Съдържание

Условие Часть1. Конструирование и градуировка в идеальном случае Часть2. Реальные измерения Листы ответов Решение

BelPhO 2023, Заключителен етап — Задача 10-1. Термоскоп Галилея

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2023

Белорусская республиканская олимпиада по физике2023 — заключительный этап, теоретический тур,9–11классы

Внимание: Бележка към темата

Все99оригинальных страниц лично прочитаны. Девять целых заданий для9/10/11классов,57нижних номерованных запросов в17исходных частях. Все37содержательных Листов ответов, таблицы данных, бланки графиков, полные доступные архивные ключи и научные изображения сохранены. Печатные ошибки формул/чисел/обозначений/слов оставлены и отдельно атрибутированы; решений вне оригинала не добавлено. Не найдены отдельные балльные рубрики и указание длительности; ключ атрибутирован архиву.

Республиканская физическая олимпиада2023года (Заключительный этап). Теоретический тур,9класс

Полный комплект состоит из трех заданий.
Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.

Внимание!

Помимо условий Вы получите тетрадь для черновиков и Листы ответов. Листы ответов содержат отдельные разделы в соответствии с пунктами полученных Вами заданий. На свободных местах (помеченных как «Вывод формулы» Вы должны кратко привести: основные идеи решения, рисунки (при необходимости)), исходные уравнения и их обоснования, сделанные приближения, основные математические преобразования, окончательные результаты. Конечные формулы и требуемые численные значения занесите в соответствующие выделенные поля. Если по условию заданий от Вас требуется построение графика, используйте подготовленные бланки в Листах ответов, не забудьте подписать и оцифровать оси координат. Рекомендуем сначала решать в черновике (в отдельной тетради), а затем красиво оформить решение на Листах ответов. Используйте только лицевую сторону Листов ответов, писать на обороте листа запрещается.

Черновики проверяться не будут!

Подписывать Листы ответов и черновик запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
После окончания работы сложите листы ответов в соответствии с нумерацией страниц.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады.

Пакет заданий содержит:

титульный лист (1стр.);
условия3теоретических задач (5стр.).

Республиканская физическая олимпиада2023года (Заключительный этап). Теоретический тур,10класс

Полный комплект состоит из трех заданий.
Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.

Внимание!

Помимо условий Вы получите тетрадь для черновиков и Листы ответов. Листы ответов содержат отдельные разделы в соответствии с пунктами полученных Вами заданий. На свободных местах (помеченных как «Вывод формулы» Вы должны кратко привести: основные идеи решения, рисунки (при необходимости)), исходные уравнения и их обоснования, сделанные приближения, основные математические преобразования, окончательные результаты. Конечные формулы и требуемые численные значения занесите в соответствующие выделенные поля. Если по условию заданий от Вас требуется построение графика, используйте подготовленные бланки в Листах ответов, не забудьте подписать и оцифровать оси координат. Рекомендуем сначала решать в черновике (в отдельной тетради), а затем красиво оформить решение на Листах ответов. Используйте только лицевую сторону Листов ответов, писать на обороте листа запрещается.

Черновики проверяться не будут!

Подписывать Листы ответов и черновик запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
После окончания работы сложите листы ответов в соответствии с нумерацией страниц.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады.

Пакет заданий содержит:

титульный лист (1стр.);
условия3теоретических задач (4стр.).

Республиканская физическая олимпиада2023года (Заключительный этап). Теоретический тур,11класс

Полный комплект состоит из трех заданий.
Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.

Внимание!

Помимо условий Вы получите тетрадь для черновиков и Листы ответов. Листы ответов содержат отдельные разделы в соответствии с пунктами полученных Вами заданий. На свободных местах (помеченных как «Вывод формулы» Вы должны кратко привести: основные идеи решения, рисунки (при необходимости)), исходные уравнения и их обоснования, сделанные приближения, основные математические преобразования, окончательные результаты. Конечные формулы и требуемые численные значения занесите в соответствующие выделенные поля. Если по условию заданий от Вас требуется построение графика, используйте подготовленные бланки в Листах ответов, не забудьте подписать и оцифровать оси координат. Рекомендуем сначала решать в черновике (в отдельной тетради), а затем красиво оформить решение на Листах ответов. Используйте только лицевую сторону Листов ответов, писать на обороте листа запрещается.

