Съдържание

Условие Часть1. Радиус Земли Часть2. Плотность Земли Часть3. Расстояние до Луны Часть4. Масса Солнца Листы ответов Решение

BelPhO 2023, Заключителен етап — Задача 9-2. Как измеряли Вселенную

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2023

Белорусская республиканская олимпиада по физике2023 — заключительный этап, теоретический тур,9–11классы

Внимание: Бележка към темата

Все99оригинальных страниц лично прочитаны. Девять целых заданий для9/10/11классов,57нижних номерованных запросов в17исходных частях. Все37содержательных Листов ответов, таблицы данных, бланки графиков, полные доступные архивные ключи и научные изображения сохранены. Печатные ошибки формул/чисел/обозначений/слов оставлены и отдельно атрибутированы; решений вне оригинала не добавлено. Не найдены отдельные балльные рубрики и указание длительности; ключ атрибутирован архиву.

Республиканская физическая олимпиада2023года (Заключительный этап). Теоретический тур,9класс

Полный комплект состоит из трех заданий.
Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.

Внимание!

Помимо условий Вы получите тетрадь для черновиков и Листы ответов. Листы ответов содержат отдельные разделы в соответствии с пунктами полученных Вами заданий. На свободных местах (помеченных как «Вывод формулы» Вы должны кратко привести: основные идеи решения, рисунки (при необходимости)), исходные уравнения и их обоснования, сделанные приближения, основные математические преобразования, окончательные результаты. Конечные формулы и требуемые численные значения занесите в соответствующие выделенные поля. Если по условию заданий от Вас требуется построение графика, используйте подготовленные бланки в Листах ответов, не забудьте подписать и оцифровать оси координат. Рекомендуем сначала решать в черновике (в отдельной тетради), а затем красиво оформить решение на Листах ответов. Используйте только лицевую сторону Листов ответов, писать на обороте листа запрещается.

Черновики проверяться не будут!

Подписывать Листы ответов и черновик запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
После окончания работы сложите листы ответов в соответствии с нумерацией страниц.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады.

Пакет заданий содержит:

титульный лист (1стр.);
условия3теоретических задач (5стр.).

Республиканская физическая олимпиада2023года (Заключительный этап). Теоретический тур,10класс

Полный комплект состоит из трех заданий.
Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.

Внимание!

Помимо условий Вы получите тетрадь для черновиков и Листы ответов. Листы ответов содержат отдельные разделы в соответствии с пунктами полученных Вами заданий. На свободных местах (помеченных как «Вывод формулы» Вы должны кратко привести: основные идеи решения, рисунки (при необходимости)), исходные уравнения и их обоснования, сделанные приближения, основные математические преобразования, окончательные результаты. Конечные формулы и требуемые численные значения занесите в соответствующие выделенные поля. Если по условию заданий от Вас требуется построение графика, используйте подготовленные бланки в Листах ответов, не забудьте подписать и оцифровать оси координат. Рекомендуем сначала решать в черновике (в отдельной тетради), а затем красиво оформить решение на Листах ответов. Используйте только лицевую сторону Листов ответов, писать на обороте листа запрещается.

Черновики проверяться не будут!

Подписывать Листы ответов и черновик запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
После окончания работы сложите листы ответов в соответствии с нумерацией страниц.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады.

Пакет заданий содержит:

титульный лист (1стр.);
условия3теоретических задач (4стр.).

Республиканская физическая олимпиада2023года (Заключительный этап). Теоретический тур,11класс

Полный комплект состоит из трех заданий.
Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.

Внимание!

