Съдържание

Условие Часть1. Динамика вращательного движения Часть2. Движение диска по рельсам Листы ответов Решение

BelPhO 2023, Заключителен етап — Задача 10-3. Диск на рельсах

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2023

Белорусская республиканская олимпиада по физике2023 — заключительный этап, теоретический тур,9–11классы

Внимание: Бележка към темата

Все99оригинальных страниц лично прочитаны. Девять целых заданий для9/10/11классов,57нижних номерованных запросов в17исходных частях. Все37содержательных Листов ответов, таблицы данных, бланки графиков, полные доступные архивные ключи и научные изображения сохранены. Печатные ошибки формул/чисел/обозначений/слов оставлены и отдельно атрибутированы; решений вне оригинала не добавлено. Не найдены отдельные балльные рубрики и указание длительности; ключ атрибутирован архиву.

Республиканская физическая олимпиада2023года (Заключительный этап). Теоретический тур,9класс

Полный комплект состоит из трех заданий.
Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.

Внимание!

Помимо условий Вы получите тетрадь для черновиков и Листы ответов. Листы ответов содержат отдельные разделы в соответствии с пунктами полученных Вами заданий. На свободных местах (помеченных как «Вывод формулы» Вы должны кратко привести: основные идеи решения, рисунки (при необходимости)), исходные уравнения и их обоснования, сделанные приближения, основные математические преобразования, окончательные результаты. Конечные формулы и требуемые численные значения занесите в соответствующие выделенные поля. Если по условию заданий от Вас требуется построение графика, используйте подготовленные бланки в Листах ответов, не забудьте подписать и оцифровать оси координат. Рекомендуем сначала решать в черновике (в отдельной тетради), а затем красиво оформить решение на Листах ответов. Используйте только лицевую сторону Листов ответов, писать на обороте листа запрещается.

Черновики проверяться не будут!

Подписывать Листы ответов и черновик запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
После окончания работы сложите листы ответов в соответствии с нумерацией страниц.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады.

Пакет заданий содержит:

титульный лист (1стр.);
условия3теоретических задач (5стр.).

Республиканская физическая олимпиада2023года (Заключительный этап). Теоретический тур,10класс

Полный комплект состоит из трех заданий.
Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.

Внимание!

Помимо условий Вы получите тетрадь для черновиков и Листы ответов. Листы ответов содержат отдельные разделы в соответствии с пунктами полученных Вами заданий. На свободных местах (помеченных как «Вывод формулы» Вы должны кратко привести: основные идеи решения, рисунки (при необходимости)), исходные уравнения и их обоснования, сделанные приближения, основные математические преобразования, окончательные результаты. Конечные формулы и требуемые численные значения занесите в соответствующие выделенные поля. Если по условию заданий от Вас требуется построение графика, используйте подготовленные бланки в Листах ответов, не забудьте подписать и оцифровать оси координат. Рекомендуем сначала решать в черновике (в отдельной тетради), а затем красиво оформить решение на Листах ответов. Используйте только лицевую сторону Листов ответов, писать на обороте листа запрещается.

Черновики проверяться не будут!

Подписывать Листы ответов и черновик запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
После окончания работы сложите листы ответов в соответствии с нумерацией страниц.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады.

Пакет заданий содержит:

титульный лист (1стр.);
условия3теоретических задач (4стр.).

Республиканская физическая олимпиада2023года (Заключительный этап). Теоретический тур,11класс

Полный комплект состоит из трех заданий.
Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.

Внимание!

Помимо условий Вы получите тетрадь для черновиков и Листы ответов. Листы ответов содержат отдельные разделы в соответствии с пунктами полученных Вами заданий. На свободных местах (помеченных как «Вывод формулы» Вы должны кратко привести: основные идеи решения, рисунки (при необходимости)), исходные уравнения и их обоснования, сделанные приближения, основные математические преобразования, окончательные результаты. Конечные формулы и требуемые численные значения занесите в соответствующие выделенные поля. Если по условию заданий от Вас требуется построение графика, используйте подготовленные бланки в Листах ответов, не забудьте подписать и оцифровать оси координат. Рекомендуем сначала решать в черновике (в отдельной тетради), а затем красиво оформить решение на Листах ответов. Используйте только лицевую сторону Листов ответов, писать на обороте листа запрещается.

