Съдържание

Условие Часть 1. Динамика цикла Часть 2. Термодинамика цикла Решение

BelPhO 2023, Областен етап — Задача 11-1. «Кардиограмма» тепловой машины

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2023

Белорусская республиканская олимпиада по физике 2023 — III этап, теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Complete57native32Q25K pages,9whole tasks across9/10/11cohorts,54numbered parents/58terminal requests. All available matching archive keys and original scientific figures/forms retained. Grade9warmup archived key describes a different question set; kinematics key omits explicit formulas requested in1.3; both honest incomplete solutions retained. Literal source signs/equation and table labels/narrative discrepancies preserved separately noted. No independent organizer source provenance established.

Условие

11 класс. Теоретический тур. Вариант 1.

В данном задании рассматривается тепловая машина. Помимо традиционных вопросов, в нем рассматриваются временные характеристики данной машины.

Иллюстрация тепловой машины из исходного задания

Рабочим телом двигателя является одноатомный идеальный газ, который находится в цилиндрическом сосуде под поршнем. В начальном состоянии параметры этого газа известны и равны: объем — $V_0$ , давление — $P_0$ , температура — $T_0$ . При решении задач используются относительные единицы — отношения объема, давления и температуры к соответствующим величинам в начальном состоянии:

v=\frac V{V_0},\quad p=\frac P{P_0},\quad\tau=\frac T{T_0}.\qquad (1)

Цикл тепловой машины состоит из 5 этапов, длительность каждого из них равна $t_0$ . Эту величину можно использовать в качестве единицы времени. Величины $P_0,V_0,T_0,t_0$ заданы в единицах системы СИ.

В Листах ответов приведены графики зависимостей объема и температуры газа от времени. Для упрощения вашей работы значения параметров в некоторые моменты времени приведены в Таблице 1. На каждом этапе поршень движется с постоянным ускорением (которое может изменяться при переходе от одного этапа к другому).

Оба исходных графика объема и температуры от времени со всеми масштабами

Таблица 1. Значения объема и температуры.

$t/t_0$	$V/V_0$	$T/T_0$
0,00	1,00	1,00
0,50	1,00	1,50
1,00	1,00	2,00
1,50	1,25	2,81
2,00	2,00	6,00
2,50	2,75	8,25
3,00	3,00	9,00
3,50	2,75	7,56
4,00	2,00	4,00
4,50	1,25	1,56
5,00	1,00	1,00

Оригинальные таблицы 1 и 2, пустые поля для давления и функций этапов

Оригинальный Лист ответов: пустые графики давления и цикла, поля максимальной мощности и времени

Оригинальная таблица 3 и поля КПД и средней мощности

Часть 1. Динамика цикла

1.1 Используя данные Таблицы 1, рассчитайте значения давления $p=P/P_0$ , в моменты времени, указанные в этой таблице.

Приведите формулу, по которой проводится расчет давления, численные результаты расчетов занесите в последний столбец Таблицы 1.

1.2 Так как поршень движется в цилиндрическом сосуде, то его координата пропорциональна объему газа под поршнем.

Для каждого этапа цикла запишите закон движения поршня (зависимость объема $v=V/V_0$ от времени) — $v(t)$ и зависимости давления от времени $p(t)$ .

Приведите формулы, по которым вы провели расчеты. Окончательные выражения с численными коэффициентами приведите в Таблице 2 листа ответов.

1.3 На бланке в листе ответов постройте график зависимости давления газа $p=P/P_0$ от времени.

1.4 Найдите максимальную мгновенную мощность двигателя $w_{\max}$ , укажите момент времени $t^*$ , в который достигается эта мощность. Ответы приведите в единицах системы СИ.

Часть 2. Термодинамика цикла

2.1 На бланке в листе ответов постройте диаграмму цикла в координатах $(p,v)$ .

2.2 Для каждого этапа цикла рассчитайте: изменение внутренней энергии газа $\Delta U$ , совершенную газом работу $A$ , количество полученной теплоты $Q$ . Указанные величины можно выразить в относительных единицах.

Приведите формулы для расчетов указанных величин, результаты расчетов для каждого этапа приведите в Таблице 3.

2.3 Рассчитайте КПД цикла.

2.4 Найдите среднюю за цикл мощность, развиваемую данной тепловой машиной. Ответ приведите в единицах системы СИ.