Помимо условий Вы получите тетрадь для черновиков и Листы ответов. Листы ответов содержат отдельные разделы в соответствии с пунктами полученных Вами заданий. На свободных местах (помеченных как «Вывод формулы» Вы должны кратко привести: основные идеи решения, рисунки (при необходимости)), исходные уравнения и их обоснования, сделанные приближения, основные математические преобразования, окончательные результаты. Конечные формулы и требуемые численные значения занесите в соответствующие выделенные поля. Если по условию заданий от Вас требуется построение графика, используйте подготовленные бланки в Листах ответов, не забудьте подписать и оцифровать оси координат. Рекомендуем сначала решать в черновике (в отдельной тетради), а затем красиво оформить решение на Листах ответов. Используйте только лицевую сторону Листов ответов, писать на обороте листа запрещается.

Черновики проверяться не будут!

Подписывать Листы ответов и черновик запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
После окончания работы сложите листы ответов в соответствии с нумерацией страниц.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады.

Пакет заданий содержит:

титульный лист (1стр.);
условия3теоретических задач (6стр.).

Листы ответов,9класс — исходные общие указания

Уважаемые участники олимпиады!

Заполненные Вами листы ответов являются основным «продуктом» Вашего творчества на олимпиаде, свидетельством Ваших знаний, Ваших способностей, Вашего таланта. Отнеситесь к ним предельно серьезно и аккуратно. Жюри будет проверять только эти Листы.
Настоятельно рекомендуем сначала провести решение в тетради-черновике. Черновик Вы должны сдать, но он проверяться не будет.
Оформляйте решения задач и отдельных пунктов на специально отведенных для них страницах. К каждому заданию добавлен1чистый лист, используйте его, если Вам не хватило отведенного места.
Используйте только лицевую сторону Листов ответов.
Подписывать Листы ответов запрещено.

Желаем успехов в выполнении этой работы!

Листы ответов,10класс — исходные общие указания

Уважаемые участники олимпиады!

Желаем успехов в выполнении этой работы!

Листы ответов,11класс — исходные общие указания

Уважаемые участники олимпиады!

Желаем успехов в выполнении этой работы!

Решения задач (для жюри),9класс — исходные указания

Уважаемые члены жюри! Задачи, предложенные школьникам для решения на олимпиаде, не стандартные и достаточно сложные. Предложенные здесь варианты путей решений не являются единственно возможными. Участники олимпиады могут предложить свои способы решения. Если эти способы приводят к правильным ответам и физически обоснованы, то задача (или ее отдельные пункты) должны оцениваться максимальными баллами. Не забывайте, что Вы должны оценивать не только конечные ответы, но и отдельные правильные шаги в ходе решения!

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших замечательных школьников!

Решения задач (для жюри),10класс — исходные указания

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших замечательных школьников!

Решения задач (для жюри),11класс — исходные указания

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших замечательных школьников!

Условие

Данное задание состоит из4связанных между собой задач. В задаче используется современная система единиц. Во всех частях задания обязательно сделайте рисунки, поясняющие Ваши расчеты.

Часть1. Радиус Земли

Моряк, находящийся на мачте на высоте $h=10\,\mathrm{\text{м}}$ над уровнем моря, увидел свет маяка высотой $h=10\,\mathrm{\text{м}}$ над уровнем моря на расстоянии $L=22{,}5\,\mathrm{\text{км}}$ .

1.1 Рассчитайте по приведенным данным радиус Земли.

Часть2. Плотность Земли

Впервые гравитационную постоянную $G$ , входящую в закон всемирного тяготения Ньютона, измерил в1798году британский физик-экспериментатор Генри Кавендиш. Он же впервые рассчитал среднюю плотность Земли. По современным данным она равна $G=6{,}67\cdot10^{-11}\,\mathrm{\text{м}^3/(\text{кг}\cdot \text{с}^2)}$ . Во времена Г.Кавендиша численное значение ускорения свободного падения на поверхности Земли было известно (считайте, что $g=9{,}81\,\mathrm{\text{м}/\text{с}^2}$ ).

2.1 Используя приведенные данные, рассчитайте среднюю плотность Земли.

Часть3. Расстояние до Луны

Легко измерить время между двумя последовательными полнолуниями, оно равно29,5суток. Длительность Земного года примем равной365,25суток. Считайте, что орбиты Земли вокруг Солнца и Луны вокруг Земли являются окружностями, лежащими в одной плоскости.

