно уменьшение силы трения, действующей на бусинку.

2.2.2 Этот заряд создает в точках кольца электрическое поле, модуль напряженности которого равен $E_0$ (далее считайте эту величину известной). Будем считать, что это поле может уменьшить силу трения, действующей на бусинку.

Найдите при какой скорости $v^*$ бусинка может скользить по кольцу с постоянной по модулю скоростью.

2.2.3 Нарисуйте на бланке листа ответов схематические графики зависимости скорости бусинки от времени при следующих начальных скоростях а) $v_0>v^*$ ; б) $v_0<v^*$ .

Решение

Задание 11-2. Движение в поле. (Решение).

Часть 1. Прямолинейное движение в магнитном поле.

1.1 Во время движения бусинки в магнитном поле на бусинку действует сила Лоренца, направленная перпендикулярно стержню (перпендикулярно плоскости рисунка)

F_{\text{л}}=qvB\sin\alpha.\qquad (1)

Под действием этой силы бусинка будет прижиматься к стержню, вследствие чего возникнет сила трения, направленная в сторону противоположную вектору скорости

F_{\text{тр}}=\mu qvB\sin\alpha.\qquad (2)

Ключ: все силы на бусинке, скорость и магнитная индукция

На основании второго закона Ньютона ускорение бусинки выражается формулой

a=-\frac{\mu qB\sin\alpha}{m}v.\qquad (3)

Ускорение бусинки направлено в сторону, противоположную вектору скорости, поэтому это выражение можно представить в векторной форме

\vec a=-\frac{\mu qB\sin\alpha}{m}\vec v.\qquad (4)

1.2 Так как ускорение отрицательно, то модуль скорости будет монотонно убывать до нуля, с постоянно уменьшающимся ускорением. Схематический график этой зависимости показан на рисунке.

Ключ: схема убывания скорости от времени в магнитном поле

1.3 Так нам необходимо найти путь до остановки (не важно за какое время), то в уравнении (3) избавимся от времени:

\begin{aligned}\frac{\Delta v}{\Delta t}&=-\frac{\mu qB\sin\alpha}{m}v\ \Rightarrow\ \frac{\Delta v}{\Delta x}\frac{\Delta x}{\Delta t}=-\frac{\mu qB\sin\alpha}{m}v\ \Rightarrow\\\frac{\Delta v}{\Delta x}&=-\frac{\mu qB\sin\alpha}{m}.\end{aligned}\qquad (5)

Мы учли, что $\Delta x/\Delta t=v$ . Из полученного уравнения следует, что скорость бусинки линейной уменьшается по мере увеличения пройденного пути. Из этого уравнения следует, что путь, пройденный до остановки равен

S_1=\frac{mv_0}{\mu qB\sin\alpha}.\qquad (6)

1.4 Так как $\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha$ , то ни модуль силы Лоренца, ни модуль силы трения не изменяться, иными словами уравнение (4) останется справедливым и в случае изменения направления вектора начальной скорости. Следовательно, и в этом случае пройденный путь будет определяться формулой (6):

S_2=S_1.\qquad (7)

S_2=\frac{mv_0^2}{2qE(\mu\sin\alpha+\cos\alpha)}.\qquad (8)

Часть 2. Движение по окружности в электрическом поле.

2.1 Движение без электрического поля.

2.1.1 При движении по окружности бусинка движется с центростремительным ускорением равным

a=\frac{v^2}{R}.\qquad (9)

Это ускорение может сообщить только сила нормальной реакции со стороны кольца, равная

N=m\frac{v^2}{R}.\qquad (10)

Поэтому на бусинку также действует сила трения, равная

F_{\text{тр}}=\mu m\frac{v^2}{R}.\qquad (11)

Наличие силы трения приводит к тому, что скорость (следовательно, и кинетическая энергия) бусинки уменьшается. Если бусинка сместилась по кольцу на малый угол $\Delta\varphi$ , то уменьшение кинетической энергии бусинки равно работе силы трения, что выражается уравнением

\Delta E=-F_{\text{тр}}\Delta S=-\mu m\frac{v^2}{R}\cdot R\Delta\varphi=-2\mu\frac{mv^2}{2}\Delta\varphi=-2\mu E\Delta\varphi.\qquad (12)

Из этого уравнения следует, что уменьшение энергии пропорционально текущему значению энергии. Если обозначить значение энергии в начале рассматриваемого интервала — $E_0$ , а в конце интервала — $E_1$ , то связь между ними задается выражением

E_1=E_0(1-2\mu\Delta\varphi),\qquad (13)

Что и доказывает убывание энергии в геометрической прогрессии.

