Съдържание

BelPhO 2023, Заключителен етап — Задача 10-2. Капельница Кельвина

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2023

Белорусская республиканская олимпиада по физике2023 — заключительный этап, теоретический тур,9–11классы

Внимание: Бележка към темата

Все99оригинальных страниц лично прочитаны. Девять целых заданий для9/10/11классов,57нижних номерованных запросов в17исходных частях. Все37содержательных Листов ответов, таблицы данных, бланки графиков, полные доступные архивные ключи и научные изображения сохранены. Печатные ошибки формул/чисел/обозначений/слов оставлены и отдельно атрибутированы; решений вне оригинала не добавлено. Не найдены отдельные балльные рубрики и указание длительности; ключ атрибутирован архиву.

Республиканская физическая олимпиада2023года (Заключительный этап). Теоретический тур,9класс

Полный комплект состоит из трех заданий.
Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.

Внимание!

Помимо условий Вы получите тетрадь для черновиков и Листы ответов. Листы ответов содержат отдельные разделы в соответствии с пунктами полученных Вами заданий. На свободных местах (помеченных как «Вывод формулы» Вы должны кратко привести: основные идеи решения, рисунки (при необходимости)), исходные уравнения и их обоснования, сделанные приближения, основные математические преобразования, окончательные результаты. Конечные формулы и требуемые численные значения занесите в соответствующие выделенные поля. Если по условию заданий от Вас требуется построение графика, используйте подготовленные бланки в Листах ответов, не забудьте подписать и оцифровать оси координат. Рекомендуем сначала решать в черновике (в отдельной тетради), а затем красиво оформить решение на Листах ответов. Используйте только лицевую сторону Листов ответов, писать на обороте листа запрещается.

Черновики проверяться не будут!

Подписывать Листы ответов и черновик запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
После окончания работы сложите листы ответов в соответствии с нумерацией страниц.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады.

Пакет заданий содержит:

титульный лист (1стр.);
условия3теоретических задач (5стр.).

Республиканская физическая олимпиада2023года (Заключительный этап). Теоретический тур,10класс

Полный комплект состоит из трех заданий.
Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.

Внимание!

Помимо условий Вы получите тетрадь для черновиков и Листы ответов. Листы ответов содержат отдельные разделы в соответствии с пунктами полученных Вами заданий. На свободных местах (помеченных как «Вывод формулы» Вы должны кратко привести: основные идеи решения, рисунки (при необходимости)), исходные уравнения и их обоснования, сделанные приближения, основные математические преобразования, окончательные результаты. Конечные формулы и требуемые численные значения занесите в соответствующие выделенные поля. Если по условию заданий от Вас требуется построение графика, используйте подготовленные бланки в Листах ответов, не забудьте подписать и оцифровать оси координат. Рекомендуем сначала решать в черновике (в отдельной тетради), а затем красиво оформить решение на Листах ответов. Используйте только лицевую сторону Листов ответов, писать на обороте листа запрещается.

Черновики проверяться не будут!

Подписывать Листы ответов и черновик запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
После окончания работы сложите листы ответов в соответствии с нумерацией страниц.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады.

Пакет заданий содержит:

титульный лист (1стр.);
условия3теоретических задач (4стр.).

Республиканская физическая олимпиада2023года (Заключительный этап). Теоретический тур,11класс

Полный комплект состоит из трех заданий.
Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.

Внимание!

Помимо условий Вы получите тетрадь для черновиков и Листы ответов. Листы ответов содержат отдельные разделы в соответствии с пунктами полученных Вами заданий. На свободных местах (помеченных как «Вывод формулы» Вы должны кратко привести: основные идеи решения, рисунки (при необходимости)), исходные уравнения и их обоснования, сделанные приближения, основные математические преобразования, окончательные результаты. Конечные формулы и требуемые численные значения занесите в соответствующие выделенные поля. Если по условию заданий от Вас требуется построение графика, используйте подготовленные бланки в Листах ответов, не забудьте подписать и оцифровать оси координат. Рекомендуем сначала решать в черновике (в отдельной тетради), а затем красиво оформить решение на Листах ответов. Используйте только лицевую сторону Листов ответов, писать на обороте листа запрещается.