Решение

Задание 11-1. «Кардиограмма» тепловой машины. (Решение).

Часть 1. Динамика цикла.

1.1 Из уравнения состояния идеального газа

\frac{PV}{T}=\frac{P_0V_0}{T_0}.\qquad (1)

Следует, что в относительных единицах соотношение для параметров газа имеет вид

\frac{pv}{\tau}=1.\qquad (2)

Поэтому значения давлений газа рассчитываются по формуле

p=\frac\tau v.\qquad (3)

Результаты расчетов приведены в Таблице 2.

Таблица 2. Значения объема и температуры.

$t/t_0$	$V/V_0$	$T/T_0$	$P/P_0$
0,00	1,00	1,00	1,00
0,50	1,00	1,50	1,50
1,00	1,00	2,00	2,00
1,50	1,25	2,81	2,25
2,00	2,00	6,00	3,00
2,50	2,75	8,25	3,00
3,00	3,00	9,00	3,00
3,50	2,75	7,56	2,75
4,00	2,00	4,00	2,00
4,50	1,25	1,56	1,25
5,00	1,00	1,00	1,00

1.2 В условии задачи оговорено, что на каждом этапе цикла поршень движется с постоянным ускорением. Поэтому зависимость объема от времени описывается функцией

v=v_{k,0}+u_k(t-t_{k,0})+\frac{a_k(t-t_{k,0})^2}{2}.\qquad (4)

На каждом этапе в таблице 1 приведены значения объемов в трех точках $v_{k,0}$ в начале этапа $t_{k,0}$ ; $v_{k,1/2}$ в середине этапа $t_{k,0}+1/2$ ; $v_{k,1}$ в конце этапа $t_{k,0}+1$ . Для этих моментов времени можно записать уравнения, следующие из формулы (4):

\begin{aligned}v_{k,1/2}&=v_{k,0}+\frac12u_k+\frac{a_k(1/2)^2}{2},\\v_{k,1}&=v_{k,0}+u_k+\frac{a_k}{2}.\end{aligned}\qquad (5)

Это система уравнений, из которой легко найти значения начальной скорости $u_k$ и ускорения $a_k$ на каждом этапе цикла. Результаты расчетов для функции $v(t)$ приведены в соответствующем столбце Таблицы 2.

Таблица 2. Функции зависимостей объема и давления от времени.

Начало этапа $t/t_0$	Конец этапа $t/t_0$	$v(t)$	$p(t)$
0	1	$v=1$	$p=1+t$
1	2	$v=1+(t-1)^2$	$p=2+(t-1)^2$
2	3	$v=2+2(t-2)-(t-2)^2$	$p=3$
3	4	$v=3-(t-3)^2$	$p=3-(t-3)^2$
4	5	$v=2-2(t-4)+(t-4)^2$	$p=2-2(t-4)+(t-4)^2$

Для расчета зависимости давления от температуры можно поступить аналогично. Но нет гарантии, что на всех этапах эта зависимость описывается квадратичной функцией. Кроме того, для дальнейшего решения важно увидеть зависимость между давлением и температурой. Поэтому имеет смысл проанализировать каждый этап отдельно.

Этап 0-1. Объем остается постоянным (процесс изохорный при $v=1$ ), поэтому $p=\tau$ . Из таблицы 1 следует, что зависимость давления от времени линейна.

Этап 1-2. Из таблицы 1 следует, что на данном этапе $p=v+1$ .

Этап 2-3. Давление постоянно, т.е. процесс изохорный.

Этапы 3-4 и 4-5. Видно, что на этих участках $p=v$ .

1.3 График зависимости давления от времени показан на рисунке.

Ключ: зависимость давления от времени с исходными масштабами и точками

1.4 Мощность двигателя равна произведению давления газа на скорость изменения объема поршня

w=P\frac{\Delta V}{\Delta t}.\qquad (6)

Из графика зависимости объема от времени следует, что максимальная скорость изменения объема достигается в момент времени $t=2$ , т.к. в этот момент времени максимален коэффициент наклона касательной. Численное значение максимальной скорости изменения можно найти из формул для зависимости объема от температуры, приведенных в Таблице 2:

\left(\frac{\Delta v}{\Delta t}\right)_{\max}=2.\qquad (7)

В этот же момент времени давление также максимально и равно $p=3$ . Следовательно, в единицах системы СИ максимальная мощность равна

w_{\max}=\left(P\frac{\Delta V}{\Delta t}\right)_{\max}=P_0p_{\max}\frac{V_0}{t_0}\left(\frac{\Delta v}{\Delta t'}\right)_{\max}=6\frac{P_0V_0}{t_0}.\qquad (8)

И достигается в момент времени

t^*=2t_0.\qquad (9)

Часть 2. Термодинамика цикла.