Черновики проверяться не будут!

Подписывать Листы ответов и черновик запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
После окончания работы сложите листы ответов в соответствии с нумерацией страниц.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады.

Пакет заданий содержит:

титульный лист (1стр.);
условия3теоретических задач (6стр.).

Листы ответов,9класс — исходные общие указания

Уважаемые участники олимпиады!

Заполненные Вами листы ответов являются основным «продуктом» Вашего творчества на олимпиаде, свидетельством Ваших знаний, Ваших способностей, Вашего таланта. Отнеситесь к ним предельно серьезно и аккуратно. Жюри будет проверять только эти Листы.
Настоятельно рекомендуем сначала провести решение в тетради-черновике. Черновик Вы должны сдать, но он проверяться не будет.
Оформляйте решения задач и отдельных пунктов на специально отведенных для них страницах. К каждому заданию добавлен1чистый лист, используйте его, если Вам не хватило отведенного места.
Используйте только лицевую сторону Листов ответов.
Подписывать Листы ответов запрещено.

Желаем успехов в выполнении этой работы!

Листы ответов,10класс — исходные общие указания

Уважаемые участники олимпиады!

Желаем успехов в выполнении этой работы!

Листы ответов,11класс — исходные общие указания

Уважаемые участники олимпиады!

Желаем успехов в выполнении этой работы!

Решения задач (для жюри),9класс — исходные указания

Уважаемые члены жюри! Задачи, предложенные школьникам для решения на олимпиаде, не стандартные и достаточно сложные. Предложенные здесь варианты путей решений не являются единственно возможными. Участники олимпиады могут предложить свои способы решения. Если эти способы приводят к правильным ответам и физически обоснованы, то задача (или ее отдельные пункты) должны оцениваться максимальными баллами. Не забывайте, что Вы должны оценивать не только конечные ответы, но и отдельные правильные шаги в ходе решения!

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших замечательных школьников!

Решения задач (для жюри),10класс — исходные указания

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших замечательных школьников!

Решения задач (для жюри),11класс — исходные указания

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших замечательных школьников!

Условие

Массивный однородный диск1 радиуса $R$ может скользить по двум узким горизонтальным параллельным рельсам2и3. Диск опирается на рельсы своими краями. Коэффициент трения диска о рельсы равен $\mu$ . По бокам рельсов расположены упорные стенки4и5, не позволяющие диску соскользнуть с рельсов. Трением диска об эти упорные стенки можно пренебречь.

Исходная трехмерная модель диска на рельсах и упорных стенок

Часть1. Динамика вращательного движения

Пусть ось диска удерживается неподвижной, при этом диск вращается, опираясь на рельсы. Диск раскрутили до угловой скорости $\omega_0$ и положили на рельсы. Обозначим скорость крайних точек диска относительно его центра $v=\omega R$ .

1.1 Покажите, что изменение модуля скорости крайних точек диска описывается уравнением

\frac{\Delta v}{\Delta t}=-4\frac{F_{\mathrm{\text{тр}.}}}{m},\qquad (1)

где $F_{\mathrm{\text{тр}.}}$ — сила трения, действующая на диск со стороны одного рельса, $m$ — масса диска.
Это уравнение описывает изменение скорости вращательного движения и в случае наличия поступательного движения.

Подсказка: Кинетическая энергия диска, вращающегося вокруг собственной оси с угловой скоростью $\omega$ равна

E_{\mathrm{\text{кин}.}}=\frac{mR^2\omega^2}{4}=\frac{mv^2}{4}.\qquad (2)

1.2 Найдите, за какое время угловая скорость диска уменьшится в два раза.

1.3 Найдите, сколько оборотов сделает диск до полной остановки.

Часть2. Движение диска по рельсам

Далее считаем, что диск может двигаться поступательно по рельсам.
Диск раскручивают до угловой скорости $\omega_0$ вокруг его оси, аккуратно кладут на рельсы и сообщают скорость $V_0=2\omega_0R$ , направленную вдоль рельсов.