Черновики проверяться не будут!

Подписывать Листы ответов и черновик запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
После окончания работы сложите листы ответов в соответствии с нумерацией страниц.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады.

Пакет заданий содержит:

титульный лист (1стр.);
условия3теоретических задач (6стр.).

Листы ответов,9класс — исходные общие указания

Уважаемые участники олимпиады!

Заполненные Вами листы ответов являются основным «продуктом» Вашего творчества на олимпиаде, свидетельством Ваших знаний, Ваших способностей, Вашего таланта. Отнеситесь к ним предельно серьезно и аккуратно. Жюри будет проверять только эти Листы.
Настоятельно рекомендуем сначала провести решение в тетради-черновике. Черновик Вы должны сдать, но он проверяться не будет.
Оформляйте решения задач и отдельных пунктов на специально отведенных для них страницах. К каждому заданию добавлен1чистый лист, используйте его, если Вам не хватило отведенного места.
Используйте только лицевую сторону Листов ответов.
Подписывать Листы ответов запрещено.

Желаем успехов в выполнении этой работы!

Листы ответов,10класс — исходные общие указания

Уважаемые участники олимпиады!

Желаем успехов в выполнении этой работы!

Листы ответов,11класс — исходные общие указания

Уважаемые участники олимпиады!

Желаем успехов в выполнении этой работы!

Решения задач (для жюри),9класс — исходные указания

Уважаемые члены жюри! Задачи, предложенные школьникам для решения на олимпиаде, не стандартные и достаточно сложные. Предложенные здесь варианты путей решений не являются единственно возможными. Участники олимпиады могут предложить свои способы решения. Если эти способы приводят к правильным ответам и физически обоснованы, то задача (или ее отдельные пункты) должны оцениваться максимальными баллами. Не забывайте, что Вы должны оценивать не только конечные ответы, но и отдельные правильные шаги в ходе решения!

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших замечательных школьников!

Решения задач (для жюри),10класс — исходные указания

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших замечательных школьников!

Решения задач (для жюри),11класс — исходные указания

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших замечательных школьников!

Условие

Капельница Кельвина — электростатический генератор, изобретённый Уильямом Томсоном (лордом Кельвином) в1867году. Простая конструкция позволяет, тем не менее, получить напряжения порядка10кВ.

Исходное изображение капельницы Кельвина

В настоящее время имеется много различных модификаций этого прибора, который в настоящее время рассматривается как забавная игрушка. В данном задании рассмотрим следующую упрощенную модель этого устройства.
Цилиндрический сосуд1, заполненный водой, снабжен двумя небольшими трубочками — капельницами2и3, из которых с некоторым интервалом падают капли. Капли пролетают через проводящие кольца4и5 и попадают в проводящие сферические сосуды6и7 с небольшими отверстиями. Сосуды соединены с кольцами «крест-накрест».

Исходная модель капельницы: все сосуды, кольца, капли, перекрестные провода и заряды

Принцип работы этого электростатического генератора очевиден:

изначально сосудам6и7 сообщают небольшие электрические заряды противоположного знака $+Q$ и $-Q$ ; радиусы этих сосудов равны $R$ . Электростатическим воздействием одного сосуда на другой следует пренебречь;
часть этих зарядов $\pm Q_1$ перетекает на кольца4и5; два кольца служат обкладками конденсатора, электрическая емкость которого равна $C$ ; так как эта емкость мала, то следует считать, что $Q_1\ll Q$ ; Радиусы колец равны $r$ , они находятся на расстоянии $h$ от концов трубок с каплями, толщина колец значительно меньше из радиусов;
электрическое поле колец индуцирует на каплях заряды $\pm q$ , радиусы капель равны $a$ ; расстояние от сосудов6и7 до капель достаточно велико, поэтому влиянием поля сосудов на капли можно пренебречь; Расстояние между каплями также значительно больше радиусов капель; сосуд с водой1 заземлен;

Таким образом, капли приобретают электрический заряд, который при попадании капли в сосуд передается соответствующему сосуду, увеличивая его заряд.

