Съдържание

Условие Часть1. Один реостат Часть2. Два реостата Часть3. Нелинейный реостат Листы ответов Решение

BelPhO 2023, Заключителен етап — Задача 9-3. Изменение мощности

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2023

Белорусская республиканская олимпиада по физике2023 — заключительный этап, теоретический тур,9–11классы

Внимание: Бележка към темата

Все99оригинальных страниц лично прочитаны. Девять целых заданий для9/10/11классов,57нижних номерованных запросов в17исходных частях. Все37содержательных Листов ответов, таблицы данных, бланки графиков, полные доступные архивные ключи и научные изображения сохранены. Печатные ошибки формул/чисел/обозначений/слов оставлены и отдельно атрибутированы; решений вне оригинала не добавлено. Не найдены отдельные балльные рубрики и указание длительности; ключ атрибутирован архиву.

Республиканская физическая олимпиада2023года (Заключительный этап). Теоретический тур,9класс

Полный комплект состоит из трех заданий.
Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.

Внимание!

Помимо условий Вы получите тетрадь для черновиков и Листы ответов. Листы ответов содержат отдельные разделы в соответствии с пунктами полученных Вами заданий. На свободных местах (помеченных как «Вывод формулы» Вы должны кратко привести: основные идеи решения, рисунки (при необходимости)), исходные уравнения и их обоснования, сделанные приближения, основные математические преобразования, окончательные результаты. Конечные формулы и требуемые численные значения занесите в соответствующие выделенные поля. Если по условию заданий от Вас требуется построение графика, используйте подготовленные бланки в Листах ответов, не забудьте подписать и оцифровать оси координат. Рекомендуем сначала решать в черновике (в отдельной тетради), а затем красиво оформить решение на Листах ответов. Используйте только лицевую сторону Листов ответов, писать на обороте листа запрещается.

Черновики проверяться не будут!

Подписывать Листы ответов и черновик запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
После окончания работы сложите листы ответов в соответствии с нумерацией страниц.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады.

Пакет заданий содержит:

титульный лист (1стр.);
условия3теоретических задач (5стр.).

Республиканская физическая олимпиада2023года (Заключительный этап). Теоретический тур,10класс

Полный комплект состоит из трех заданий.
Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.

Внимание!

Помимо условий Вы получите тетрадь для черновиков и Листы ответов. Листы ответов содержат отдельные разделы в соответствии с пунктами полученных Вами заданий. На свободных местах (помеченных как «Вывод формулы» Вы должны кратко привести: основные идеи решения, рисунки (при необходимости)), исходные уравнения и их обоснования, сделанные приближения, основные математические преобразования, окончательные результаты. Конечные формулы и требуемые численные значения занесите в соответствующие выделенные поля. Если по условию заданий от Вас требуется построение графика, используйте подготовленные бланки в Листах ответов, не забудьте подписать и оцифровать оси координат. Рекомендуем сначала решать в черновике (в отдельной тетради), а затем красиво оформить решение на Листах ответов. Используйте только лицевую сторону Листов ответов, писать на обороте листа запрещается.

Черновики проверяться не будут!

Подписывать Листы ответов и черновик запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
После окончания работы сложите листы ответов в соответствии с нумерацией страниц.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады.

Пакет заданий содержит:

титульный лист (1стр.);
условия3теоретических задач (4стр.).

Республиканская физическая олимпиада2023года (Заключительный этап). Теоретический тур,11класс

Полный комплект состоит из трех заданий.
Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.

Внимание!

Помимо условий Вы получите тетрадь для черновиков и Листы ответов. Листы ответов содержат отдельные разделы в соответствии с пунктами полученных Вами заданий. На свободных местах (помеченных как «Вывод формулы» Вы должны кратко привести: основные идеи решения, рисунки (при необходимости)), исходные уравнения и их обоснования, сделанные приближения, основные математические преобразования, окончательные результаты. Конечные формулы и требуемые численные значения занесите в соответствующие выделенные поля. Если по условию заданий от Вас требуется построение графика, используйте подготовленные бланки в Листах ответов, не забудьте подписать и оцифровать оси координат. Рекомендуем сначала решать в черновике (в отдельной тетради), а затем красиво оформить решение на Листах ответов. Используйте только лицевую сторону Листов ответов, писать на обороте листа запрещается.