Черновики проверяться не будут!

Подписывать Листы ответов и черновик запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
После окончания работы сложите листы ответов в соответствии с нумерацией страниц.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады.

Пакет заданий содержит:

титульный лист (1стр.);
условия3теоретических задач (6стр.).

Листы ответов,9класс — исходные общие указания

Уважаемые участники олимпиады!

Заполненные Вами листы ответов являются основным «продуктом» Вашего творчества на олимпиаде, свидетельством Ваших знаний, Ваших способностей, Вашего таланта. Отнеситесь к ним предельно серьезно и аккуратно. Жюри будет проверять только эти Листы.
Настоятельно рекомендуем сначала провести решение в тетради-черновике. Черновик Вы должны сдать, но он проверяться не будет.
Оформляйте решения задач и отдельных пунктов на специально отведенных для них страницах. К каждому заданию добавлен1чистый лист, используйте его, если Вам не хватило отведенного места.
Используйте только лицевую сторону Листов ответов.
Подписывать Листы ответов запрещено.

Желаем успехов в выполнении этой работы!

Листы ответов,10класс — исходные общие указания

Уважаемые участники олимпиады!

Желаем успехов в выполнении этой работы!

Листы ответов,11класс — исходные общие указания

Уважаемые участники олимпиады!

Желаем успехов в выполнении этой работы!

Решения задач (для жюри),9класс — исходные указания

Уважаемые члены жюри! Задачи, предложенные школьникам для решения на олимпиаде, не стандартные и достаточно сложные. Предложенные здесь варианты путей решений не являются единственно возможными. Участники олимпиады могут предложить свои способы решения. Если эти способы приводят к правильным ответам и физически обоснованы, то задача (или ее отдельные пункты) должны оцениваться максимальными баллами. Не забывайте, что Вы должны оценивать не только конечные ответы, но и отдельные правильные шаги в ходе решения!

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших замечательных школьников!

Решения задач (для жюри),10класс — исходные указания

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших замечательных школьников!

Решения задач (для жюри),11класс — исходные указания

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших замечательных школьников!

Условие

Первый термоскоп сконструировал итальянский физик Галилео Галилей примерно в1592—1600годах. Термоскоп (греч.Θέρμη[термо]«тепло»+σκοπέω[скопео]«смотрю») — устройство, которое показывает изменения температуры, родоначальник современных термометров. Типичная конструкция термоскопа представляет собой трубку, в которой жидкость поднимается и опускается при изменении температуры.

Исходный портрет Галилея и изображение термоскопа

Молодой, но талантливый белорусский физик Федор, прочитав это сообщение, решил превзойти знаменитого итальянского ученого: не только самостоятельно сконструировать и изготовить подобный прибор, но и снабдить его точно рассчитанной температурной шкалой. Тем, более, что Федор только что изучил газовый законы, еще не известные во времена Г.Галилея.

Часть1. Конструирование и градуировка в идеальном случае

Федор нашел стеклянную трубку, измерил ее размеры: Длина трубки $l=50\,\mathrm{\text{см}}$ ; внутренний диаметр $d=0{,}50\,\mathrm{\text{см}}$ . Федор закрепил трубку вертикально, нижний конец трубки опустил в широкий сосуд с водой. Погруженной в воду частью трубки можно пренебречь, также можно считать, что уровень воды в нижнем сосуде постоянен. К верхней части трубки прикрепил сосуд, объем которого $V_1$ Федор тщательно рассчитал. Рядом с трубкой располагается шкала, по которой можно измерять высоту $h$ , на которую поднимается вода в трубке.

Исходная установка термоскопа, объем V1 и высоты l,h

Для расчетов используйте следующие параметры:
Плотность воды $\rho=1{,}00\cdot10^3\,\mathrm{\text{кг}/\text{м}^3}$ и не зависит от температуры;
Атмосферное давление постоянно и равно $P_0=1{,}00\cdot10^5\,\mathrm{\text{Па}}$ ;
Ускорение свободного падения $g=10{,}0\,\mathrm{\text{м}/\text{с}^2}$ ;
Абсолютный нуль температуры $\tau=-273^\circ\mathrm C$ .
Федор решил, что с помощью данного прибора необходимо измерять температуру в диапазоне от $t_{\min}=10^\circ\mathrm C$ до $t_{\max}=40^\circ\mathrm C$ (по его мнению, именно в таком диапазоне изменяется температура в квартирах).