2.1.2 Как показано в предыдущей части кинетическая энергия, следовательно, и скорость при повороте на любой угол $\Delta\varphi$ убывают в геометрической прогрессии. Тогда скорость при повороте на один оборот может быть выражена следующим образом

v_1=v_0(1-\eta).\qquad (14)

Где $\eta=0{,}20$ . При повороте на 5 оборотов скорость станет равной

v_5=v_0(1-\eta)^5.\qquad (15)

Подстановка численного значения дает результат

v_1=v_0(1-\eta)^5=v_0\cdot0{,}8^5\approx0{,}33v_0.\qquad (16)

что соответствует уменьшению скорости на 67%.

2.2 Движение в электрическом поле.

2.2.1 Силу нормальной реакции, следовательно, силу трения можно уменьшить с помощью силы электростатического взаимодействия, которая должна быть направлена к центру кольца. Это возможно в том случае, если в центр кольца поместить отрицательный заряд.

Ключ: сила к центру кольца и направление скорости

2.2.2 В этом случае уравнение 2 закона Ньютона в проекции на радиальное направление будет иметь вид

m\frac{v^2}{R}=N+qE_0.\qquad (17)

Следовательно, сила нормальной реакции будет равна

N=m\frac{v^2}{R}-qE_0.\qquad (18)

Сила нормальной реакции и сила трения станут равными нулю при

m\frac{v^2}{R}-qE_0=0\ \Rightarrow\ v^*=\sqrt{\frac{qE_0R}{m}}.\qquad (19)

При этой скорости бусинка будет двигаться без трения, т.е. с постоянной по модулю скоростью.

2.2.3 Если сила нормальной реакции отлична от нуля, то независимо от ее направления сила трения будет направлена в сторону, противоположную вектору скорости. Поэтому модуль скорости всегда будет уменьшаться и стремить к одному из стационарных значений.

В случае а) $v_0>v^*$ : стремиться к значению $v^*=\sqrt{qE_0R/m}$ ;

В случаях б) $0<v_0<v^*$ скорость бусинки будет стремиться к нулю.

Схематические графики этих зависимостей показаны на рисунке. Горизонтальной пунктирной линией отмечено значение $v^*$ .

Ключ: обе скорости от времени и пунктирная критическая скорость, все исходные границы

Reader note: The extra equation (8) is printed after the magnetic result (7), although $E$ is undefined in that task. Equation (16) is printed with $v_1$ , while (15) uses $v_5$ . These source discrepancies and the small-angle energy recurrence are retained literally.

Общие указания из оригинального титульного листа

Внимание! Прочтите это в первую очередь!

1. Полный комплект состоит из трех заданий. Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.

2. Каждое задание включает условие задания и Листы ответов. Для решения задач используйте рабочие листы. Часть из них используйте в качестве черновиков. После окончания работы черновые листы перечеркните.

В чистовых рабочих листах приведите решения задач (рисунки, исходные уравнения, математические преобразования, графики, окончательные результаты). Жюри будет проверять чистовые рабочие листы. Кроме того, каждое задание включает Листы ответов. В соответствующие графы Листов ответов занесите окончательные требуемые ответы. Для построения графиков, которые требуется по условию задачи, в Листах ответов подготовлены соответствующие бланки. Графики стройте на этих бланках. Дублировать их в рабочих листах не требуется.

4. При оформлении работы каждое задание начинайте с новой страницы. При недостатке бумаги обращайтесь к организаторам!

5. Подписывать рабочие листы запрещается.

4. В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.

5. Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады.

Пакет заданий содержит: титульный лист (1 стр.); условия 3 теоретических задач с Листами ответов (9 класс: 7 стр.; 10 класс: 8 стр.; 11 класс: 14 стр.).

Reader note: The repeated numbering 1, 2, 4, 5, 4, 5 is literal on all three native covers. Grade 9 is variant 2; grades 10 and 11 are variant 1.