2.1 На основании анализа, проведенного в п. 1.2, диаграмма цикла имеет вид, показанный на рисунке.

Ключ: диаграмма цикла P-V со всеми шкалами и точками

2.2 Изменение внутренней энергии одноатомного газа определяется формулой

\Delta U=\frac32\nu R\Delta T=\frac32\Delta(PV)=\frac32P_0V_0\Delta(pv)=\frac32P_0V_0\Delta\tau.\qquad (10)

Работа, совершенная газом, может быть рассчитана как площадь под графиком зависимости давления от объема. Для малого участка изменения объема эта работа равна

\delta A=P\Delta V=P_0V_0p\Delta v.\qquad (11)

По первому закону термодинамики количество полученной теплоты равно сумме

\delta Q=\Delta U+\delta A.\qquad (12)

Как следует из этих формул, все эти величины пропорциональны произведению $P_0V_0$ , которое выступает в качестве единицы энергии в относительных единицах, принятых в этой задаче. Результаты расчетов по формулам (10)–(12) приведены в Таблице 4.

Таблица 3. Термодинамические характеристики.

Начало этапа $t/t_0$	Конец этапа $t/t_0$	Изменение энергии $\Delta U$	Совершенная работа $A$	Полученная теплота $Q$
0	1	1,50	0,00	1,50
1	2	6,00	2,50	8,50
2	3	4,50	3,00	7,50
3	4	-7,50	-2,50	-10,00
4	5	-4,50	-1,50	-6,00
Суммы		0	1,5	17,5

В последней ячейке приведена сумма теплот, полученных газом, т.е. только сумма положительных величин в столбце теплот.

2.3 По определению КПД цикла равен

\eta=\frac A{Q_1}=\frac{1{,}5}{17{,}5}\approx0{,}086=8{,}6\%.\qquad (13)

2.4 Средняя мощность за цикл равна отношению совершенной за цикл работы к длительности цикла

\langle w\rangle=\frac At=\frac{1{,}5P_0V_0}{5t_0}=0{,}30\frac{P_0V_0}{t_0},\qquad (14)

Что в 20 раз меньше максимальной мгновенной мощности.

Reader note: The native key repeats the Table 2 heading, refers to Table 4 before its Table 3, and calls the constant-pressure stage 2–3 “изохорный”. The printed table numbers, time notations and wording are retained.

Общие указания из оригинального титульного листа

Внимание! Прочтите это в первую очередь!

1. Полный комплект состоит из трех заданий. Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.

2. Каждое задание включает условие задания и Листы ответов. Для решения задач используйте рабочие листы. Часть из них используйте в качестве черновиков. После окончания работы черновые листы перечеркните.

В чистовых рабочих листах приведите решения задач (рисунки, исходные уравнения, математические преобразования, графики, окончательные результаты). Жюри будет проверять чистовые рабочие листы. Кроме того, каждое задание включает Листы ответов. В соответствующие графы Листов ответов занесите окончательные требуемые ответы. Для построения графиков, которые требуется по условию задачи, в Листах ответов подготовлены соответствующие бланки. Графики стройте на этих бланках. Дублировать их в рабочих листах не требуется.

4. При оформлении работы каждое задание начинайте с новой страницы. При недостатке бумаги обращайтесь к организаторам!

5. Подписывать рабочие листы запрещается.

4. В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.

5. Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады.

Пакет заданий содержит: титульный лист (1 стр.); условия 3 теоретических задач с Листами ответов (9 класс: 7 стр.; 10 класс: 8 стр.; 11 класс: 14 стр.).

Reader note: The repeated numbering 1, 2, 4, 5, 4, 5 is literal on all three native covers. Grade 9 is variant 2; grades 10 and 11 are variant 1.