Исходный вид сверху: поступательное и вращательное движение диска

2.1 Нарисуйте схематические графики зависимости модулей скорости поступательного движения $V$ и скорости вращательного движения относительно оси $v=\omega R$ от времени.

2.2 Через какое время после начала движения скорости поступательного $V$ и вращательного движения $v$ станут равными?

2.3 Рассчитайте среднее ускорение оси диска после того, как скорости поступательного и вращательного движения стали равными.

2.4 Найдите, какой полный путь пройдет диск до остановки (ответ выразите через $V_0$ , $\mu$ ).

Листы ответов

Исходный полный Лист ответов: поля, таблицы, графики и подписи, страница46

Исходный полный Лист ответов: поля, таблицы, графики и подписи, страница47

Исходный полный Лист ответов: поля, таблицы, графики и подписи, страница48

Исходный полный Лист ответов: поля, таблицы, графики и подписи, страница49

Решение

Задание3. Диск на рельсах. Решение.

Часть1. Динамика вращательного движения.

1.1 Уравнение(1)можно получить различными способами. Например, рассмотрим малый промежуток времени $\Delta t$ . Изменение кинетической энергии диска равно работе силы трения, поэтому

\Delta\left(\frac{mv^2}4\right)=-2F_{\mathrm{\text{тр}.}}v\Delta t.\qquad (1)

Изменение кинетической энергии за малый промежуток времени преобразуем следующим образом

\Delta\left(\frac{mv^2}4\right)=\frac m4((v+\Delta v)^2-v^2)=\frac m2v\Delta v,\qquad (2)

мы пренебрегли малым слагаемым $(\Delta v)^2$ . Подстановка этого выражения в уравнение(1)приводит к требуемому результату

\frac{\Delta v}{\Delta t}=-4\frac{F_{\mathrm{\text{тр}.}}}m.\qquad (3)

1.2 В рассматриваемом случае

F_{\mathrm{\text{тр}.}}=\frac12\mu mg.\qquad (4)

Поэтому

R\frac{\Delta\omega}{\Delta t}=-2\mu g.\qquad (5)

Так как угловое ускорение постоянно, то угловая скорость изменяется по закону

\omega=\omega_0-2\frac{\mu g}Rt.\qquad (6)

Из этой функции находим время, за которое угловая скорость уменьшается вдвое:

\frac{\omega_0}2=\omega_0-2\frac{\mu g}Rt\ \Rightarrow\ t_{1/2}=\frac{\omega_0R}{4\mu g}.\qquad (7)

1.3 Полное число оборотов до остановки проще выразить из уравнения(1):

\frac{mR^2\omega_0^2}4=\mu mg\,(2\pi RN)\ \Rightarrow\ N=\frac{R\omega_0^2}{8\pi\mu g}.\qquad (8)

Часть2. Движение диска по рельсам.

2.1 Сила трения направлена в сторону противоположную относительной скорости точек соприкосновения тел. Поэтому направления сил трения, действующих на диск со стороны разных рельсов, зависят от соотношения между скоростями поступательного $V$ и вращательного $v$ движения крайних точек диска.
Если $V>v$ , то эти крайние точки движутся в одну сторону, поэтому обе силы трения направлены в сторону, противоположную вектору $V$ . В этом случае скорость поступательного движения будет уменьшаться по закону

V=V_0-a_1t=V_0-\mu gt,\qquad (9)

Здесь обозначено $a_1=\mu g$ — модуль ускорения для поступательного движения. Так как силы трения направлены в одну сторону, то суммарный момент сил трения равен нулю, поэтому угловая скорость вращения изменяться не будет.