Федор рассудил, что давлением насыщенных паров воды внутри термоскопа можно пренебречь так, как в выбранном диапазоне температур оно значительно (более, чем в10раз) меньше атмосферного давления.

Настройку термоскопа Федор проводил следующим образом. Трубку с сосудом вверху вертикально опускают в воду в нижнем сосуде, так, она незначительно погружается в воду. Погруженной в воду частью трубки можно пренебречь, также можно считать, что уровень воды в нижнем сосуде постоянен. После этого воду нагревают до температуры $t_{\max}=40^\circ\mathrm C$ , воздух в трубке также нагревается до этой же температуры. Воздух частично выходит из трубки, тем самым оказывается, что при этой температуре высота уровня воды в трубке равна $h=0$ . При остывании уровень воды в трубке повышается, тем самым данный прибор можно использовать в качестве комнатного термометра.

1.1 Рассчитайте, при каком объеме верхнего сосуда $V_1$ вода полностью заполнит трубку (т.е. высота уровня воды в трубке станет равной $h=l$ ), если температура опустится до значения $t_{\min}=10^\circ\mathrm C$ .

Для дальнейших расчетов удобно использовать следующие параметры:
$\alpha=\rho gl/P_0$ — отношение гидростатического давления воды в полностью заполненной трубке;
$\beta=lS/(V_1+lS)$ — отношение объема трубки к полному объему термоскопа (верхнего сосуда и трубки);
$z=h/l$ — относительная высота уровня воды в трубке (отношение высоты уровня к длине трубки).

1.2 Рассчитайте численные значения параметров установки $\alpha$ и $\beta$ .

1.3 Получите уравнение, позволяющее рассчитать зависимость относительной высоты уровня воды в трубке от температуры в комнате $z(t)$ . В качестве параметров этого уравнения должны входить только безразмерные параметры $\alpha,\beta$ и минимальная температура $t_{\min}$ .

1.4 Постройте градуировочный график зависимости $z(t)$ . Результаты расчетов (в том числе и промежуточные) приведите в Таблице1 Листов ответов. График постройте на приведённом бланке Листов ответов.

Часть2. Реальные измерения

В ходе экспериментальной проверки изготовленного термоскопа Федор обнаружил, что показания прибора заметно отличаются от рассчитанных значений. Федор понял, что давлением водяных паров внутри термоскопа пренебрегать нельзя. Найти зависимость давления насыщенных водяных паров от температуры не представляет труда. Эта зависимость в используемом диапазоне температур приведена в Таблице2 Листов ответов. Там же для наглядности приведен график этой зависимости. В этой части вы должны провести расчет зависимости высоты поднятия воды в трубке от температуры с учетом влияния водяных паров. Все параметры прибора остались прежними.

2.1 Получите уравнение, позволяющее рассчитать зависимость относительной высоты уровня воды в трубке от температуры в комнате $z(t)$ . В качестве параметров этого уравнения должны входить только безразмерные параметры $\alpha,\beta$ , минимальная температура $t_{\min}$ , а также отношение давления насыщенных паров воды к атмосферному давлению $\gamma=P_{\mathrm{\text{нас}.}}/P_0$ .

2.2 Рассчитайте значения относительной высоты уровня воды в трубке от температуры $z(t)$ , для температур, приведенных в Таблице2. Постройте график полученной зависимости.

Листы ответов

Исходный полный Лист ответов: поля, таблицы, графики и подписи, страница36

Исходный полный Лист ответов: поля, таблицы, графики и подписи, страница37

Исходный полный Лист ответов: поля, таблицы, графики и подписи, страница38

Исходный полный Лист ответов: поля, таблицы, графики и подписи, страница39

Исходный полный Лист ответов: поля, таблицы, графики и подписи, страница40

Решение

Задание1. Термоскоп Галилея. Решение.

Часть1. Конструирование и градуировка в идеальном случае.