Черновики проверяться не будут!

Подписывать Листы ответов и черновик запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
После окончания работы сложите листы ответов в соответствии с нумерацией страниц.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады.

Пакет заданий содержит:

титульный лист (1стр.);
условия3теоретических задач (6стр.).

Листы ответов,9класс — исходные общие указания

Уважаемые участники олимпиады!

Заполненные Вами листы ответов являются основным «продуктом» Вашего творчества на олимпиаде, свидетельством Ваших знаний, Ваших способностей, Вашего таланта. Отнеситесь к ним предельно серьезно и аккуратно. Жюри будет проверять только эти Листы.
Настоятельно рекомендуем сначала провести решение в тетради-черновике. Черновик Вы должны сдать, но он проверяться не будет.
Оформляйте решения задач и отдельных пунктов на специально отведенных для них страницах. К каждому заданию добавлен1чистый лист, используйте его, если Вам не хватило отведенного места.
Используйте только лицевую сторону Листов ответов.
Подписывать Листы ответов запрещено.

Желаем успехов в выполнении этой работы!

Листы ответов,10класс — исходные общие указания

Уважаемые участники олимпиады!

Желаем успехов в выполнении этой работы!

Листы ответов,11класс — исходные общие указания

Уважаемые участники олимпиады!

Желаем успехов в выполнении этой работы!

Решения задач (для жюри),9класс — исходные указания

Уважаемые члены жюри! Задачи, предложенные школьникам для решения на олимпиаде, не стандартные и достаточно сложные. Предложенные здесь варианты путей решений не являются единственно возможными. Участники олимпиады могут предложить свои способы решения. Если эти способы приводят к правильным ответам и физически обоснованы, то задача (или ее отдельные пункты) должны оцениваться максимальными баллами. Не забывайте, что Вы должны оценивать не только конечные ответы, но и отдельные правильные шаги в ходе решения!

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших замечательных школьников!

Решения задач (для жюри),10класс — исходные указания

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших замечательных школьников!

Решения задач (для жюри),11класс — исходные указания

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших замечательных школьников!

Условие

Реостат электроплитки $AB$ изготовлен из однородной проволоки длины $l$ , полное сопротивление которой равно $R_0$ . Положение движка реостата $C$ (средний вывод) описывается длиной участка проволоки $|AC|=x$ . Обозначим отношение длины участка $AC$ к длине всей проволоки $z=x/l$ .

Исходный реостат AB с движком C и координатой x

Подключая выводы реостата различными способами можно изменять электрическое сопротивление между клеммами реостата $A$ и $B$ . Введем величину $r=R_{AB}/R_0$ , равную отношению сопротивления между клеммами к полному сопротивлению реостата. Электроплитка подключается к источнику постоянного напряжения $U_0$ . Ведем величину $p=(P_{AB}/U_0^2)R_0$ — отношение мощности электроплитки при подключении ее к клеммам $A$ и $B$ к мощности плитки при подключении полной спирали реостата.

Часть1. Один реостат

1.1–1.3 На рисунке1 показаны три различных схемы подключения выводов реостата. Для каждой схемы найдите зависимость величины $p$ от параметра $z$ , определяющего положение среднего вывода. На одном бланке в Листах ответов постройте графики полученных зависимостей.

1.1 Для каждой схемы найдите зависимость величины $p$ от параметра $z$ , определяющего положение среднего вывода.

1.2 Для каждой схемы найдите зависимость величины $p$ от параметра $z$ , определяющего положение среднего вывода.

1.3 Для каждой схемы найдите зависимость величины $p$ от параметра $z$ , определяющего положение среднего вывода.

Часть2. Два реостата

2.1–2.2 Приведенные на рисунках схемы включают по2одинаковых, описанных выше, реостата. Считайте, что движки реостатов в схеме2.1 смещаются одинаково (т.е. $x_1=x_2=x$ ). Для каждой схемы найдите зависимость параметра $p=(P_{AB}/U_0^2)R_0$ от параметра $z=x/l$ .