Иная ситуация реализуется при $V<v$ .
В этом случае силы трения, действующие на крайние точки диска, будут направлены в противоположные стороны. Тогда скорость поступательного движения изменяться не будет, а скорость вращательного движения будет изменяться в соответствии с формулой(6):

\omega=\omega_0-2\frac{\mu g}Rt\ \Rightarrow\ v=\omega_0R-a_2t=\omega_0R-2\mu gt.\qquad (10)

Здесь $a_2=2\mu g$ — модуль ускорения вращательного движения. Движение с точным совпадением скоростей $V=v$ невозможно. Поэтому при $V\approx v$ движение диска будет носить более сложный характер, в какие малые промежутки времени при $V>v$ будет уменьшаться скорость поступательного движения (а вращательного сохраняться), в другие промежутки времени при $V<v$ будет сохраняться скорость поступательного движения, а скорость вращательного движения уменьшаться. Такое попеременное движение усреднено можно представить, как движение с некоторым средним ускорением.

На основании проведенных рассуждений графики зависимости скоростей от времени будут иметь вид: в течение некоторого промежутка времени $t_1$ скорость поступательного движения будет уменьшаться, а скорость вращательного движения оставаться неизменной, после того, как эти скорости выровняются, обе скорости будут уменьшаться с одинаковым средним значением.

Исходный график обеих скоростей, включая чередование участков

2.2 Время выравнивания скоростей легко определить из закона изменения скорости поступательного движения(9):

\omega_0R=V_0-\mu gt_1\ \Rightarrow\ t_1=\frac{V_0-\omega_0R}{\mu g}.\qquad (11)

2.3 Для расчета среднего ускорения при $V\approx v$ примем следующую модель: пусть скорость поступательного движения превышает скорость вращательного движения на малую величину $\Delta V$ , тогда эта скорость уменьшается с ускорением $a_0$ и достигает некоторого значения $v-\Delta v$ (на этом этапе скорость вращательного движения остается неизменной $v$ ) — длительность этого этапа

\tau_1=\frac{\Delta V+\Delta v}{a_1}.\qquad (12)

Скорость вращательного движения превысила скорость поступательного на величину $\Delta v$ , поэтому она станет уменьшаться с ускорением $a_1$ и достигнет значения $V-\Delta V$ , что произойдет за время

\tau_2=\frac{\Delta v+\Delta V}{a_2}.\qquad (13)

Таким образом, за время $(\tau_1+\tau_2)$ обе скорости уменьшились на величину $(\Delta V+\Delta v)$ . Поэтому средние ускорения оказываются одинаковыми и равными

\langle a\rangle=\frac{\Delta V+\Delta v}{\tau_1+\tau_2}= \frac{\Delta V+\Delta v}{(\Delta v+\Delta V)/a_1+(\Delta v+\Delta V)/a_2} =\frac{a_1a_2}{a_1+a_2}=\frac23\mu g.\qquad (14)

2.4 Теперь путь, который пройдет диск до остановки, легко рассчитать по известной кинематической формуле

S=\frac{V_0^2-(V_0/2)^2}{2\mu g}+\frac{(V_0/2)^2}{2\cdot(2/3)\mu g}=\frac9{16}\frac{V_0^2}{\mu g}.\qquad (15)

Примечание читателя: исходное объяснение пункта2.3 называет сначала $a_0$ , затем $a_1$ для вращательного этапа, тогда как формулы используют $a_1$ и $a_2$ . Эти обозначения и модель попеременного движения сохранены буквально. В бланке пункт2.4 начинается на странице48, а поле $S=$ и вывод продолжаются на49.

Примечание читателя: полное оригинальное чтение, структура и архивная атрибуция

Лично прочитаны все99исходных страниц:67условий/бланков и32ключа, включая обложки, все37содержательных Листов ответов, девять дополнительных чистых листов и пустой последний лист ключа. Девять целых заданий разных классов, по три для9/10/11классов. Задание «Как измеряли Вселенную» прямо названо связанным; другие части и вопросы относятся к одному исходному заданию и общей модели. Формулы, методы, таблицы, исходные графики, фотографии и бланки ответов сохранены; буквальные печатные ошибки отмечены отдельно. В папке имеются только этот теоретический комплект и отдельные экспериментальные файлы; дополнительный теоретический рубрикатор не найден. Ключ маркирован «для жюри», но независимая публикация организатором не установлена, поэтому решения атрибутированы архиву. Длительность и баллы в этом комплекте не указаны.

Оригинал в Архива: 2023_theoretical_problems.pdf · решение от архива: 2023_theoretical_solutions.pdf