Указания для жюри из оригинального ключа

Уважаемые члены жюри!

Задачи, предложенные школьникам для решения на олимпиаде, не стандартные и достаточно сложные. Предложенные здесь варианты путей решений не являются единственно возможными. Участники олимпиады могут предложить свои способы решения. Если эти способы приводят к правильным ответам и физически обоснованы, то задача (или ее отдельные пункты) должны оцениваться максимальными баллами.

Каждое задание сопровождается Листами ответов, в которые участники олимпиады должны занести окончательные результаты. Если окончательный результат не занесен в Листы ответов, но содержится в основном решении, то этот результат необходимо оценивать.

Не забывайте, что Вы должны оценивать не только конечные ответы, но и отдельные правильные шаги в ходе решения!

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших замечательных школьников!

Reader note: complete native scope and source authority

Nine whole printed tasks across grades9/10/11,54numbered parent requests with58terminal lettered requests retained inline. Event-branded archive question/key pair with internal response forms; exact current folder lists only that theory pair plus distinct experiment Q/key/schemes. No extra matching theory key, numerical rubric or time limit listed. Grade9warmup key mismatches its question set; explicit kinematics formulas are absent; both solutions remain incomplete. Every available matching key and all scientific photos/diagrams/graphs/forms retained. Cover emblem/owl clipart remains in the exact originals. Independent organizer URL not established; all solutions honestly attributed to archive.

Reader note: native source caveat for 9-1. Двойная разминка

The same-labelled grade9 variant2 warmup key is a mismatched question set: its answers address ball mass, changed water level, pressure rather than force, eightfold aircraft power, resistance changes in the hotplate, half wire resistance, and fall time. Those do not match the seven printed questions on Q2. All seven literal archived key entries are retained as an explicitly mismatched archive block; no corresponding answers are invented. Solution incomplete.

Reader note: native source caveat for 9-2. Водяное отопление

K3 prints exponent N rather than k in the intermediate Delta x_k formula(7), and repeats final equation tag(3). These literal symbols/tags are retained, separately identified.

Reader note: native source caveat for 9-3. Просто кинематика

K5 heading is printed9-1 instead of question9-3. The key supplies the difference graph and pointwise construction but no explicit piecewise formula requested in1.3, so that answer remains incomplete. Its phrase that second-particle speed is always1m/s greater has no stated end-of-motion boundary; retain the printed claim without extending it.

Reader note: native source caveat for 10-2. Космический инфракрасный телескоп Джеймс Уэбб

Question narrative says JWST remains in the shadow of Earth and describes the Kepler paradox as a barycentre issue; retain the literal pedagogical assumptions, not a factual description certified by the reader. K11 equation(6) last denominator changes to(R-x)^2 while neighbouring equations have(R+x)^2, and prints double equality signs; prose calls the requested outer L2 point the first Lagrange point. All literal signs/wording retained with a reader note.

Reader note: native source caveat for 11-1. «Кардиограмма» тепловой машины

K15 names its completed reference table Table2, then K16 also names the function table Table2 and refers to Table1. K18 prose refers to Table4 while the printed completed table is Table3. K16 calls constant pressure on stage2-3 an isochoric process. Preserve these literal headings/references/wording; no silent correction.

Reader note: native source caveat for 11-2. Движение в поле

K20 after magnetic result S2=S1 prints a separate equation(8), S2=mv0^2/[2qE(mu sin alpha+cos alpha)], although E is undefined in that magnetic task. Retain that extra equation as printed, note the mismatch. K21 numeric fifth-turn equation(16) is labelled v1 rather than preceding v5. Native small-angle energy recurrence and all literal source formulas/graphs retained.

Reader note: native source caveat for 11-3. Морской хронометр

K22 prints positive gravitational-energy contributions in equations(1),(4),(5), while its native potential graph has negative values for negative angles and the subsequent instability/force treatment is not consistent with that positive sign. K23 and K24 repeat equation tag(10). K25 amplitude condition only mentions negative phi and gives phi_max less than phi1=14 degrees; the tension-only source assumption and literal condition are retained without inventing a replacement amplitude derivation.

Оригинал в Архива: 3_etap_2023_theoretical_problems.pdf · решение от архива: 3_etap_2023_theoretical_solutions.pdf