1.1–1.2 Масса воздуха в термоскопе остается постоянной, поэтому для этого воздуха справедливо уравнение состояния Клапейрона (для состояний при максимальной и минимальной температурах):

\frac{P_0(V_1+Sl)}{T_{\max}}=\frac{(P_0-\rho gl)V_1}{T_{\min}},\qquad (1)

Где $Sl=(\pi d^2/4)l$ — внутренний объем трубки.
Из уравнения(1)находим:

\begin{aligned} \frac{V_1+Sl}{V_1}&=\frac{P_0-\rho gl}{P_0}\frac{T_{\max}}{T_{\min}}\ \Rightarrow\ 1+\frac{Sl}{V_1}=(1-\alpha)\frac{T_{\max}}{T_{\min}}\ \Rightarrow\\ \frac{Sl}{V_1}&=(1-\alpha)\frac{T_{\max}}{T_{\min}}-1\ \Rightarrow\ V_1=\frac{Sl}{(1-\alpha)T_{\max}/T_{\min}-1}. \end{aligned}\qquad (2)

Численные расчеты приводят к результатам

\begin{aligned} Sl&=\frac{\pi d^2}4l=\frac{\pi\cdot0{,}5^2}4\,50=9{,}82\,\mathrm{\text{см}^3},\\ \alpha&=\frac{\rho gl}{P_0}=\frac{1{,}0\cdot10^3\cdot10\cdot0{,}50}{1{,}0\cdot10^5}=5{,}0\cdot10^{-3},\\ V_1&=\frac{Sl}{(1-\alpha)T_{\max}/T_{\min}-1}=\frac{9{,}82\,\mathrm{\text{см}^3}}{(1-0{,}050)(40+273)/(10+273)-1}=194\,\mathrm{\text{см}^3},\\ \beta&=\frac{Sl}{V_1+Sl}=0{,}048. \end{aligned}\qquad (3)

1.3 Запишем уравнение Клапейрона для воздуха в трубке, используя начальное и промежуточное состояния

\frac{P_0(V_1+Sl)}{T_{\max}}=\frac{(P_0-\rho gh)(V_1+Sl-Sh)}T.\qquad (4)

Перепишем его в «безразмерной» форме

\frac T{T_{\max}}=\left(1-\frac{\rho gl}{P_0}\frac hl\right)\left(1-\frac{Sl}{V_1+Sl}\frac hl\right)\ \Rightarrow\ \frac T{T_{\max}}=(1-\alpha z)(1-\beta z).\qquad (5)

Это уравнение является квадратным относительно величины $z$ :

az^2+bz+c=0,\quad a=\alpha\beta;\quad b=-(\alpha+\beta);\quad c=1-\frac T{T_{\max}}=1-\frac{t+273}{313},\qquad (5)

которое может быть решено по известной формуле

z=\frac{(\alpha+\beta)-\sqrt{(\alpha+\beta)+4\alpha\beta((40-t)/313)}}{2\alpha\beta}.\qquad (6)

Отметим, что необходимо выбрать знак «минус» перед корнем.

1.4 Результаты расчетов приведены в Таблице1 и на графике.

Таблица1. Зависимость высоты подъема от температуры без учета влажности воздуха.

$t^\circ\mathrm C$	$a$	$b$	$c$	$z$
10,00	0,00241	−0,09826	0,09585	1,000
15,00	0,00241	−0,09826	0,07987	0,830
20,00	0,00241	−0,09826	0,06390	0,661
25,00	0,00241	−0,09826	0,04792	0,494
30,00	0,00241	−0,09826	0,03195	0,328
35,00	0,00241	−0,09826	0,01597	0,163
40,00	0,00241	−0,09826	0,00000	0,000

Исходный градуировочный график сухого воздуха

Замечания.

В данном случае можно рассчитать (что заметно проще) обратную зависимость $t(z)$ непосредственно по формуле(5).
Квадратное уравнение(5)можно решить приближенно, пренебрегая произведением $\alpha\beta$ . В этом приближении получается практически та же зависимость.

Часть2. Реальные измерения.