3.1 Рассчитайте среднее расстояние от Земли до Луны.

Часть4. Масса Солнца

В настоящее время расстояния до ближайших небесных тел измеряют с высокой точностью с помощью радиолокации. По данным измерений свет распространяется от Земли до Солнца и обратно за время $\tau=16{,}7\,\mathrm{\text{мин}}$ . Скорость света в вакууме равна $c=3{,}00\cdot10^8\,\mathrm{\text{м}/\text{с}}$ .

Исходное изображение Солнца, Земли и Луны

4.1 Рассчитайте по приведенным данным массу Солнца.

Листы ответов

Исходный полный Лист ответов: поля, таблицы, графики и подписи, страница24

Исходный полный Лист ответов: поля, таблицы, графики и подписи, страница25

Исходный полный Лист ответов: поля, таблицы, графики и подписи, страница26

Исходный полный Лист ответов: поля, таблицы, графики и подписи, страница27

Решение

Задание2. Как измеряли Вселенную. Решение.

Часть1. Радиус Земли.

1.1 Элементарный построения условия видимости приводят к уравнению, следующему из теоремы Пифагора

\left(\frac L2\right)^2=(R+h)^2-R^2\approx2Rh.\qquad (1)

Исходная геометрия видимости маяка и мачты, R,R+h,L/2

Мы пренебрегли малым слагаемым $h^2$ . Из этой формулы следует, что радиус Земли равен

R=\frac{L^2}{8h}.\qquad (2)

Численный подсчет дает результат

R\approx6{,}3\cdot10^6\,\mathrm{\text{м}}.\qquad (3)

Часть2. Масса Земли.

2.1 Из закона всемирного тяготения можно записать формулу для ускорения свободного падения

g_0=G\frac M{R^2}.\qquad (4)

Из этой формулы находим массу Земли

M=\frac{g_0R^2}G=5{,}9\cdot10^{24}\,\mathrm{\text{кг}}.

Средняя плотность Земли равна

\rho=\frac M{(4/3)\pi R^3}=\frac{3g_0}{4\pi RG}=5{,}55\cdot10^3\,\mathrm{\text{кг}/\text{м}^3}.\qquad (5)

Часть3. Расстояние до Луны.

3.1 Расстояние от Земли до Луны можно найти $r$ , рассматривая движение Луны с точки зрения законов динамики (2закон Ньютона и закон всемирного тяготения):

m\omega^2r=G\frac{mM}{r^2}.\qquad (6)

Где $m$ — масса Луны, $M$ — масса Земли, $\omega=2\pi/T_{\mathrm{\text{Л}}}$ — угловая скорость движения Луны вокруг Земли. Для упрощения расчетов можно использовать формулу(4):

\left(\frac{2\pi}{T_{\mathrm{\text{Л}}}}\right)^2r=\frac{g_0R^2}{r^2}.\qquad (7)

Из этой формулы находим радиус лунной орбиты

r=\sqrt[3]{\frac{g_0R^2}{(2\pi/T_{\mathrm{\text{Л}}})^2}}.\qquad (8)

Теперь необходимо учесть, что время между двумя новолуниями не равно периоду обращения Луны вокруг Земли. Обозначим $T_{\mathrm{\text{З}}}$ период обращения Земли вокруг Солнца (1год). На рисунке показано положение Солнца, Земли и Луны в два последовательных новолуния. Очевидно, что время между полнолуниями (которые легче наблюдать) равно времени между новолуниями. За время между новолуниями $\tau$ Луна по своей орбите повернется на угол $(2\pi+(2\pi/T_{\mathrm{\text{З}}})\tau)$ , поэтому можно записать:

\tau=\frac{2\pi+(2\pi/T_{\mathrm{\text{З}}})\tau}{\omega_{\mathrm{\text{Л}}}}=\frac{2\pi+(2\pi/T_{\mathrm{\text{З}}})\tau}{2\pi}T_{\mathrm{\text{Л}}}.\qquad (9)

Исходная схема двух новолуний, С,З1,З2,Л1,Л2 и угол φ

Из этой формулы следует, что период обращения Луны описывается формулой:

\frac1{T_{\mathrm{\text{Л}}}}=\frac1\tau+\frac1{T_{\mathrm{\text{З}}}}.\qquad (10)

Подставляя это выражение в формулу(8)получим

r=\sqrt[3]{\frac{g_0R^2}{(2\pi(1/\tau+1/T_{\mathrm{\text{З}}}))^2}}.\qquad (11)

Для численных расчетов необходимо подставить все значения в системе СИ:

r=\sqrt[3]{\frac{g_0R^2}{(2\pi(1/\tau+1/T_{\mathrm{\text{З}}}))^2}}=\sqrt[3]{\frac{9{,}81\,\mathrm{\text{м}/\text{с}^2}\,(6{,}5\cdot10^6\,\mathrm{\text{м}})^2}{((2\pi/(24\cdot3600\,\mathrm{\text{с}}))(1/29{,}5+1/365{,}25))^2}}=3{,}9\cdot10^8\,\mathrm{\text{м}}.\qquad (12)

Часть4. Масса Солнца.

4.1 Запишем второй закон Ньютона (в совокупности с законом всемирного тяготения) для движения Земли

m\left(\frac{2\pi}T\right)^2R=G\frac{mM}{R^2}.\qquad (13)

Где $m$ — масса Земли, $M$ — масса Солнца, $R$ — радиус Земной орбиты, $T=1\,\mathrm{\text{год}}$ — период обращения Земли вокруг Солнца. Из этого уравнения выразим массу Солнца

M=\left(\frac{2\pi}T\right)^2\frac{R^3}G.\qquad (14)

Радиус орбиты найдем из данных радиолокационных измерений

R=c\frac\tau2.\qquad (15)

Окончательно для массы Солнца получим

M=\frac1G\left(\frac{2\pi}T\right)^2\left(\frac{c\tau}2\right)^3.\qquad (16)

Подставим численные значения и вычислим

M=\frac1G\left(\frac{2\pi}T\right)^2\left(\frac{c\tau}2\right)^3=\frac1{6{,}67\cdot10^{-11}}\left(\frac{2\pi}{365{,}25\cdot24\cdot3600}\right)^2\left(\frac{3\cdot10^8\cdot16{,}7\cdot60}2\right)^3=2{,}0\cdot10^{30}\,\mathrm{\text{кг}}.

Примечание читателя: во второй части условие озаглавлено «Плотность Земли», а ключ — «Масса Земли», но приведены обе величины. В подстановке(12)напечатан радиус6,5·10⁶м, тогда как(3)дает6,3·10⁶м; оба исходных значения сохранены.

Примечание читателя: полное оригинальное чтение, структура и архивная атрибуция

Лично прочитаны все99исходных страниц:67условий/бланков и32ключа, включая обложки, все37содержательных Листов ответов, девять дополнительных чистых листов и пустой последний лист ключа. Девять целых заданий разных классов, по три для9/10/11классов. Задание «Как измеряли Вселенную» прямо названо связанным; другие части и вопросы относятся к одному исходному заданию и общей модели. Формулы, методы, таблицы, исходные графики, фотографии и бланки ответов сохранены; буквальные печатные ошибки отмечены отдельно. В папке имеются только этот теоретический комплект и отдельные экспериментальные файлы; дополнительный теоретический рубрикатор не найден. Ключ маркирован «для жюри», но независимая публикация организатором не установлена, поэтому решения атрибутированы архиву. Длительность и баллы в этом комплекте не указаны.

Оригинал в Архива: 2023_theoretical_problems.pdf · решение от архива: 2023_theoretical_solutions.pdf