Указания для жюри из оригинального ключа

Уважаемые члены жюри!

Задачи, предложенные школьникам для решения на олимпиаде, не стандартные и достаточно сложные. Предложенные здесь варианты путей решений не являются единственно возможными. Участники олимпиады могут предложить свои способы решения. Если эти способы приводят к правильным ответам и физически обоснованы, то задача (или ее отдельные пункты) должны оцениваться максимальными баллами.

Каждое задание сопровождается Листами ответов, в которые участники олимпиады должны занести окончательные результаты. Если окончательный результат не занесен в Листы ответов, но содержится в основном решении, то этот результат необходимо оценивать.

Не забывайте, что Вы должны оценивать не только конечные ответы, но и отдельные правильные шаги в ходе решения!

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших замечательных школьников!

Reader note: complete native scope and source authority

Nine whole printed tasks across grades9/10/11,54numbered parent requests with58terminal lettered requests retained inline. Event-branded archive question/key pair with internal response forms; exact current folder lists only that theory pair plus distinct experiment Q/key/schemes. No extra matching theory key, numerical rubric or time limit listed. Grade9warmup key mismatches its question set; explicit kinematics formulas are absent; both solutions remain incomplete. Every available matching key and all scientific photos/diagrams/graphs/forms retained. Cover emblem/owl clipart remains in the exact originals. Independent organizer URL not established; all solutions honestly attributed to archive.

Reader note: native source caveat for 9-1. Двойная разминка

The same-labelled grade9 variant2 warmup key is a mismatched question set: its answers address ball mass, changed water level, pressure rather than force, eightfold aircraft power, resistance changes in the hotplate, half wire resistance, and fall time. Those do not match the seven printed questions on Q2. All seven literal archived key entries are retained as an explicitly mismatched archive block; no corresponding answers are invented. Solution incomplete.

Reader note: native source caveat for 9-2. Водяное отопление

K3 prints exponent N rather than k in the intermediate Delta x_k formula(7), and repeats final equation tag(3). These literal symbols/tags are retained, separately identified.

Reader note: native source caveat for 9-3. Просто кинематика

K5 heading is printed9-1 instead of question9-3. The key supplies the difference graph and pointwise construction but no explicit piecewise formula requested in1.3, so that answer remains incomplete. Its phrase that second-particle speed is always1m/s greater has no stated end-of-motion boundary; retain the printed claim without extending it.

Reader note: native source caveat for 10-2. Космический инфракрасный телескоп Джеймс Уэбб

Question narrative says JWST remains in the shadow of Earth and describes the Kepler paradox as a barycentre issue; retain the literal pedagogical assumptions, not a factual description certified by the reader. K11 equation(6) last denominator changes to(R-x)^2 while neighbouring equations have(R+x)^2, and prints double equality signs; prose calls the requested outer L2 point the first Lagrange point. All literal signs/wording retained with a reader note.

Reader note: native source caveat for 11-1. «Кардиограмма» тепловой машины

K15 names its completed reference table Table2, then K16 also names the function table Table2 and refers to Table1. K18 prose refers to Table4 while the printed completed table is Table3. K16 calls constant pressure on stage2-3 an isochoric process. Preserve these literal headings/references/wording; no silent correction.

Reader note: native source caveat for 11-2. Движение в поле

K20 after magnetic result S2=S1 prints a separate equation(8), S2=mv0^2/[2qE(mu sin alpha+cos alpha)], although E is undefined in that magnetic task. Retain that extra equation as printed, note the mismatch. K21 numeric fifth-turn equation(16) is labelled v1 rather than preceding v5. Native small-angle energy recurrence and all literal source formulas/graphs retained.

Reader note: native source caveat for 11-3. Морской хронометр

K22 prints positive gravitational-energy contributions in equations(1),(4),(5), while its native potential graph has negative values for negative angles and the subsequent instability/force treatment is not consistent with that positive sign. K23 and K24 repeat equation tag(10). K25 amplitude condition only mentions negative phi and gives phi_max less than phi1=14 degrees; the tension-only source assumption and literal condition are retained without inventing a replacement amplitude derivation.

Оригинал в Архива: 3_etap_2023_theoretical_problems.pdf · решение от архива: 3_etap_2023_theoretical_solutions.pdf