1 Пусть заряды каждого сосуда равны $\pm Q$ . Найдите, какие заряды $\pm Q_1$ возникают на кольцах.

2 Рассчитайте электрические заряды капель $\pm q$ . Величину этого заряда можно представить в виде $q=\alpha Q$ , где $\alpha$ — некоторый безразмерный коэффициент. Запишите формулу для этого коэффициента.

3 Обозначим заряды сосудов до падения первых капель $\pm Q_0$ . Найдите заряды этих сосудов, после того, как в них упало по $N$ капель. Ответ выразите через коэффициент $\alpha$ .

Листы ответов

Исходный полный Лист ответов: поля, таблицы, графики и подписи, страница42

Исходный полный Лист ответов: поля, таблицы, графики и подписи, страница43

Исходный полный Лист ответов: поля, таблицы, графики и подписи, страница44

Решение

Задание2. Капельница Кельвина. Решение.

1. Если заряд сферы равен $Q$ , то ее потенциал равен

\varphi=k\frac QR,\qquad (1)

Где $k=1/(4\pi\varepsilon_0)$ . Поэтому разность потенциалов между кольцами равна

\Delta\varphi=2k\frac QR.\qquad (2)

Тогда электрический заряд каждого кольца равен (из определения емкости конденсатора):

C=\frac{Q_1}{\Delta\varphi}\ \Rightarrow\ Q_1=C\Delta\varphi=\frac{2kC}RQ.\qquad (3)

2. Так как верхний сосуд заземлен, то потенциал всех его точек (в том числе и капель) равен нулю. Потенциал капли равен сумме потенциалов поля, создаваемых зарядом на ближайшем кольце, и поля, создаваемого зарядом на самой капле. Потенциал поля кольца в точке нахождения капли легко определить, используя принцип суперпозиции:

\varphi_1=k\frac{Q_1}{\sqrt{r^2+h^2}}.\qquad (4)

Такой же по модулю (но противоположный по знаку) потенциал создается зарядом на капле

\varphi_1=k\frac qa.\qquad (5)

Приравнивая эти выражения, находим заряд капли

q=\frac a{\sqrt{r^2+h^2}}Q_1=\frac a{\sqrt{r^2+h^2}}\frac{2kC}RQ.\qquad (6)

Из этой формулы следует, что безразмерный коэффициент пропорциональности между зарядом капли и зарядом сосуда равен

\alpha=\frac a{\sqrt{r^2+h^2}}\frac{2kC}R.\qquad (7)

3. Пусть после попадания $(N-1)$ капель заряд сосуда равен $Q_{N-1}$ , тогда после падения очередной капли заряд сосуда станет равным

Q_N=Q_{N-1}+q=Q_{N-1}+\alpha Q_{N-1}=(1+\alpha)Q_{N-1}.\qquad (8)

Из этого выражения следует, что заряд сосуда возрастает в геометрической прогрессии, поэтому

Q_N=(1+\alpha)^NQ_0.\qquad (9)

Примечание читателя: в ключе обозначение $\varphi_1$ использовано в обеих формулах(4),(5); текст различает противоположные знаки, а выражения приравниваются по модулям. Исходные обозначения сохранены.

Примечание читателя: полное оригинальное чтение, структура и архивная атрибуция

Лично прочитаны все99исходных страниц:67условий/бланков и32ключа, включая обложки, все37содержательных Листов ответов, девять дополнительных чистых листов и пустой последний лист ключа. Девять целых заданий разных классов, по три для9/10/11классов. Задание «Как измеряли Вселенную» прямо названо связанным; другие части и вопросы относятся к одному исходному заданию и общей модели. Формулы, методы, таблицы, исходные графики, фотографии и бланки ответов сохранены; буквальные печатные ошибки отмечены отдельно. В папке имеются только этот теоретический комплект и отдельные экспериментальные файлы; дополнительный теоретический рубрикатор не найден. Ключ маркирован «для жюри», но независимая публикация организатором не установлена, поэтому решения атрибутированы архиву. Длительность и баллы в этом комплекте не указаны.

Оригинал в Архива: 2023_theoretical_problems.pdf · решение от архива: 2023_theoretical_solutions.pdf