2.1 Для каждой схемы найдите зависимость параметра $p=(P_{AB}/U_0^2)R_0$ от параметра $z=x/l$ .

2.2 Для каждой схемы найдите зависимость параметра $p=(P_{AB}/U_0^2)R_0$ от параметра $z=x/l$ .

Часть3. Нелинейный реостат

В некоторых устройствах (например, для регулировки громкости звука) используют реостаты, сопротивление которых нелинейно зависит от длины участка $|AC|=x$ и описывается некоторой функцией $R(x)$ (или $R(z)$ ). Такой реостат включен в цепь по схеме1.3. В Таблице1 Листов ответов приведена зависимость сопротивления $R_{AB}$ между клеммами $A$ и $B$ от параметра $z=x/l$ . График этой зависимости приведен для иллюстрации.

3.1 Найдите полное сопротивление реостата $R_0$ .

3.2 Используя данные Таблицы1, рассчитайте значения функции $R(z)$ в заданных точках. Постройте график этой функции.

3.3 Предложите функцию, описывающую рассчитанную зависимость $R(z)$ .

3.4 Постройте график зависимости мощности реостата ( $p(z)=(P(z)/U_0^2)R_0$ ) от положения движка $z=x/l$ .

Листы ответов

Исходный полный Лист ответов: поля, таблицы, графики и подписи, страница29

Исходный полный Лист ответов: поля, таблицы, графики и подписи, страница30

Исходный полный Лист ответов: поля, таблицы, графики и подписи, страница31

Исходный полный Лист ответов: поля, таблицы, графики и подписи, страница32

Исходный полный Лист ответов: поля, таблицы, графики и подписи, страница33

Решение

Задание3. Изменение мощности. Решения.

Часть1. Один реостат.

Мощность электроплитки рассчитывается по формуле $P=U_0^2/R$ . Поэтому в относительных единицах эта величина равна

p=\frac{U_0^2}R\frac{R_0}{U_0^2}=\frac1r.\qquad (1)

1.1 Так как вторая часть реостата «закорочена», то «работает» только его первая часть, поэтому сопротивлением между клеммами равно

R=R_0\frac xl.\qquad (2)

Или в относительных единицах

r=z.\qquad (3)

Тогда мощность плитки равна

p=\frac1z.\qquad (4)

1.2 В этом случае ситуация обратная, поэтому

r=1-z.\qquad (5)

И мощность

p=\frac1{1-z}.\qquad (6)

1.3 Не сложно заметить, что в данном случае два участка реостата подключены к клеммам параллельно, поэтому общее сопротивление равно

R=\frac{R_x(R_0-R_x)}{R_0}.\qquad (7)

В относительных единицах эта функция имеет вид

r=z(1-z).\qquad (8)

Формула для мощности имеет вид

p=\frac1{z(1-z)}.\qquad (9)

Графики этих функции показаны на рисунке.

Часть2. Два реостата.

2.1 В этой схеме электрический ток через перемычку не идет, поэтому мы имеем два параллельно соединенных реостата. Общее сопротивление не зависит от положения движков реостата и равно

R_{AB}=\frac{R_0}2\ \Rightarrow\ r=\frac12\ \Rightarrow\ p=z.\qquad (10)

2.2 В этой схеме параллельно соединены участок первого реостата и полностью второй реостат. Сопротивление такой схемы равно

R_{AB}=\frac{R_0R_x}{R_0+R_x}\ \Rightarrow\ r=\frac z{1+z}\ \Rightarrow\ p=\frac{1+z}z.\qquad (11)

Часть3. Нелинейный реостат.