2.1 В этом случае суммарное давление газов в реостате равно сумме давлений сухого воздуха и давления водяного пара. Давление сухого воздуха подчиняется уравнению состояния, т.к.масса сухого воздуха остается неизменной. А давление водяного пара есть давление насыщенного водяного пара, зависящее только от температуры (и не зависящее от занимаемого объема). Поэтому при высоте уровня воды в сосуде $h$ , связь между различными давлениями определяется уравнением равновесия столба воды

P_0=P+P_{\mathrm{\text{нас}.}}+\rho gh,\qquad (7)

Откуда следует, что давление сухого воздуха равно

P=P_0-P_{\mathrm{\text{нас}.}}-\rho gh,\qquad (8)

Уравнение Клапейрона для сухого воздуха в этом случае имеет вид:

\frac{(P_0-P_{\mathrm{\text{нас}.}}(t_{\max}))(V_1+Sl)}{T_{\max}}=\frac{(P_0-P_{\mathrm{\text{нас}.}}(t)-\rho gh)(V_1+Sl-Sh)}T.\qquad (9)

Или в безразмерных параметрах:

\frac{1-P_{\mathrm{\text{нас}.}}(t_{\max})/P_0}{T_{\max}}= \frac{(1-P_{\mathrm{\text{нас}.}}(t)/P_0-(\rho gl/P_0)(h/l))(1-(Sl/(V_1+Sl))(h/l))}T \ \Rightarrow\ (1-\gamma_{\max})\frac T{T_{\max}}=(1-\gamma-\alpha z)(1-\beta z).\qquad (10)

Это уравнение также приводится к квадратному уравнению типа(5)с параметрами

az^2+bz+c=0,\quad a=\alpha\beta;\quad b=-(\alpha+\beta(1-\gamma));\quad c=(1-\gamma)-(1-\gamma_{\max})\frac T{T_{\max}}.\qquad (11)

Результаты расчетов всех параметров уравнения(11)и его решение представлены в Таблице2.

$t^\circ\mathrm C$	$P,\mathrm{\text{кПа}}$	$\gamma$	$a$	$b$	$c$	$z$
10,00	1,228	0,01228	0,00241	−0,09767	0,15030	1,602
15,00	1,706	0,01706	0,00241	−0,09744	0,13073	1,390
20,00	2,339	0,02339	0,00241	−0,09713	0,10961	1,162
25,00	3,169	0,03169	0,00241	−0,09673	0,08651	0,915
30,00	4,246	0,04246	0,00241	−0,09621	0,06095	0,644
35,00	5,627	0,05627	0,00241	−0,09554	0,03234	0,341
40,00	7,381	0,07381	0,00241	−0,09470	0,00000	0,000

Исходный график с учетом влажности и пунктирная сухая кривая

Для наглядности на графике оставлена зависимость, рассчитанная без учета давления водяных паров. Естественно, что полученная зависимость имеет смысл только при $z\le1$ .

Примечание читателя: исходный ключ содержит $\alpha=5,0\cdot10^{-3}$ при подстановке, дающей0,050; далее используется0,050. В формуле(6)под корнем напечатаны $(\alpha+\beta)$ без квадрата и знак«+», хотя выше приведено другое квадратное уравнение. Формула(5)повторяется. Слово«реостате» в части2 оставлено буквально. В условии требуется выражение через $t_{\min}$ , а ключ использует $t_{\max}$ . Таблица и график сохраняют значения $z>1$ , для которых сам ключ оговаривает предел применимости.

Примечание читателя: полное оригинальное чтение, структура и архивная атрибуция

Лично прочитаны все99исходных страниц:67условий/бланков и32ключа, включая обложки, все37содержательных Листов ответов, девять дополнительных чистых листов и пустой последний лист ключа. Девять целых заданий разных классов, по три для9/10/11классов. Задание «Как измеряли Вселенную» прямо названо связанным; другие части и вопросы относятся к одному исходному заданию и общей модели. Формулы, методы, таблицы, исходные графики, фотографии и бланки ответов сохранены; буквальные печатные ошибки отмечены отдельно. В папке имеются только этот теоретический комплект и отдельные экспериментальные файлы; дополнительный теоретический рубрикатор не найден. Ключ маркирован «для жюри», но независимая публикация организатором не установлена, поэтому решения атрибутированы архиву. Длительность и баллы в этом комплекте не указаны.

Оригинал в Архива: 2023_theoretical_problems.pdf · решение от архива: 2023_theoretical_solutions.pdf