3.1 Зависимость сопротивления цепи от величины $x$ описывается функцией

R_{AB}=\frac{R(x)(R_0-R(x))}{R_0}.\qquad (12)

Исходная схема нелинейного реостата в ключе

В этом выражении величина $R_0$ также неизвестна. Однако ее можно найти, анализируя зависимость $R_{AB}$ от $R(x)$ . Как следует из выражения(8)эта функция достигает максимума при $R(x)=R_0/2$ , при этом

(R_{AB})_{\max}=\frac{R(x)(R_0-R(x))}{R_0}=\frac{(R_0/2)(R_0-R_0/2)}{R_0}=\frac{R_0}4.\qquad (13)

В таблице1 находим, что $(R_{AB})_{\max}=25{,}0\,\mathrm{\text{Ом}}$ . Следовательно,

R_0=100\,\mathrm{\text{Ом}}.\qquad (14)

3.2 Теперь уравнение(8)можно переписать в безразмерных параметрах

r_{AB}=r(z)(1-r(z)).\qquad (15)

Данное уравнение является квадратным относительно функции $r(z)$ :

r^2-r+r_{AB}=0.\qquad (16)

Полное решение этого уравнения задается выражениями:

\begin{cases}r_1=(1+\sqrt{1-4r_{AB}})/2,\\r_2=(1-\sqrt{1-4r_{AB}})/2.\end{cases}\qquad (17)

В Таблице приведены значения корней уравнения(8)в зависимости от параметра $z$ (корни безразмерного уравнения(12)рассчитаны по формулам(13)).

$z$	$R_{AB},\mathrm{\text{Ом}}$	$r_{AB}=R_{AB}/R_0$	$R_1=R_0r_1$	$R_2=R_0r_2$
0,0	0,0	0,000	100,00	0,00
0,1	1,0	0,010	99,00	1,00
0,2	3,8	0,038	96,00	4,00
0,3	8,2	0,082	91,00	9,00
0,4	13,4	0,134	84,00	16,00
0,5	18,8	0,188	75,00	25,00
0,6	23,0	0,230	64,00	36,00
0,7	25,0	0,250	51,00	49,00
0,8	23,0	0,230	64,00	36,00
0,9	15,4	0,154	81,00	19,00
1,0	0,0	0,000	100,00	0,00

Ниже показаны графики этих рассчитанных значений.

По своему физическому смыслу, полученная функция должна быть монотонно возрастающей, так сопротивление никакого участка реостата не может быть отрицательным. Поэтому, полученные решения надо правильно сшить, как показано в таблице и на графике.

$z$	$R(z),\mathrm{\text{Ом}}$
0,0	0,0
0,1	1,0
0,2	4,0
0,3	9,0
0,4	16,0
0,5	25,0
0,6	36,0
0,7	49,0
0,8	64,0
0,9	81,0
1,0	100,0

3.3 Легко заметить, что данная функция является квадратичной (значения сопротивлений — квадраты целых чисел) и описывается формулой

R(z)=R_0z^2.\qquad (18)

3.4 График зависимости мощности реостата от параметра $z$ имеет вид, показанный на рисунке.

Исходный график мощности нелинейного резистора

Примечание читателя: в исходной формуле(10)напечатано $p=z$ после $r=1/2$ , несмотря на определение $p=1/r$ . Таблица корней содержит округленные51/49 при $z=0,7$ , хотя приведенная рядом формула дает50/50 для $r_{AB}=0,250$ . Ссылки на номера формул в ключе оставлены как напечатаны.

Примечание читателя: полное оригинальное чтение, структура и архивная атрибуция

Лично прочитаны все99исходных страниц:67условий/бланков и32ключа, включая обложки, все37содержательных Листов ответов, девять дополнительных чистых листов и пустой последний лист ключа. Девять целых заданий разных классов, по три для9/10/11классов. Задание «Как измеряли Вселенную» прямо названо связанным; другие части и вопросы относятся к одному исходному заданию и общей модели. Формулы, методы, таблицы, исходные графики, фотографии и бланки ответов сохранены; буквальные печатные ошибки отмечены отдельно. В папке имеются только этот теоретический комплект и отдельные экспериментальные файлы; дополнительный теоретический рубрикатор не найден. Ключ маркирован «для жюри», но независимая публикация организатором не установлена, поэтому решения атрибутированы архиву. Длительность и баллы в этом комплекте не указаны.

Оригинал в Архива: 2023_theoretical_problems.pdf · решение от архива: 2023_theoretical_solutions.pdf